2014～2015学年度第一学期期末考试高二数学试题（理科）(考试时间：120分钟 总分：160分)命题人：张圣官 展国培 肖杉 张敏 审题人：杨鹤云 石志群注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． 参考公式：圆锥的侧面积公式S rl π=；棱锥的体积公式13V Sh =． 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．一质点运动的位移()s m 与时间()t s 的关系式是102+=t s ，则当3t s =时的瞬时速度是 ▲ /m s ．2．双曲线22144x y -=的两条渐近线方程是 ▲ ． 3．已知圆锥的母线长为5，底面圆半径为3，那么它的侧面积为 ▲ ． 4．函数xy e =在点()0,1处的切线方程是 ▲ ．5．若方程22222230x y mx m m +-++-=表示圆，则实数m 的范围是 ▲ ． 6．函数33y x x =-的极小值是 ▲ ．7．若两圆22()4x m y -+=与22(1)(2)9x y m ++-=相内切．．．，则实数m 的值为 ▲ ． 8．关于直线,,a b l 以及平面,M N ，下面命题中真命题的序号是 ▲ ． ⑴若//,//a M b M ，则//a b ； ⑵若,//a M a N ⊥，则M N ⊥； ⑶若,a M b M ⊂⊂，且,l a l b ⊥⊥，则l M ⊥； ⑷若//,a b b M ⊂，则//a M ．9．椭圆192522=+y x 上一点到左焦点的距离是4， 则它到椭圆的右准线的距离是 ▲ ．10．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -所有棱长均为a ，1A AB（第10题图）D 为1BB 上一点，则三棱锥1C ACD -的体积为 ▲ ．11．1122(,),(,)A x y B x y 是抛物线22y x =上相异的两点，且在x 轴同侧，点(1,0)C ．若直线,AC BC 的斜率互为相反数，则12y y = ▲ ．12．已知圆4:22=+y x O 和圆O 外一点()00,y x P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为B A ,，且0120=∠AOB ．若点()06，C 和点P 满足PO PC λ=，则λ的范围是 ▲ ．13．C 是椭圆()012222>>=+b a by a x 上位于第一象限内的点，A 是椭圆的右顶点，F 是椭圆的右焦点，且OF OC =．当OC AC ⊥时，椭圆的离心率为 ▲ ． 14．已知关于x 的不等式21ln 22x x x cx ≤-+-有解，则正整数c 的最小值为 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6小题,共90分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分） 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别是,AB BC 的中点． 求证：⑴//EF 平面1ABC ； ⑵平面1AB C ⊥平面11BDD B ． 16．（本题满分14分）已知圆C 过两点()()04,46A B ，，，且圆心在直线220x y --=上． ⑴求圆C 的方程；⑵若直线l 过原点且被圆C 截得的弦长为6，求直线l 的方程．1如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，3PA =，2AD =，AB =6BC =． (1)求异面直线BD 与PC 所成角的大小；(2)求二面角P DC B --的余弦值． 18．（本题满分15分）如图，已知海岛A 到海岸公路BC 的距离AB 为50km ，B ，C 间的距离为100km ，从A 到C ，必须先坐船到BC 上的某一点D ，船速为25/km h ，再乘汽车到C ，车速为50/km h ，设∠=BDA θ．记BCA α∠=（α为确定的锐角，满足1tan 2α=） ⑴试将由A 到C 所用的时间t 表示为θ的函数()t θ，并指出函数的定义域； ⑵问θ为多少时，由A 到C 所用的时间t 最少？请求出最少的时间．θD CB A如图所示，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点和上顶点分别为,A B ，2D 为椭圆上一点，且//OD AB ．⑴求椭圆的标准方程；⑵'D 与D 关于x 轴对称，P 为线段'OD 延长线上一点，直线PA 交椭圆于另外一点E ，直线PB 交椭圆于另外一点F ，①求直线PA 与PB 的斜率之积；②直线AB 与EF 是否平行？说明理由．20．（本题满分16分） 已知函数()ln ln (0)f x x x a x =-->，其中0a > ⑴求函数21()()(1)ln 2h x f x x ax a x =+-+-的单调递增区间； ⑵若函数()f x 有两个零点12,x x ，且12x x <，求实数a 的取值范围，并证明21x x 随a 的增大而减小．2014～2015学年度第一学期期末联考 高二数学试题（理科）参考答案1．6 2．y x =± 3．15π 4． 1y x =+ 5．(3,1)-6．2- 7．0或25-8．⑵ 9．152 10．312a11．2 12．2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦1314．315．（本小题满分14分）证明：⑴∵,E F 分别是,AB BC 的中点∴//EF AC …………………2分又∵EF ⊄平面1ABC ，AC ⊂平面1ABC ∴//EF 平面1ABC ． …………………7分⑵正方形ABCD 中，AC BD ⊥正方体1111ABCD A BC D -中，1BB ⊥平面ABCD∴1BB AC ⊥ …………………10分 ∴AC ⊥平面11BDD B ∵AC ⊂平面1ABC∴平面1AB C ⊥平面11BDD B ． …………………14分16．（本小题满分14分）解：⑴线段AB 的垂直平分线为290x y +-=圆心(4,1)C ， …………………3分 半径5r =故所求圆C 的标准方程为22(4)(1)25x y -+-= …………………7分⑵当直线l 的斜率不存在时，0x =显然满足题意； …………………9分 当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y kx =∵弦长为6，∴圆心C 到直线l 的距离4d = …………………11分4=，解得158k =-，此时直线l ：1580x y +=…………………13分故所求直线l 的方程为0x =或1580x y +=．…………………14分注：少写0x =扣2分．17．（本小题满分15分）解：以直线,,AB AD AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，(0,0,0),(0,2,0),(0,0,3)A B C D P⑴(3)BD PC =-=-u u u r u u u r∵0BD PC ⋅=uu u r uu u r异面直线BD 与PC 所成的角为2π．…………………7分⑵平面BCD 的法向量为1(0,0,1)n =u r…………………9分设平面PCD 的法向量为2(,,)n x y z =u u r(0,2,3)DC PD ==-u u u r u u u r2240230n DC y n PD y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u r uu r uu u r 解得平面PCD的一个法向量为23,2)n =--u u r…………………13分法向量1n u r ，2n u u r 夹角的余弦值为25，即二面角P －DC －B 的余弦值为25．…………15分注：答案是25-扣2分．18．（本小题满分15分）解：⑴50sin =AD θ，所以A 到D 所用时间12sin =t θ， 5050cos tan sin ==BD θθθ，50cos 100100sin =-=-CD BD θθ，所以D 到C 所用时间2cos 2sin =-t θθ， 所以122cos ()2sin -=+=+t t t θθθ，定义域为(,)2πα． ………5分⑵222sin (2cos )cos 12cos ()sin sin ---'==t θθθθθθθ ………8分令()0'>t θ1cos 2⇒<θ32⇒<<ππθ；所以(,)32∈ππθ，()t θ单调增；………10分因为BCA α∠=，则3παθ<<时，()0'<t θ，所以(,)3πθα∈，()t θ单调减；………12分因此，3=πθ，()t θ取到最小值2+14分答：当3=πθ时，由A 到C 的时间t最少，最少时间为215分注：若定义域写成闭区间[,]2πα不扣分；若写成(0,)2π扣2分．19．（本小题满分16分） 解：⑴(,0),(0,)A a B b - ∵//OD AB，D ∴12b a =且222112ab +=解得224,1a b ==∴椭圆的标准方程为2214x y +=． ………4分⑵①(2,0),(0,1),A B D -，直线'OD ：12y x =-设00(,)P x y ，则00001,2PA PB y y k k x x -==+，且0012y x =- ∴000000001(2)(1)14(2)(2)4PA PB x x y y k k x x x x +-⋅===++． ………8分 ②直线//AB EF ． ………9分设1122(,),(,)E x y F x y ，直线PA ：1(2)y k x =+，代入椭圆方程2244x y +=得22214(2)4x k x ++=，整理得2211(2)[(41)82]0x k x k +++-= 解得211212841k x k -=+，从而2112211284(,)4141k k E k k -++ ………11分 设直线PB ：21y k x =+，代入椭圆方程2244x y +=得2224(1)4x k x ++=，整理得222[(41)8]0x k x k ++= 解得2222841k x k =-+，从而2222222814(,)4141k k F k k --++ ………13分由⑵可知1214k k =，所以2112211841(,)4141k k F k k --++∴直线EF 的斜率为211222111122111122114144141441182888224141k k k k k k k k k k k k --++--==-----++ ………15分 又∵直线AB 的斜率为1010(2)2-=-- 所以直线//AB EF ．………16分20．（本小题满分16分）解：（1） 21()ln (1)ln 2h x a x x a x a =+-+-，定义域为(0,)+∞且0a >， 因为2(1)()(1)'()(1)a x a x a x a x h x x a x x x-++--=+-+==， ………2分①当1a =时，()0h x '≥恒成立，所以()h x 的单调递增区间为(0,)+∞； ………3分 ②当1a >时，所以()h x 的单调递增区间为(0,1)或(,)a +∞； ………5分 ③当01a <<时，所以()h x 的单调递增区间为(0,)a 或(1,)+∞． ………7分（2）由11()10x f x-'=-==，得1x =．当x 变化时，()f x '、()f x 的变化如下表： ………10分这时，()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞．当x 大于0且无限趋近于0时，()f x 的值无限趋近于-∞；当x 无限趋近于+∞时，()f x 的值无限趋近于-∞．所以()f x 要有两个零点，须满足(1)f >0，即ln 1a <-，所以a 的取值范围是1(0,)e -． ………12分 因为12,x x 是函数()f x 的两个零点，即11ln ln 0x x a --=，22ln ln 0x x a --=，则11x x a e =，22x x a e=．因为(1)ln 1f a =--且1(0,)a e -∈，则得12(0,1),(1,)x x ∈∈+∞． 设()x x F x e =，则1()x xF x e-'=，所以()F x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减．对于任意的112,(0,)a a e -∈，且12a a >，设121()()F F a ξξ==，其中1201ξξ<<<；122()()F F a ηη==，其中1201ηη<<<； 因为()F x 在(0,1)上单调递增，故由12a a >，即11()()F F ξη>，可得11ξη>； 类似可得22ξη< ．由110ξη>>，则1111ξη<，所以2211ξηξη< ． 所以，21x x 随a 的增大而减小． ………16分。