第十章 曲线积分与曲面积分(A)1．计算()⎰+Ldx y x ，其中L 为连接()0,1及()1,0两点的连直线段。

2．计算⎰+Lds y x 22，其中L 为圆周ax y x =+22。

3．计算()⎰+Lds y x 22，其中L 为曲线()t t t a x sin cos +=，()t t t a y cos sin -=，()π20≤≤t 。

4．计算⎰+Ly x ds e22，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一角限内所围成的扇形的整个边界。

5．计算⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+L ds y x 3434，其中L 为内摆线t a x 3cos =，t a y 3sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤20πt 在第一象限内的一段弧。

6．计算⎰+Lds yx z 222，其中L 为螺线t a x cos =，t a y sin =，at z =()π20≤≤t 。

7．计算⎰Lxydx ，其中L 为抛物线x y =2上从点()1,1-A 到点()1,1B 的一段弧。

8．计算⎰-+Lydz x dy zy dx x 2233，其中L 是从点()1,2,3A 到点()0,0,0B 的直线段AB 。

9．计算()⎰-+++Ldz y x ydy xdx 1，其中L 是从点()1,1,1到点()4,3,2的一段直线。

10．计算()()⎰---Ldy y a dx y a 2，其中L 为摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱(对应于由t 从0变到π2的一段弧)：11．计算()()⎰-++Ldy x y dx y x ，其中L 是：1）抛物线x y =2上从点()1,1到点()2,4的一段弧；2）曲线122++=t t x ，12+=t y 从点()1,1到()2,4的一段弧。

12．把对坐标的曲线积分()()⎰+Ldy y x Q dx y x P ,,化成对弧和的曲经积分，其中L 为：1）在xoy 平面内沿直线从点()0,0到()4,3； 2）沿抛物线2x y =从点()0,0到点()2,4； 3）沿上半圆周x y x 22=+2从点()0,0到点()1,1。

13．计算()()⎰-+-Lx xdy mx y e dx my y ecos sin 其中L 为()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=，π≤≤t 0，且t 从大的方向为积分路径的方向。

14．确定λ的值，使曲线积分()()⎰-++-βαλλdy y y x dx xy x4214564与积分路径无关，并求()0,0A ，()2,1B 时的积分值。

15．计算积分()()⎰++-Ldy y x dx x xy 222，其中L 是由抛物线2x y =和xy =2所围成区域的正向边界曲线，并验证格林公式的正确性。

16．利用曲线积分求星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =所围成的图形的面积。

17．证明曲线积分()()()()⎰-+-4,32,12232366dx xy y x dx y xy在整个xoy 平面内与路径无关，并计算积分值。

18．利用格林公式计算曲线积分()()⎰-+-+Lx x dy ye x x dx e y x xy x xy2sin sin 2cos 222，其中L 为正向星形线323232ay x =+()0>a 。

19．利用格林公式，计算曲线积分()()⎰-+++-Ldy x y dx y x 63542，其中L 为三顶点分别为()0,0、()0,3和()2,3的三角形正向边界。

20．验证下列()()dy y x Q dx y x P ,,+在整个xoy 平面内是某函数()y x u ,的全微分，并求这样的一个()y x u ,，()()dy ye y x x dx xy y x y 128832322++++。

21．计算曲面积分()⎰⎰∑+dx y x 22，其中∑为抛物面()222y x z +-=在xoy 平面上方的部分。

22．计算面面积分()⎰⎰∑+--ds z x x xy 222，其中∑为平面和三坐标闰面所围立体的整个表面。

24．求抛物面壳()2221y x z +=()10≤≤z 的质量，壳的度为z t =。

25．求平面x z =介于平面1=+y x ，0=y 和0=x 之间部分的重心坐标。

26．当∑为xoy 平面内的一个闭区域时，曲面积分()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,与二重积分有什么关系？27．计算曲面积分⎰⎰∑++ydzdx xdydz zdxdy 其中∑为柱面122=+y x 被平面0=z 及3=z 所截的在第一卦限部分的前侧。

28．计算⎰⎰∑++dxdy z dxdz y dydz x 222式中∑为球壳()()22b y a x -+-()22R c z =-+的外表面。

29．反对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积()()()⎰⎰∑++dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ,,,,,,化成对面积的曲面积分，其中∑是平面63223=++z y x 在第一卦限的部分的上侧。

30．利用高斯公式计算曲面积：1）⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222，其中∑为平面0=x ，0=y ，0=z ，a x =，a y =，a z =所围成的立体的表面和外侧。

2）()()⎰⎰∑-+-xdydz z y dxdy y x ，其中∑为柱面122=+y x 与平面0=z ，3=z 所围立体的外表面。

31．计算向理αρ穿过曲面∑流向指定侧的通量：1）()k xz j y x i z x ρρρρ222-+-=α，∑为立体a x ≤≤0，a y ≤≤0，a z ≤≤0，流向外侧；2）()()()k y x z j x z y i z y x ρρρρ-+-++-++-=α，∑为椭球面1222222=++c z b y a x ，流向外侧。

32．求向理场()()k xz j xy i a xyρρρρ2cos cos ++=α的散度。

33．利用斯托克斯公式计算曲经积分⎰Γ++xdz zdy ydx 其中Γ为圆周，2222a z y x =++，0=++z y x ，若从x 轴正向看去，这圆周取逆时针方向。

34．证明⎰Γ=++02xzdz xydy dx y ，其中Γ为圆柱面y y x 222=+与z y =的交线。

35．求向量场()()()k xy j yz x i y x a ρρρρ233-++-=，其中Γ为圆周222y x z +-=，0=z 。

36．求向量场()()j y x z i y z ρρρcos sin --+=α的旋度。

37．计算()()()⎰Γ-+-+-dz y x dy x z dx z y222222，其中Γ为用平面23=++z y x 切立方体a x ≤≤0，a y ≤≤0，a x ≤≤0的表面所得切痕，若从ox 轴的下向看去与逆时针方向。

(B)1．计算⎰Lyds ，其中L 为抛物线px y 22=由()0,0到()00,y x 的一段。

2．计算⎰Lds y 2，其中L 为摆线()t t a x sin -=，()t r a y cos -=一拱()π20≤≤t 。

3．求半径为a ，中心角为24的均匀圆弧(线心度1=ρ)的重心。

4．计算⎰Lzds ，其中L 为螺线t t x cos =，t t y sin =，t z =()π20≤≤t 。

5．计算⎰++Lds zy x 2221，其中L 为空间曲线t x t cos ρ=，t y tsin ρ=，t z ρ=上相应于t 从0变到2的这段弧。

6．设螺旋线弹簧一圈的方程为t a x cos =，t a y sin =，kt z =()π20≤≤t ，它的线心度为()222,,z y x yz y x ++=ρ，求：1）它关于z 轴的转动惯量z I ； 2）它的垂心。

7．设L 为曲线t x =，2t y =，3t z =上相应于t 从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分⎰++LRdz Qdy Pdx 化成对弧长的曲线积分。

8．计算()()⎰+--+Ly x dy y x dx y x 22，其中L 为圆周222a y x =+(按逆时针方向绕行)。

9．计算⎰++Lxdz zdy ydx ，其中L 为曲线t a x cos =，t a y sin =，bt z =，从0=t 到π2=t 的一段。

10．计算()()⎰-++Ldy y x dx y x 2222，其中L 为||1x y -=()20≤≤x 方向为x增大的方向。

11．验证曲线积分()()()()⎰-++-1,20,1222dy y x e x dx y xey y与路径无关并计算积分值。

12．证明当路径不过原点时，曲线积分()()⎰++2,21,122yx ydyxdx 与路径无并，并计算积分值。

13．利用曲线积分求椭圆12222=+by a x 的面积。

14．利用格林公式计算曲线积分()()⎰+--Ldy y x dx y x 22sin ，其中L 是圆周22x x y -=上由点()0,0到点()1,1的一段弧。

15．利用曲线积分，求笛卡尔叶形线axy y x 333=+()0>a 的面积。

16．计算曲线积分()⎰+-L y x xdy ydx 222，其中L 圆周()2122=+-y x ，L 的方向为逆时针方向。

17．计算曲面积分⎰⎰∑zds 3，其中∑为抛物面()222y x z +-=在xoy 平面上的部分。

18．计算()⎰⎰∑++ds zx yz xy ，其中∑是锥面22y x z +=被柱面axy x 222=+所截得的有限部分。

19．求面心度为0ρ的均匀半球壳2222a z y x =++()0≥z 对于z 轴的转动惯量。

20．求均匀的曲面22y x z +=被曲面ax y x =+22所割下部分的重心的坐标。

21．计算曲面积分()⎰⎰=++=2222,,a z y x ds z y x f I ，其中()⎪⎩⎪⎨⎧+<+≥+=222222,0,,,yx z yx z y x z y x f 。

22．计算⎰⎰∑++yzdzdx xydydz xzdxdy ，其中∑是平面0=x ，0=y ，0=z ，1=++z y x 所围成的空间区域的整个边界边界曲面的外例。

23．计算dxdy z dxdz y dydz x 111++⎰⎰∑，其中∑为椭球面1222222=++c z b y a x 。

24．计算()()()⎰⎰∑-+-+-dxdyy x dxdy x z dydz z y ，式中∑为圆锥面2=+z y x 22()h z ≤≤0的外表面。