第十章 曲线积分与曲面积分(一)1．解：两点间直线段的方程为：x y -=1，()10≤≤x 故()dx dx dx y ds 211122=-+='+=所以()()2211=-+=+⎰⎰dx x x dx y x L。

2．解：L 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=θθsin 2121cos 21a y a a x ，()πθ20≤≤则()ϕθθcos 12||21sin 2121cos 21222+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+a a a a y x2cos ||12cos 212||212θθa a =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=||21cos 2sin 22222a a a d y x ds =⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-='+'=θθθ所以⎰⎰=+πθθ202222cos 21d a ds y x L⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰⎰πππθθθθ0222cos 2cos 21d d a220222sin 22sin221a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=πππθθ 3．解：()()atdt dt t at t at dt y x ds =+='+'=2222sin cos故()()()[]⎰⎰-++=+π2022222cos sin sin cos atdt t t t t t t a ds y x L()()⎰+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=ππππ20232204233321242a t t a dt t t a 4．解：如图⎰⎰⎰⎰++++++=32222212222L y x L y x L y x Ly x dseds eds eds e1L ：⎩⎨⎧==0y x x ，a x ≤≤0，dx dx ds =+=2012L ：⎩⎨⎧==x y x x ，a x 220≤≤，dx dx ds 2112=+= 3L ：⎩⎨⎧==ta y t a x sin cos ，40π≤≤x ，()()adt dt t a t a dt y x dx =+-='+'=2222cos sin∴⎰⎰⎰⎰++=+402220222πadt e dx edx e ds ea a xaxLy x2424|22020-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=a e ae ee a aa xa x ππ5．解：()t t a y x 44343434sin cos +=+ ()()222222cos sin3sin cos3tt a tt a dt y x ds ++-='+'=tdt t a dt t t a cos sin 3cos sin 9222==∴()⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2044373434cos sin sin cos 3πtdt t t t a ds y x L 37206374sin 616cos 613a t t a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=π6．解：()()adt dt a t a t a dt z y x ds 2cos sin 222222=++-='+'+'=∴()()⎰⎰⎰=+=+ππ20202222222222sin cos dt t a adt t a t a t a ds y x z L3203238|312ππa t a ==。

7．解：()⎰⎰⎰---==='=1111511422545122y dy y dy y y y xydx L8．解：直线段AB 的方程为123zy x ==，化成参数方程为 t x 3=，t y 2=，t z =，t 从1变到0故ydz x dy xy dx x L2233-+⎰()()()[]dt t t t t t ⎰⋅-⋅+⋅=01223232233348787013-==⎰dt t 9．解：直线的参数方程为t x +=1，t y 21+=，t z 31+=(10≤≤t )()⎰-+++Ldz y x ydy xdx 1()()()[]⎰-+++++++=1121132121dt t t t t()⎰=+=113146dt t10．解：()()⎰---Ldy y dx y a 92()[]()()[]{}⎰------=π20sin cos 1cos 1cos 12dt t a t a a t a t a a()()⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--=ππ20220222sin 212cos 121sin cos cos1dt t t a dt t t t a ππ220221a dt a ==⎰11．解：1)原式()()[]⎰-++=21222dy y y y y y()3342213121221342123=⎪⎭⎫⎝⎛++=++=⎰yh y y dy y y y 2)原式()()[]()()()[]{}⎰++-+++++++=210222212114112dt t t t t t t t t()⎰+++=102329510dt t t t121312293541022935410122424=⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=t t t t dt t t t12．解：1）L 的方向余弦53cos α，54cos β ()()()()⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+L L ds y x Q y x P dy y x Q dx y x P ,54,53,, 2）()dx x ds 221+=，2411cos x dx dx +==α224124111sin cos xxx +=+-==αβ 故()()()()ds xy x xQ y x P dy y x Q dx y x P L⎰⎰++=+241,2,,, 3）()dx x x x ds 22211--+=，22cos x x dsdx -==αx x x -=+-==121sin cos 2αβ 故()()()()()[]⎰⎰-+-=+LLds y x Q x y x P x x dy y x Q dx y x P ,1,2,,213．解：因为m y e xQy P x -=∂∂=∂∂cos 故原积分与路径无关，于是原式⎰⎰+BAOB()⎰⎰2-+=a aady a m y edx 0cos 0πππ222sin ma a e a ππ-=。

14．解：λxy x P 44+=，42156y y x Q -=-λ，由xQ y P ∂∂=∂∂，得 ()221164y x xy ---=λλλλ，解得3=λ故当3=λ时，所给积分与路径无关()()()()dy y y x dx xy x4222,10,034564-++⎰()()5795160424214=-⋅⋅+⋅+=⎰⎰dy y y dx x x 取CB AC +计算，其中()0,0A ，()0,1C ，()2,1B 15．解：原式⎰⎰+21L L()()[]⎰++-=1042322dx x x x x x ()()[]⎰++-+01224322dy y y y y y()⎰++=1023522dxx x x()30124210245⎰=++--dy y y y 又()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂y y DD dx x dy dx x dxdy y P x Q 2301212110 ∴ ⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy y P x Q16．解取y P -=，x Q =，1-=∂∂y P ，1=∂∂xQ可得面积 ⎰⎰⎰-==L Dydx xdy dxdy A 211 设1A 为在第I 象限部分的面积，由图形的对称性所求面积⎰-==ydx xdy A A 21441 ()[]⎰-⋅-⋅=22223sin cos 3sin cos sin3cos 2πdt t t a t a t t a t a22022283cos sin a tdt t baππ==⎰注：还可利用⎰⎰⎰⎰==LLDydx xdy dxdy 17．解：326y xy P -=，2236xy y x Q ==2312y xy y P -=∂∂，2312y xy xQ -=∂∂ 因为yPx Q ∂∂=∂∂，所以积分与路径无关 取路径()()()4,32,32,1→→原式()()23695482442231=-+-=⎰⎰dy y y dx x18．解：x ye y x x x xQ2cos sin 22-+=∂∂，x ye x x x x y P 2sin 2cos 2-+=∂∂ 原式0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=⎰⎰dxdy y P x Q D 。

19．解：3=∂∂xQ，1-=∂∂y P 原式()[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰=--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=D D D dxdy dxdy dxdy y P x Q 413⎰⎰⎰===30323012384xdx dy dx x 20．解：1）yPx x Q ∂∂==∂∂2，故dy x xydx 22+是某个()y x u ,的全微分。

()()()⎰⎰⎰-+=+=2yx x y x dy x dx dy x xydx y x u 0204,0,0202,2）yPx x x Q ∂∂=+=∂∂1632，()()()()()⎰++++=y x y dy ye y x x dx xy y x y x u ,0,023*******,()d y ye y x x dx yy x ⎰⎰+++=02301280()12124223+-++=y y e ye y x y x21．解：xy D ：222≤+y x ，dxdy y x dxdy z z dx y x 22224411++=++=故原式()⎰⎰+++=xyD dxdy y x y x2222441()()[]()()⎰⎰+++=20222220sin 4cos 41sin 9cos dr r r r r r d θθθθθπ()241212412022022220rh d r r dr r r r d ⎰⎰⎰+=+=πθπππ3014941202=+⎰=du u u ur 22．解：原式()⎰⎰'+'++=xyD y x dxdy z z y xy x 1||||22()()⎰⎰+++=xyID dxdy y x y x xy 2222414这里xyI D 为xy D 在第一象限部分⎰⎰+=1242041cos sin 4rdr r r d θθθπ⎰⎰+=1024204172sin 214rdrr d πθθ()()420151251232141105122441242-=+-+=⎰⎰=+2dt t t trd r rtr 23．解：y x z 226--=，()dxdy dxdy ds 3212=-+= 原式()⎰⎰--+--=xyD dxdy y x x xxy 3226222()d y y xy xx dx x ⎰⎰--+--=3023222363427-= 24．解：()dxdy y x y x zds M xyD ⎰⎰⎰⎰+++==∑2222121 ()⎰⎰+=+=2022201361527121πθπdr r r d 25．解：平面x z =这部分的面积⎰⎰⎰⎰='+'+=DDy x dxdy dxdy z z S 21222221010==⎰⎰-x dy dx 因而⎰⎰⎰⎰-∑==x dy xdx xds S x 1010312221⎰⎰⎰⎰-∑==x dy y dx yds S y 101031222131221⎰⎰⎰⎰∑∑==xds zds S z 故重心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛31,31,3126．解：因为曲面积分∑有向曲面，所以()()⎰⎰⎰⎰∑±=dxdyy x R dxdy z y x R xyD 0,,,,当积分曲面取在∑的上侧时为正号，取在下侧时为负号27，解：⋂=AB D xy ，面积为0，⎰⎰∑=0zdxdy(){}30,10,0|,,0≤≤≤≤==z y x z y D yz ，(){}30,0,10|,0,≤≤=≤≤=z y x z x D zx原式⎰⎰⎰⎰-+-=yzzxD D dzdx x dydz y 2211⎰⎰⎰⎰-+-=101023023011dx x dz dy y dzπ23arcsin 21212210=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⋅=y yh y 。