第十章 曲线积分与曲面积分一、 基本内容要求1． 理解线、面积分的概念，了解线、面积分的几何意义及物理意义，能用线、面积分表达一些几何量和物理量； 2． 掌握线、面积分的计算法；3． 知道两类曲线积分及两类曲面积分的联系；4． 掌握格林公式，并能将沿闭曲线正向的积分化为该曲线所围闭区域上的二重积分；5． 掌握曲线积分与路径无关的充要条件，并能求全微分为已知的某个原函数，注意此时所讨论问题单连通域的条件不可缺少；6． 掌握高斯公式，并能将闭曲面Σ外侧上的一个曲面积分化为由其所围空间闭区间Ω上的三重积分。
二、 选择 1．设OM 是从O （0，0）到点M （1，1）的直线段，则与曲线积分I=dseomy x ⎰+22不相等的积分是：（ ） A)dx ex212⎰B)dy e y2102⎰ C)dt e t ⎰2D)dr e r21⎰2．设L 是从点O(0,0)沿折线y=1-|x-1| 至点A(2,0) 的折线段，则曲线积分I=⎰+-Lxdy ydx 等于（ ）A)0 B)-1 C)2 D)-2 3．设L 为下半圆周)0(222≤=+y R y x ，将曲线积分I=ds y x L⎰+)2(化为定积分的正确结果是：（ ） A) dt t t R )sin 2(cos 02+⎰-πB) dt t t R )sin 2(cos 02+⎰πC)dt t t R )cos 2sin (02+-⎰-πD)dt t t R )cos 2sin (2322+-⎰ππ4．设L 是以A(-1,0) ,B(-3,2) ,C(3,0) 为顶点的三角形域的周界沿ABCA 方向， 则⎰-+-Ldy y x dx y x )2()3(等于：（ ）A) -8 B) 0 C) 8 D) 20 5．设AEB 是由点A(-1,0) 沿上半圆 21x y -=经点E(0,1)到点B(1,0)，则曲线积分I=dx y AEB⎰3等于：（ ）A) 0 B)dx y BE⎰32 C) dx y EB⎰32D) dx y EA⎰32三、 填空1．γβαcos ,cos ,cos 是光滑闭曲面Σ的外法向量的方向余弦，又Σ所围的空间闭区域为Ω；设函数P(x,y,z),Q(x,y,z)和R(x,y,z)在Ω上具有二阶连续偏导数，则由高斯公式，有ds yP x Q x R z P z Q y R ]cos )(cos )(cos )[(γβα∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂⎰⎰∑= 。
2．设L 是xoy 平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且⎰-=++-Ldy y x dx y x 9)34()2(，则L 所围成的平面闭区域D 的面积等于 。
3．设函数P(x,y,z,)在空间有界闭区域Ω上有连续的一阶偏导数，又Σ是Ω的光滑边界面的外侧，则由高斯公式，有⎰⎰∑=dydz z y x P ),,( 。
4．设Σ是球面2222a z y x =++的外侧，则积分⎰⎰∑=ydxdy 。
5．设L 是xoy 面上的圆周122=+y x 的顺时针方向，则I 1=⎰Lds x 3与I 2=ds y L⎰5的大小关系是 。
6．设力F ϖ的模221||y x F +=ϖ, F ϖ的方向与j x i y ϖϖϖ+-=τ相同，则在力F ϖ的作用下，质点沿曲线L:12222=+b y a x 正向绕行一周，力F ϖ所做的功可用曲线积分表示为: 。
四、 计算1． 计算曲线积分⎰+Lds y x )(，其中L 为连结O(0,0),A(1,0),B(0,1) 的闭曲线OABO. 2． 计算⎰-+-Ldy xy y dx xy x )2()2(22，其中L 由直线段AB 与BC 组成，路径方向从点A(2,-1) 经点B(2,2)到点C(0,2).3． 求 I=dy m y e dx my y e x Anox )cos ()sin (-+-⎰, 其中AnO 为由点A(a,0)到点O(0,0) 上半圆周ax y x =+22. 4． 验证：当 022≠+y x 时，222yxxdy ydx +-是某二元函数U(x,y) 的全微分，并求U(x,y).5． 计算⎰⎰∑xdydz ，Σ是球面2222R z y x=++在第一卦限部分的上侧。
6． 设在xoy 面内有一分布着质量的曲线弧L ，在点(x,y)处它的线密度为ρ(x,y)，用对弧长的曲线积分分别表达：（1）这曲线弧对x 轴、对y 轴的转动惯量I x ,I y ； （2）这曲线弧的重心坐标。
7． 计算下列对弧长的曲线积分：（1）⎰+Ln ds y x )(22，其中L 为圆周x=acost ,y=asint π20≤≤t ；（2）⎰+Ly x ds e22，其中 L 为圆周222a y x=+，直线y=x 及 x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；（3）⎰Γyzds x 2，其中Γ为折线ABCD ，这里A,B,C,D 依次为点(0,0,0) , (0,0,2) ,(1,0,2) , (1,3,2) .8． 计算下列对坐标的曲线积分：（1）⎰Lxydx ，其中L 为圆周)0()(222>=+-a a y a x 及 x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）； （2）⎰+--+Ly x dyy x dx y x 22)()( ，其中 L 为圆周222a y x =+（按逆时针方向绕行）； （3）⎰Γ-+++dz y x ydy xdx )1(，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线。
9．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：圆ax y x 222=+. 10．证明下列曲线积分在整个xoy 面内与路径无关，并计算积分值：⎰-+-)4,3()2,1(2232)36()6(dy xy y x dx y xy11．利用格林公式，计算下列曲线积分：dy ye x x dx e y x xy x y x x Lx )2sin ()sin 2cos (222-+-+⎰, 其中L 为正向星形线 )0(323232>=+a ayx.12．验证下列 P(x,y)dx+Q(x,y)dy 在整个xoy 平面内是某一函数U(x,y)的全微分，并求这样的一个U(x,y) ： xdy y xdx y x 2cos 3cos 3cos 3sin sin 4- 13．计算下列对面积的曲面积分：（1）⎰⎰∑+--ds z x xxy )22(2，其中Σ为平面2x+2y+z=6在第一卦限中的部分；（2）⎰⎰∑++ds zx yz xy )(，其中Σ为锥面22y x z +=被柱面axy x 222=+所截得的有限部分。
14．求抛物面壳)(2122y x z +=(10≤≤z )的质量，此壳的面密度的大小为ρ=z. 15．计算下列对坐标的曲面积分：（1）⎰⎰∑++ydzdx xdydz zdxdy ，其中∑是柱面122=+y x被平面z=0及z=3所截得的在第一卦限内的部分的前侧；（2）⎰⎰∑++yzdzdx xydydz xzdxdy ，其中∑是平面x=0 ,y=0 ,z=0 ,x+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧。
16．利用高斯公式计算曲面积分：⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x333, 其中∑为球面2222a z y x =++的外侧。
五、 证明已知f(u)连续，且L 为逐段光滑的简单封闭曲线，证明：⎰=++Lydy xdx y x f 0))((22六、 应用1．求均匀的锥面（设面密度为1）22y x ahz +=)0,0(>≤≤a h z 对ox 轴的转动惯量。
2．求矢量场k xy j xz i yz A ϖϖϖϖ++=穿过圆柱体h z a y x ≤≤≤+0,222的全表面的流量和侧表面的流量。
3．求均匀弧x=a(t-sint) ,y=a(1-cost) )20(π≤≤t 的重心坐标。
4．设z 轴与重力的方向一致，求质量为m 的质点从位置(111,,z y x )沿直线移动到 (222,,z y x )时重力所作的功。
5．设曲线L 的极坐标方程为)30(3sin πθθ≤≤=r ，其上任一点处的线密度等于该点处矢径的长度，求L 的质量。
6*．求半径为R 的均匀半圆周L （线密度为δ=1）对于位于圆心的单位质量的质点的引力。
7*．试用曲线积分求平面曲线L 1 ：10,2313≤≤+=x x x y 绕直线L 2 ：x y 34=旋转所成旋转曲面的面积。
七、 模拟1．试解下列各题：（1）设Ω是由光滑闭曲面Σ所围成的空间闭区域，其体积记为V ，则沿Σ外侧的积分⎰⎰∑-+-+-dzdy z x dxdz x y dxdy y z )()()(= 。
（2）L 是xoy 平面上具有质量的光滑曲线，其线密度为ρ(x,y)，则L 关于ox轴的转动惯量可用曲线积分表示为 。
（其中ρ(x,y )为连续函数）（3）L 是从A(1,6)沿xy=6至点B(3,2)的曲线段，则=+⎰+)(xdy ydx e Ly x 。
（4）力)()(22j x i y y x F m ρρρ-+=构成力场（y>0），若已知质点在此力场(y>0)内运动时场力所做的功与路径无关，则m= 。
2．试解下列各题：（1） 设L 是圆周)0(222>=+a a y x 负向一周，则曲线积分⎰=-+-Ldy y xy dx y x x )()(3223（ ）A) 42a π-B) 4a π- C) 4a π D)332a π （2）设L 是)11(1||2≤≤--=x x y 表示的围线的正向，则⎰++Lyxydy xdx 2222之值等于（ ）A) 0 B)2π C) - 2π D)4ln2 （3）设L 是从A(1,0) 到 B(-1,2)的线段，则曲线积分⎰+Lds y x )(= （ ）A)2 B) 22 C)2 D)0（4）L 是圆域D ：x y x 222-≤+的正向周界，则⎰-+-Ldy y x dx y x )()(33等于（ ）A) - 2π B) 0 C)π23D) 2π 3．已知曲线L 的极坐标方程为r=θ (20πθ≤≤)，L 上任一点处的线密度为211)(θθρ+=，试求该曲线段关于极轴的转动惯量。
4．验证：存在u(x,y)使 ),()2()2(2y x du dy y x e x dx y xe y y =-+++，并求u(x,y) .5．设AB 是连接点A(0,2)及点)0,23(B 的直线段，计算曲线积分⎰+ABds y x )(44.6．设Σ为球面1222=++z y x 的外侧，计算dxdy z dzdx y dydz x 333⎰⎰∑++.7． 计算⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，其中Σ是上半球面222y x a z --=的上侧。