却是不一样的，前者的 表示微元面 dS 上的磁通量，是一个微小量，而后者的 的是微笑时间的磁通量变化量，是一个微小变化量。
表示
3 微元的选取以及微积分解决物理问题时的一般步骤
3.1 微元的选取
在使用微积分去解决物理问题时，微元的选取是非常重要的，有的时候在微元的选择 上并不是仅仅只有一个，因此，选取一个合适的微元对我们解决问题会有很大帮助。
h-x 时，水从小孔中单位时间流过单位截面积的流量为 v=
，其中 g 为重力加速度
设积分变量 x,其变化区间为[0，h]
任取[x,x+Δx]∈[0,h]，当桶中液体下降Δx 时，所需要的时间用 dt 表示，根据水的流量
体积相等得 dx=v dt
页脚
.
.
所以 dt= /[
]dx,x∈[0,h]
流完一桶水所需的时间
的长直导线旁有一共面的单匝矩形线圈 ABCD，试
解：设在某个时刻，长直导线电流产生的磁场为
B= 在图中做一个微元面 dS,dS=ldx,则该面元上的磁场可以近似于均匀磁场，微元面 dS 上 的磁通量为
d 线圈围成的面感应电动势为
在这个例题中，微元面 dS 的磁通量与线圈的感应电动势都有 ，但他们的物理含义
在物理学中，每个物理公式都是某些物理现象和规律的数学表示，因此，我们在使用 这些公式时，面对物理量和公式的微分形式我们不能仅仅从数学方面去考虑，更要从物理含 义上去考虑。在我们使用微分符号时，不能只从数学角度去理解其为无限小，更要结合具体 的物理量和角度去判断他的正确含义。
例：如图所示，一通有交流电流 i= 求线圈中的感应电动势大小。
选取微元要遵循以下几个原则：1.可加性原则，由于在题目中我们所选取的微元要可 以叠加演算，因此，选取的微元要具备可加性；2.有序性原则，为了保证我们所选取的微元 能够在叠加区域可以不遗漏，不重复的叠加，我们就需要注意按照量的某种序来选取微元； 3.平权型原则，叠加演算实际上就是一种复杂的“加权叠加”。对于一般的“权函数”而言， 叠加演算，也就是求定积分是十分复杂的，但如果“权函数”具备了“平权性”特征（在定 义域的值处处相等），原本复杂的题目就会化成简单的形式更有利于我们去解决问题。 例：求半径为 R 的均匀带电半球面在点 O 的电场强度，设球面上电荷面密度σ>0.
2 微积分的基本概念及微分的物理含义
微积分是一种数学思想，其建立在函数，实数和极限的基础上，其主要探讨的就是连 续变量。在运用微积分去解决物理问题时，可以将我们所需要得出的结果看成是一个整体， 再将这个整体先微分，即将其分成足够小的个体，我们可以将这个个体的变量看成衡量，得 出个体结果后，再将其积分，即把个体的结果累积起来进行求和。例如，在我们研究匀变速 直线运动时，我们就可以在其运动过程中选取一个微小的时间 dt，而这一时间的位移为 dt， 在每一段时间速度的变化量非常小，可以近似忽略，那么我们就可以将这段时间的运动近似 看成匀速直线运动，再把每段时间的位移相加，无限求和，就可以得出总的位移。
解法一： 电荷 dq，则有 dq= dS= (Rd )(R
如图，在球面上任取面元 dS，将其上的电荷为一点 )d
=
dd
则该点电荷元在点 O 产生的场强
dE=dq/(4 ε0 )=
d d /(4 ε0)
页脚
.
.
根据对称性，即得出点 O 场强 E0 沿 Z 轴正方向，大小为 E=∫∫dE = /(4ε0)
tf=
dx
但因为被积函数是[0，h]上的无界函数，所以
tf =
dx
= 由此题可看出，在我们通常使用微积分解决物理问题时，建立坐标系是很好的一个方法，
.
.
微积分在物理学上的应用
1 引言
微积分是数学的一个基本学科，容包括微分学，积分学，极限及其应用，其中微分学包 括导数的运算，因此使速度，加速度等物理元素可以使用一套通用的符号来进行讨论。而在 大学物理中，使用微积分去解决问题是及其普遍的。对于大学物理问题，可是使其化整为零， 将其分成许多在较小的时间或空间里的局部问题来进行分析。只要这些局部问题分的足够 小，足以使用简单，可研究的方法来解决，再把这些局部问题的结果整合起来啊，就可以得 到问题的结果。而这种将问题无限的分割下去，局部问题无限的小下去的方法，即称为微分， 而把这些无限个微分元中的结果进行求和的方法，即是积分。这种解决物理问题的思想和方 法即是微积分的思想和方法。
元的选取并不影响结果，因此我们要正确理解其含义，才能更好地从物理概念，物理实质上 去把握微积分。
3.2 微积分解决物理问题时的一般步骤
1.根据题意分析，选取一个具有广泛意义的微元，对微元进行分析，若是题目简单且物 理含义比较明显，且遵从题意，可直接进行积分。
2.若是题目较复杂，根据题意，对于一个暂态过程写出一个平衡等式，然后对两边微分， 在得到一个微元结果后，对这个分式进行积分操作。
以上步骤都是在遵从题意的基础下进行，进行微分分析的结果一般是一个微分方程，在 求解时要注意初始条件，在积分时，更要注意取上下限时，要满足边界条件。 例：圆柱形桶的壁高为 h，半径为 R，桶底有一半径为 r 的小孔，试问从盛满水开始打开小 孔直至流完桶中的水，共需多长时间？
解：
如图建立坐标系，在没有摩擦力的情况下，当桶水位高度为
解法二：
如图，沿着与 Z 轴的垂直方向把半球面分割成许多不同半径
的带电圆环，任取一圆环，其上的电荷在点 O 产生的场强
dE=dqz/[4 ε0
]
=( /2ε0)
d
方向沿 OZ 轴正方向，点 O 场强
E=∫dE= /(4ε0) 由例子可知选取的微元不同，解法也是不同的，代表的物理含义也是不一样的，然而微
我们通常在微元的选取方面有以下几点注意，第一，在我们选取微元时，要保证我们 们所选择的微元能够让我们可以将原本的问题近似处理的比较简单，以使我们能够更加便利 且清晰的区解决物理问题；第二，我们要使我们选择的微元尽可能地大，这样在我们去积分 时可以更为方便，如果微分过细，那么我们的过程会更精准，可是相对的，我们在积分时面 临的过程也会更加繁琐，因此我们要处理好微分和积分之间的运算；第三，能用一元微元去 解决问题时尽量使用一元微元，因为重积分使用起来要比一元积分麻烦的很多。