求解在立体斜面上滑动的物体的速度一物体放在斜面上，物体与斜面间的摩擦因数μ恰好满足αμtg =，α为斜面的倾角。

今使物体获得一水平速度0V 而滑动，如图一，求：物体在轨道上任意一点的速度V 与φ的关系，设φ为速度与水平线的夹角。

解：物体在某一位置所受的力有：重力G ϖ，弹力N ϖ以及摩擦力f ϖ。

摩擦力f ϖ总是与运动速度V 的方向相反，其数值 ααααμμsin cos cos mg mg tg mg N f ====重力在斜面上的分力为1G ϖ，如图二，将1G ϖ分解为两个分力：1G ϖ''是1G 沿轨迹切线方向的分力，φαφsin sin sin 11mg G G =='' ；1G ϖ'是沿轨迹法向的分力，φαφcos sin cos 11mg G G =='，如图三。

根据牛顿运动定律，得运动方程为τma f G =-''1 （1）n ma G ='1（2） 由（1），)1(sin sin )sin sin sin (1-=-=φααφατg mg mg ma 而 ,dt dV a =τ得到 ,)1(sin sin dt g dV -=φα （3）式中φ是t 的函数，但是这个函数是个未知函数，因此还不能对上式积分，要设法在φ与t 中消去一个变量，才能积分，注意到φφd d ds V V dS dt 1== （4）而φd ds表示曲线在该点的曲率半径ρ，根据（2）式，ρφα2cos sin V m mg = （5）由式（3）（4）（5），可得到,)sec (φφφd tg V dV-=φφφφd tg V dV V V ⎰⎰-=00)sec (，积分，得到)sin 1ln()ln(sec cos ln ln 0φφφφ+-=+--=tg V V，.sin 10φ+=V V运用积分法求解链条的速度及其时间一条匀质的金属链条，质量为m ，挂在一个光滑的钉子上，一边长度为1L ，另一边长度为,2L 而且120L L <<，如图一。

试求：链条从静止开始滑离钉子时的速度和所需要的时间。

解：设金属链条的线密度为.21L L m+=λ当一边长度为x L +1，另一边长度为x L -2时受力如图二所示，则根据牛顿运动定律，得出运动方程,)()(11a x L T g x L λλ+=-+.)()(22a x L g x L T λλ-=-- 则.2)(2121g L L x L L a ++-= 因为dx VdV dt dx dx dV dt dV a ===，所以 ,2)(2121g L L x L L dx VdV ++-= ⎰⎰++-=x Vgdx L L x L L VdV 0212102)( .)(222121x x L L L L g V +-+= 令,2L x ≈可以求得链条滑离钉子时的速度大小21212L L g L L V += 再由,dt dx V =得到 22121)(2x x L L L L g dtdx +-+= ,20210221dt L L g x x L L dxt x ⎰⎰+=+-）（ 积分，得到,2])(2)(2ln[21022121t L L g x x L L L L x x +=+-+-+ ,2)(2)(2ln 212122121t L L g L L x x L L L L x +=-+-+-+ 令x=2L ,可以求得链条滑离钉子所需的时间为.ln 22ln 221212*********L L L L g L L L L L L L L g L L t -++=-+++=求解棒下落过程中的最大速度在密度为1ρ的液体上方有一悬挂的长为L,密度为2ρ的均匀直棒，棒的下端刚与液面接触。

今剪断细绳，棒在重力和浮力的作用下下沉，若21ρρ<，求：棒下落过程中的最大速度。

解：剪断细绳后，直棒在下沉过程中受到重力G ϖ和浮力F ϖ的作用，如图一所示。

根据牛顿运动定律，有 .dt dV m F mg =- （1） 随着棒往下沉，浮力逐渐增大。

当直棒所受合力为零，即mg F =时，棒的加速度为零，速度最大。

设棒达到最大速度时，棒浸入液体中的长度为1L ，设棒的截面积为S ，则有,211SLg g SL ρρ=解得，.121L L ρρ= （2） 取x 坐标如图所示，则（1）式可以写为.212dtdV SLSxg SLg ρρρ=- 做变量代换，令,dx dV V dt dx dx dV dt dV ==代入上式，得到 ;)1(21VdV gdx L x =-ρρ 两边积分，得到⎰⎰=-110021)1(V L VdV gdx L x ρρ 得到，212121121)21(V L L g gL =-ρρ 将（2）式代入（3）式，得棒的最大速度为.121Lg V ρρ=运用微分法求解阻尼平抛质量为m 的物体，以初速为0V ，方向与地面成0θ角抛出。

如果空气的阻力不能忽略，并设阻力与速度成正比，即V k f ϖϖ-=，k 为大于零的常数。

求：物体的运动轨道。

解：根据受力情况，列出牛顿运动定律方程a m f g m ϖϖϖ=+其分量式，,x x x ma kV f =-= （1）y y ma kV mg =- （2） 将dtdV a x x =代入式（1），得 ,dtdV m kV x x =- 改写成,dt mk V dV x x -=⎰⎰-=x x V V t x x dt V dV 00,m k 两边积分，得到 .cos 00t m k t m k x x e V eV V --⋅==θ 可见由于空气阻力的存在，x 方向的速度不再是常数，而随时间逐渐衰减。

由于,dtdx V x =再积分，并以t=0时x=0,代入得到 ).1(cos )1(000t m kt m k x e k V e k m V x ---=-=θ （3） 同理，由于,dt dV a yy =式（2）转化为),(y y yV k mg m k V m k g dt dV -=-=.dt m k V kmg dV y y -=- 积分，并以t=0时，000sin θV V V y y ==代入，得到.)sin (00k mg e k mg V V t m ky -+=-θ 可见，y 方向的速度也不再是匀减速的。

再将上式对时间积分，并以t=0时y=0代入，得到.)1)(sin (00t k mg e k mg V k m y t m k --+=-θ （4） 由（3）（4）两式消去t,得到有阻力时的轨道方程).cos 1ln()cos 1ln()cos (022*******x mV k kg m x mV k k g m x kV mg tg y θθθθ-+-++= 显然由于空气阻力的作用，抛体的轨道不再是简单的抛物线了，实际轨道将比理想轨道向左下方偏离，如图一。

例如：以初速620m/s,仰角045发射的步枪子弹的射程，没有空气阻力时应为40km,而实际射程只有4km. 求解飞机的滑行距离飞机以0V 的水平速度触地滑行着陆。

滑行期间受到空气的阻力为2V C x ，升力为2V C y ，其中V 是飞机的滑行速度。

设飞机与跑道间的摩擦系数为μ，试求：飞机从触地到停止所滑行的距离。

解：取飞机触地点为坐标原点，取飞机滑行方向为x 轴。

飞机在水平方向上受力为：摩擦力N f μ=，空气阻力为2V C f x ='；在竖直方向上受力为：重力、支持力和升力,2V C F y =如图一所示，应用牛顿第二定律，得到dtdV m V C N x =--2μ .02=-+mg V C N y由上两式消去N ，得到.)(2V C C mg dtdV my x μμ---= 利用,dxdV V dt dx dx dV dt dV == 得到.)(2V C C mg dx dV mV y x μμ---= 分离变量，积分⎰⎰-=-+VV x y x dx V C C mg mVdV 002)(μμ， 得到].)()(ln[)(2202V C C mg V C C mg C C m x y x y x y x μμμμμ-+-+--= 在飞机触地的瞬间，,0V V =支持力N=0,由运动方程，得到.20mg V C y = 于是].)(ln[)(22022020V C V C C V C C C g V C x x y x y y y y μμμ-+--=这就是飞机从触地到停止所滑行的距离。

社5,/900==x y C C h km V （升阻比），10.0=μ。

代入数值计算后，得到 x=221m. 求解阻尼自由落体和阻尼竖直上抛的相遇问题两小球的质量均为m ，小球1从离地面高度为h 处由静止下落，小球2在小球1的正下方地面上以初速0V 同时竖直上抛。

设空气阻力与小球的运动速率成正比，比例系数为k(常量)。

试求：两小球相遇的时间、地点以及相遇时两小球的速度。

解：两小球均受重力和阻力作用，取坐标如图一所示，两小球的运动方程可统一表示为,22mg kV dt y d m --= 它们运动状态的差别仅由于初始条件的不同而引起的，故 ,g V m kdt dV--=分离变量.dt gV m kdV =--对于小球1，初始条件为0=t 时，,,01010h y V ==故,100⎰⎰=--V tdt g V m k dV).1(1tm ke k mg V ---= (1)对于小球2，初始条件是t=0时，,0,20020==y V V 故⎰⎰=--10,0V V tdt gm k dV 得到.02k mge k mg V V t m k -+=-）（ （2）由（1）式，得到),1(1tm ke k mg dt dy ---=dt e k mgdy tm k)1(1---=⎰⎰---=101)1(y h t tm k dt e k mg dy积分，得到.)1(221t k mg e k g m h y t m k--+=- 由式（2）得到,)(02kmg e k mg V dt dy t m k-+=- dt k mg e k mg V dy t m k ])[(02-+=- dt k mg e k mg V dy t t m ky ⎰⎰-+=-0002])[(2积分，得到t kmg e k mg V k m y t m k -+=-)(02 两小球相遇时，,21y y =相遇时间为*t ，由（3（4）两式，得到)1(*0t m k e V k m h --=，,10*mV kh e t m k-=- 故),1ln(0*mV kh k m t --= 把上述结果代入（3）或者（4），得到两小球相遇的地点).1ln()1(0220*mV kh k g m h kV mg y -++= 代入（1）（2），得到两小球相遇时的速度;)]1(1[00*1V gh mV kh k mg V -=---= .)()1)((0000*2mkh V gh V k mg mV kh k mg V V --=--+= 讨论：（1）当阻力很小时，即当0→k 时，利用展开式,2)1ln(2x x x --=- 上述结果简化为.,;2;00*20*120*0*V gh V V V gh V V gh h y V h t -=-=-==这正是不考虑空气阻力时的结果。