零、极点分布图
传递函数的零、极 点分布图： 将传递函数的零、 极点表示在复平面 上的图形。 零点用“O”表示
极点用“×”表示
单位脉冲响应
单位脉冲函数 xr (t ) (t )
系统输出
X r (s) L[ (t )] 1
xc (t )
X c ( s) G( s) X c ( s) L[ g (t )] X r ( s)
拉氏反变换的定义
其中L－1为拉氏反变换的符号。
拉氏变换的计算
指数函数
三角函数 单位脉冲函数 单位阶跃函数 单位速度函数
单位加速度函数
幂函数
高等函数初等函数
指数函数的拉氏变换
三角函数的拉氏变换
（尤拉公式）
幂函数的拉氏变换
阶跃函数的拉氏变换
单位速度函数的拉氏变换
斜坡函数
单位脉冲函数拉氏变换
!传递ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数的直接计算法
d (i ) dti
si
特征方程
M ( s) N ( s)
G( s)
M (s) b0 s m b1s m1 ... bm1s bm N (s) a0 s n a1s n1 ... an1s an
N(s)=0 系统的特征方程，特征根 特征方程决定着系统的动态特性。 N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。
g(t)称为系统的脉冲响应函数（权函数） 传递函数 脉冲响应函数
系统动态特性
可见：
①
传递函数是单位脉冲响应函数在拉氏变换下的象 函数。
②
零初始条件下线性定常系统输出拉氏变换和输入 拉氏变换的比。
结论
传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系 来描述系统的固有特性，即以系统外部的输入－ 输出特性来描述系统的内部特性。若输入给定， 则系统输出特性完全由传递函数G(s) 决定。
自动控制原理
第三章 线性系统的数学模型
本章知识点： 线性系统的输入－输出时间函数描述 传递函数的定义与物理意义 典型环节的数学模型 框图及化简方法
线性系统的输入-输出传递函数描述
拉普拉斯变换复习(复习） 传递函数定义
拉氏变换及其反变换
拉氏变换的定义 拉氏变换的计算 拉氏变换求解方程
传递函数是复数s域中的系统数学模型。其参数 仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入 形式无关。
注意
适用于线性定常系统 只适合于单输入单输出系统的描述 无法描述系统内部中间变量的变化情况
传递函数原则上不能反映系统在非零初始条 件下的全部运动规律
传递函数中的各项系数和相应微分方程中的 各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数。
bm K 系统的放大系数或增益 当s=0时 G(0) an
！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为 零。K ——系统处于静态时，输出与输入的比值。
零点和极点
b0 s m b1s m1 ... bm1s bm G( s) a0 s m a1s n1 ... an1s an
传递函数的定义 在零初始条件(输入量施加于系统之前，系统处于 稳定的工作状态，即t < 0 时，输出量及其各阶导 数也均为0 )下，线性定常系统输出量的拉氏变换 与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。
G( s) L[ xc (t )] X c ( s) L[ xr (t )] X r ( s)
洛必达法则
单位加速度函数拉氏变换
抛物线函数
拉氏变换的主要运算定理
线性定理 微分定理 积分定理 位移定理
延时定理
卷积定理
初值定理
终值定理
线性定理
叠加定理
比例定理
微分定理
多重微分
原函数的高阶导数 像函数中s的高次代数式
积分定理
多重积分
原函数的n重积分像函数中除以sn
位移定理
原函数乘以指数函数e-at像函数d在复数域中作位移a
L-1[F(s)] = L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)] = f1(t) + f2(t) + … + fn(t) F(s)= F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)
条件： 分母多项式能分解成因式
F ( s) B( s) K ( s z1 )(s z2 )...(s zm ) A( s) ( s p1 )(s p2 )...(s pn )
多项式极点
p1 , p2 ,..., pn
多项式零点
z1 , z2 ,..., zm
拉氏变换求解线性微分方程 将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程； 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；
应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。
微分方程式的解
a、
A、B、
指数函数 正弦函数
b0 ( s z1 )(s z2 )...(s zm ) G( s) a0 ( s p1 )(s p2 )...(s pn )
M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根 s=zi(i=1, 2, …, m)，称为传递函数的零点。
N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根 s=pj(j=1, 2, …, n)，称为传递函数的极点。 ！系统传递函数的极点就是系统的特征根。 ！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。
LCs U0 (s) RCsU0 (s) U0 (s) Ui (s)
2
（LCs RCs 1）Uc (s) Ur (s)
2
U 0 ( s) 1 2 U i (s) LCs RCs 1
R(s)
G(s)
C(s)
C ( s) G( s) R( s )
零初始条件下
• 运算阻抗法
延时定理
原函数平移 像函数乘以 e-s
终值定理
原函数f(t)的稳态性质 sF(s)在s=0邻域内的性质
初值定理
卷积定理
其它方法
变量置换法
拉氏反变换方法 部分分式法的求取拉氏反变换
B(s) b0 s m b1s m1 .... bm1s bm F ( s) ,m n n n 1 A(s) a0 s a1s .... an1s bn
U 0 ( s) 1 Cs G ( s) U i ( s ) R Ls 1 Cs 1 LCs 2 RCs 1
系统传递函数的一般形式
d n xc (t ) d n 1 xc (t ) dxc (t ) a0 a ... a an xc (t ) 1 n 1 n n 1 dt dt dt d m xr (t ) d m1 xr (t ) d xr (t ) b0 b1 ... bm1 bm xr (t ) m m 1 dt dt dt
初始条件为零时 微分方程拉氏变换
(a0 s n a1s n1 ... an1s an ) X c (s) (b0 s m b1s m1 ... bm1s bm ) X r (s)
系统的传递函数 X c (s) b0 s m b1s m1 ... bm1s bm G( s) X r (s) a0 s n a1s n1 ... an1s an
课堂小结
掌握拉氏变换求解微分方程的方法
牢固掌握系统传递函数的定义
谢谢大家！
系统(或环节) X (s) r 的输入量 系统(或环节) 的输出量
X c ( s)
X c (s) X r (s)G(s)
例：RLC电路
微分方程：
d 2u0 (t ) du0 (t ) LC RC u0 (t ) ui (t ) 2 dt dt
设初始状态为零，对上式进行拉氏变换，得到：
外部条件 起始条件
Aeat Bsin(t+)
微分方程式的各系数
应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动地 包含在微分方程的拉氏变换式中，因此，不需要根据初始 条件求积分常数的值就可得到微分方程的全解。 如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变换可以简单 地用sn代替dn/dtn得到。
拉氏变换 拉氏反变换
拉氏变换的定义
设函数f(t)满足：
1. f(t)实函数； 2. 当t<0时 ， f(t)=0； 3. 当t0时，f(t)的积分 0 f (t )e st dt在s的某一域内收敛 则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：
式中：s=σ+jω（σ，ω均为实数）； F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数; f(t)称为F(s)的原函数； L为拉氏变换的符号。