侧面积 ALzdsLyds
x L:
5cot s(0t)
y3sitn
A3sitn 5si2n t9co2td s t
0
3 54co2stsintdt
0
2
3
5 u2du 915ln5
0
4
注
曲面面积的计算法
z
zf(x,y)
S
z
zf(x,y)
o
Dxy
y
bo
a
s
y
LB
A
x S dS
x S f(x,y)ds L(A,B)
解 补上曲面
0:z e a,x 2 y 2 a 2
取上侧
则由 Gauss 公式
4 zxd2 yzd yzdz (1 dz2 x )dxdy
0
(4z2z2z)d v0
4 zxdy 2zdyzdz(1d zx 2)dxdy 0 (1z2)dxdy
0
(1e2a)dxdy(1e2a)a2 x2y2a2
d s ( x t ) 2 (y t ) 2 d 3 tsti cn to , dst
S 82 1 c6 o t s6 itn 3 sitc ntodst 0
24 2 3si2tn co 2tssitc no tdst 0
2432si2ntco2tsdt
3
3 .
0
2
例4 计算 | xyz| dS :zx2y2被平 z1面 所截下的部分
LPdQ x d y D( Q x P y)dxd 或yLQd P xd y D( P x Q y)dxdy
A (M )为平面向量场
L A A 推d s d 广 D S (r(A o r k A o tA ) d (n M t)d x )为 d Sy 空 ( L 间 (A A n n ) )d d 向 ss D 推d 量 d 广A id A v id 场 x vv dy
Q P , (x, y) D 是 ( ). x y
(A)充 分 条 件 ; (B)必 要 条 件 ; (C)充 要 条 件 . 5 、 设 为 球 面 x 2 y 2 z 2 1 , 1 为 其 上 半 球 面 , 则
y
dS
z dS
z
dS
转动惯量
Ix(y2z2)dS
Iy (x2z2)dS
Iz (x2y2)dS
二、典型例题
例1 求椭圆柱面 x2 y2 1 位于xoy 面上方
59
和平面 z = y 下方的那部分的侧面积
解一 易见曲面对称于 yoz 面
AdS2dS 1:x 5 2y 9 2 1 ,x 0 ,1y 0 ,0 zy
I4 zxd 2z yy dd z(1 z d z2)d xxdy
4zxd 2 yzd yd z(z1 dz2)x dxd(e2y a1)a2 0
例7 计算
I [ f(x, y,z) x]dydz[2f(x, y,z) y]dzdx
[ f (x, y,z)z]dxdy, 其中f (x, y,z)为连续函,数
1
1
1 3dxdy .
3 Dxy
2
向量点积法
设 : zf(x,y),法向量 fx为 ,fy,1,
IPdyQ dzd zR dxdxdy
{P,Q ,R }{dy,ddzz,d dx x}dA y n0dS
{P,Q ,R }{fx ,fy ,1}dxdy
将 在 x面 oy { 投 P ,Q ,R } 影 { fx , fy ,1 } d.xd
(x2y2z2)3
其为 中1 曲 z (x 面 2 )2 (y 1 )2(z 0 )的上 5 16 9
解 记 r x2y2z2 Prx3,Qry3,Rrz3
P Q R x y z
r23x2r2 r5 3y2r23z2
0 (r 0)
考虑使用 Gauss 公式
但从几何上看，积分曲面是一个开口朝下的“ 碗 ”
解二
ez dx dy ez dxdydz
x2y2
x2y2
2e2
123
1:z 2 ,x 2y 2 4
上侧
2:z 1 ,x 2y 2 1 下侧
3:zx 2 y 2,1 z 2 外侧
3在 xo 面 y 的 ： 1x 投 2y2 影 4
1 2 3
e2
e
dxdy
dxdy
x2y24 x2y2
x2y21 x2y2
00
1
2 r5
14r2dr
125 51 420
0
例5 计算
x2
1 y2
z2
dS
是介 z0 ， z 于 H 间的x2 圆 y2柱 R 2 面
解 1:x R 2 y 2,0 y R
1 在 y面 ozD 的 ： 0 y R 投 ,0 z H 影
由对称性
1
x2 y2 z2dS
1 R
z 2 dx d [c yR 2 (x a )2 (y b )2 ]2 dxd
D
[cR 2(xa)2(yb )2]2dxd
D
4c R 2(xa)2(yb)2dxdy
D
4c
R2u2v2dudv8R3 c
u2v2R2
3
同理 x2dydz83R3a
y2dzdx83R3b
x 2 dy y d 2 dz z z d 2 dx x 8 d R 3(y a b c )
3、
若
L
是
上
半
椭
圆
x y
a b
cos sin
t t
, 取 ,
顺
时
针
方
向
,则
L ydx xdy 的 值 为 (
).
(A)0;
( B ) ab ; 2
( C ) ab .
4、 设 P ( x , y ) , Q ( x , y )在 单 连 通 区 域D 内 有 一 阶 连 续
偏 导 数 , 则 在 D 内 与 L Pdx Qdy 路 径 无 关 的 条 件
Pdx Qdy Rdz
dydz dzdx dxdy
PdydzQdzdx Rdxdy
x
y
z
PQ R
(Px
Q y
R)dv z
（二）各种积分之间的联系
曲线积分
计算
定积分
Stokes公式
计算 曲面积分
Guass公式
计算 重积分
关于对称性
对面积的曲面积分与侧无关，具有与三重积 分相类似的奇偶性
你对称，我奇偶
扣在xoy坐标面上，与xoy坐标面的截痕为
1(x2)2(y1)2 16 9
故曲面不封闭，应用 z = 0 （下侧） 封住碗口
但要注意 PQR 在（0，0，0）不存在 x y z
而（0，0，0）又在 z = 0 上，故须挖去（0，0，0）
考虑到P,Q,R的分母为 r3(x2y2z2)3
为简化计算用半径充分小的小球面挖去原点
1zx2 z2ydxdy
Dxy
b
f(x,y)
1y2dx
a
曲顶柱体的表面积
如图曲顶柱体，
z zf(x,y)
S (1 1 fx2 fy2)d D
f(x,y)ds L
oyxD源自L例2计算ez x2
y2
dxdy为锥 z面 x2y2
及平面 z = 1 , z = 2 所围立体的表面的外侧
解一 由 Gauss 公式
x0 , 0
y 3,则 2
4ds 的 值 为 (
L
).
(A)4x0，
( B )6 ,
( C )6 x 0 .
2、 设 L 为 直 线 y y0上 从 点 A(0 , y0 ) 到 点 B(3 , y0 ) 的
有 向 直 线 段 , 则 L 2dy = (
).
(A)6;
(B) 6 y0 ;
(C)0.
3
解二 由 Gauss 公式
x2dy dyz2dzd zx2dxdy
2(xyz)dxdydz
2 [ x ( a ) (y b ) z c ) (a b c )d ]xd
2
(uvw)dudvdw 2(abc)4R3
u2v2w2R2
3
= 0 （用对称性）
8R3(abc)
3
例11 计算曲面积分 xdydyzdzdzxdxdy
1在yo面 z 的投影
D :0 y 3 ,0 z y
x 5 9y2
3
A2
D
1x2 yxz2dydz2
D
81 3 9
y2 y2
dydz
23 81 y2dy
30 9 y2
(令 y3sin)
2
6
54co2ssind
915ln5 4
0
解二 对弧长的曲线积分的几何意义：
柱面上的曲边梯形的面积
例8 计算 Iydydxzdzdzx2dxd,其 y 中 为
锥面 z x2y2 被平z面 1,z2所截部分的
解 利用向量点积法
f
x
x ,
x2 y2
f
y
y ,
x2 y2
D
I y,x,z2 x 2 xy2,
y x2y2,1 dxdy
z2dxdy
(x2 y2)dxdy Dxy
[D x: y 1 x 2y 2 4]
积分曲面对称于坐标面，被积函数关于另一个 变量具有奇偶性
对坐标的曲面积分的对称性比较复杂，一般 不直接使用，可利用两类曲面积分之间的关系 先化为对面积的曲面积分，再使用对称性
关于对面积的曲面积分的应用
曲面面积 A dS
曲面质量 M(x,y,z)dS