求三角函数值域及最值的常用方法（一）一次函数型或利用：=+=x b x a y cos sin )sin(22ϕ+⋅+x b a化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解；（2）2sin(3)512y x π=--+，x x y cos sin =（3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 1 ．（4）函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-⋃+∞（二）二次函数型利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。

（2）函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于43．（3）.当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4 ．（4）.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 1 ．（5）.若2αβπ+=，则cos 6sin y βα=-的最大值与最小值之和为____2____．（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解型如dx c bx a x f ++=cos sin )(型。

此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。

例1：求函数sin cos 2xy x =-的值域。

解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。

作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2xy x =-得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为33-、33。

结合图形可知，此函数的值域是33[,]33-。

解法2：将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=，∴22s i n ()1yx yφ+=+由2|2||sin()|11y x y φ+=≤+22(2)1y y ⇒≤+，解得：3333y -≤≤，故值域是33[,]33-解法3：利用万能公式求解：由万能公式212sin ttx +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到2213t y t=--则有2320yt t y ++=知：当0t =，则0y =，满足条件；当0t ≠，由24120y =-≥△，3333y ⇒-≤≤，故所求函数的值域是33[,]33-。

解法4：利用重要不等式求解：由万能公式212sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到2213ty t =--当0t =时，则0y =，满足条件；当0t ≠时，22113(3)y t t t t==---+，如果t > 0，则2223113233(3)y t t t t ==-≥-=---+，x Q Py O此时即有303y -≤<；如果t < 0，则223131()(3)2()(3)y t t tt=≤=-+---，此时有303y <≤。

综上：此函数的值域是33[,]33-。

例2.求函数2cos (0)sin xy x xπ-=<<的最小值．解法1：（利用三角函数的有界性求解）原式可化为sin cos 2(0)y x x x π+=<<，得21sin()2y x ϕ++=，即22sin()1x yϕ+=+，故2211y≤+，解得3y ≥或3y ≤-（舍），所以y 的最小值为3．解法2：(从结构出发利用斜率公式，结合图像求解)2cos (0)sin xy x xπ-=<<表示的是点(0,2)A 与(sin ,cos )B x x -连线的斜率，其中点B 在左半圆221(0)a b a +=<上，由图像知，当AB 与半圆相切时，y 最小，此时3AB k =，所以y 的最小值为3．（四）换元法代数换元法代换：x x x x y cos sin cos sin ++=令：t t y t x x +-==+21,cos sin 2则再用配方. 例题：求函数sin cos sin cos y x x x x =⋅++的最大值．解：设sin cos x x t +=(22)t -≤≤，则21sin cos 2t x x -⋅=，则21122y t t =+-，当2t =时，y 有最大值为122+．（五）降幂法型如)0(cos sin sin 2≠+⋅+=a c x x b x a y 型。

此类型可利用倍角公式、降幂公式进行降次、整理为sin 2cos 2y A x B x =+型再利用辅助角公式求出最值。

例1：求函数)2474(cos sin 4sin 3cos 35)(22ππ≤<-+=x x x x x x f 的最值，并求取得最值时x 的值。

分析：先化简函数，化成一个角的一种函数再由正弦，余弦函数的有界性，同时应注意角度的限定范围。

解：由降幂公式和倍角公式，得x xx x f 2sin 222cos 1322cos 135)(--++= 332sin 23cos 32+-=x x 33)62cos(4++=πx∵2474ππ≤<x ， ∴436232πππ≤+<x ，∴21)62cos(22-<+≤-πx ∴()f x 的最小值为2233-，此时247π=x ，()f x 无最大值。

例2. 已知函数2π()2sin 3cos 24f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．（I ）求()f x 的最大值和最小值；（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围．分析：观察角，单角二次型，降次整理为sin cos a x b x +形式． 解：（Ⅰ）π()1cos 23cos 21sin 23cos 22f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+-=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵ π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤，max min ()3()2f x f x ==，∴．（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，． 典型应用题例题：扇形AOB 的半径为1，中心角为60︒，PQRS 是扇形的内接矩形，问P 在怎样的位置时，矩形PQRS 的面积最大，并求出最大值．分析：引入变量AOP x ∠=，建立目标函数．解：连接OP ，设AOP x ∠=，则sin PS x =，cos OS x =，3cos sin 3RS x x =-．333(cos sin )sin sin(2)3366S x x x x π∴=-=+-， 03x π<<，所以当6x π=时，P 在圆弧中心位置，max 36S =． 点评：合理引进参数，利用已知条件，结合图形建立面积与参数之间的函数关系式，这是解题的关键．（六）条件最值问题（不要忘了条件自身的约束）例1. 已知1sin sin 3x y +=，求2sin cos y x -的最大值与最小值． 分析：可化为二次函数求最值问题．AB ORS PQ解：（1）由已知得：1sin sin 3y x =-，sin [1,1]y ∈-，则2sin [,1]3x ∈-． 22111sin cos (sin )212y x x ∴-=--，当1sin 2x =时，2sin cos y x -有最小值1112-；当2sin 3x =-时，2sin cos y x -有最小值49．例2：已知αβαsin 2sin 2sin 322=+，求βα22sin sin +=y 的取值范围。

分析：用函数的思想分析问题，这是已知关于sin α，sin β的二元条件等式求二元二次函数的值域问题，应消元，把二元变一元，注意自变量的范围。

解：∵αβαsin 2sin 2sin 322=+，∴ααβsin sin 23sin 22+-= ∵1sin 02≤≤β ∴32sin 01sin sin 230sin sin 2322≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≥+-ααααα解得∵21)1(sin 21sin sin 21sin sin 2222+--=+-=+=αααβαy∵32sin 0≤≤α。

∴sin α=0时，0min =y ； 32sin =α时，94max =y ∴94sin sin 022≤+≤βα。

例3 ：求函数x x y -+=1的最大值和最小值，并指出当x 分别为何值时取到最大值和最小值。

解：∵定义域为0≤x ≤1，可设x x 2cos =且20πθ≤≤θθ22sin cos 11=-=-x ，20πθ≤≤∴)4sin(2cos sin sin cos 22πθθθθθ+=+=+=y ∵20πθ≤≤，∴4344ππθπ≤+≤，∴1)4sin(22≤+≤πθ即21≤≤y ∴当44ππθ=+或434ππθ=+，即θ =0或2πθ=（此时x=1或x=0），y=1；当2πθ+，即4πθ=时，（此时21=x ），2=y ，当x=0或x=1时，y 有最小值1；当21=x 时，y 有最大值2。

评析：利用三角换元法求解此类问题时，要注意所设角的取值范围，要同原函数定义域相一致，尽量恰到好处。

【反馈演练】1．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于____－1_______． 2．已知函数()3sin f x x =，3()sin()2g x x π=-，直线m x =和它们分别交于M ，N ，则=max MN _________．3．当04x π<<时，函数22cos ()cos sin sin xf x x x x =-的最小值是______4 _______． 4．函数sin cos 2xy x =+的最大值为_______，最小值为________. 5．函数cos tan y x x =⋅的值域为 .6．已知函数11()(sin cos )|sin cos |22f x x x x x =+--，则()f x 的值域是 .7．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等 于_________．32 8．（1）已知(0,)θπ∈，函数23sin 13sin y θθ=+的最大值是_______.（2）已知(0,)x π∈，函数2sin sin y x x=+的最小值是____3___. 9．在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大值时，=θ_____________．10．已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，．2π123333- (1,1)- 22[,]22-10（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．解：（Ⅰ）π()2cos (sin cos )1sin 2cos 22sin 24f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭．因此，函数()f x 的最小正周期为π．（Ⅱ）因为π()2sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，又π08f ⎛⎫=⎪⎝⎭，3π28f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3π3πππ2sin 2cos 14244f ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为2，最小值为1-．解法二：作函数π()2sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长度为一个周期的区间π9π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的图象如下：间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上由图象得函数()f x 在区的最大值为2，最小值为3π14f ⎛⎫=-⎪⎝⎭． yxO22-π8 3π8 5π8 3π47π89π811．若函数)4sin(sin )2sin(22cos 1)(2ππ+++-+=x a x x x x f 的最大值为32+，试确定常数a的值. 解：)4sin(sin )2sin(21cos 21)(22ππ+++--+=x a x x x x f)4sin(cos sin )4sin(sin cos 2cos 2222ππ+++=+++=x a x x x a x x x )4sin()2()4sin()4sin(222πππ++=+++=x a x a x因为)(x f 的最大值为)4sin(,32π++x 的最大值为1，则,3222+=+a所以,3±=a12．已知函数2()2sin sin 2f x x x =+．（1）若[0,2]x π∈．求使()f x 为正值的x 的集合； （2）若关于x 的方程2[()]()0f x f x a ++=在[0,]4π内有实根，求实数a 的取值范围.解：（1）∵()1cos2sin 2f x x x =-+12sin(2)4x π=+-()012sin(2)04f x x π∴>⇔+->2sin(2)42x π⇔->-5222444k x k πππππ⇔-+<-<+ 34k x k πππ⇔<<+ 又[0,2].x π∈ ∴37(0,)(,)44x πππ∈⋃（2）当[0,]4x π∈时，2,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦∴22sin(2)[,]322x π-∈-则()[0,2]f x ∈，∴2()()[0,6]f x f x +∈∵方程2[()]()0f x f x a ++=有实根，得)]()([2x f x f a +-= ∴[6,0]a ∈-【高考赏析】（1）（本小题满分13分）设函数2()3cos sin f x x xcos x ωωωα=++（其中0,R ωα>∈），且()f x 的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π。