• 粒子之间“不可分辨”，每个态仍然能容纳任意多粒子
例 gi 3, ni 2
1,1 1, 2 1,3
2,1 3,1
2, 2 3, 2
2, 3,
3 3
1,1 1, 2 2,1
1, 2与2,1状态相同！
一般情形：ni个球由gi-1个隔板隔开
gi ni 1! gi 1!ni !
• 微观状态数为
第三节 单粒子配分函数
单粒子配分函数
q
e j 简并 q
j
jggj ie j
例 简单两能级系统 0
q 1 e
单粒子配分函数物理意义
T , ei 1 q 等于态的总数
T 0, ei1 0 q 等于基态简并度
一般情形，q大致表示温度T时粒子能 明显布居的态数目
2 1
0 0
单粒子配分函数
g n1 1
g n2 2
N! n1 !n2 !
g n1 1
g n2 2
W N !
g ni i
i ni !
例 gi 3, n 2
1,1 1, 2 1,3
2,1 3,1
2, 2 3, 2
2, 3,
3 3
1,1 1, 2 2,1
1, 2与2,1状态不同
微观状态数
不可分辨粒子：Bose子
统计热力学初步
第一节 引 言
统计力学与热力学比较 研究对象：由大量粒子(~1020)构成的宏观体系性质
热力学： 实验规律，从大量的宏观系统宏观现象的观测和
实验分析总结 以热力学基本定律为基础，运用数学的方法进行
归纳和演绎 具有普遍性和可靠性 数据完全由实验得到 不考虑微观原理，不给出形成机理
*
ij
ni*
近Boltzmann分布
N=2×1020
|n/n*| W/W*
0.1
Exp(‐1018)
设统一的相对偏差
0.001 10‐9
Exp(‐1014) 3.7×10-44
10‐10
0.37
最可几分布代表了宏观热平衡系统的真实分布；实际分布和 最可几分布间可以有很小很小的偏差，存在自发涨落现象
微观描述
引言
统计力学
宏观性质
统计热力学(平衡态)
微观态与宏观态
• 微观态：量子力学描述波函数与能级 i ,i
经典力学描述相空间轨迹 rN ,pN
• 宏观态：(N, V, E, , P, T, …)
• 同一宏观态对应于极大量微观态 • 宏观性质是大量微观态统计平均的结果
独立粒子系统
系统描述
对角线状态不存在
一般情形：从gi个位置中拿出ni个
C ni gi
ni !
gi ! gi ni
!
• 微观状态数为
WFermi i
gi ! gi ni !ni !
例 10个可分辨粒子，在4个能级上分配；能级分别为0,q,2q,3q；总
能量为3q，求下列情况下的分布及相应微观状态数
① 能级非简并
pi =
ni N
giei i giei
相对分布表述
1
kT
ni nj
giei kT g je j kT
非简并情形
ni ei j kT nj
ni n0ei kT
例如：粒子在重力场中分布（平均温度T）
n h n0emgh kT
pV nRT
p h p0emgh kT
近Boltzmann分布
② 能级非简并，粒子数变为10000
分布 0
q
2q
3q
1 9999 0
0
1
W(i) 10000
W(i)/Wtot ~0
2 9998 1
1
0 99990000
~0
3 9997 3
0
0 ~1.66E11
~1
• 大量粒子，最可几分布出现的概率接近于1
实际宏 观状态
第二节 : Boltzmann分布
问题提出
N个可分辨粒子，总能量为E，排列在不同能级 {εi}上，最可几分布是什么？
• 特定分布{ni}出现的热力学几率正比于
W
ni
N!
g ni i
i ni !
条
件
• 注意到分布{ni}必须满足粒子数和能量守恒
极
i ni N
i nii E
值
Boltzmann分布
Boltzmann 分布：
引言
统计力学与热力学比较 研究对象：由大量粒子(~1020)构成的宏观体系性质
统计力学： 从微观结构出发，从微观粒子的运动行为出发，
运用统计(平均、涨落)方法，推导宏观物质性质 以一些基本假设为基础，依据一些微观结构模型 数据由理论得到 微观结构模型依赖于人们对微观世界物质结构的
认识，为数学处理方便，又常常需要简化和近似
分布 0
1
9
2
8
3
7
q
2q
3q
W(i) W(i)/Wtot
0
0
1
10
1/22
1
1
0
90
9/22
3
0
0
120 12/22
• 仅有3种可能的分布 • 相应的微观状态数为
W1 N ! i
g ni i
ni !
10! 1!0!0!9!
10, W2
10! 8!
90, W3
10! 3!7!
120
• 第3种分布为最可几分布
对Boltzmann分布的偏离
ni ni* niFra bibliotek lnW lnW *
i
lnW ni
*
ni
1 2
i, j
2 lnW nin j
*
nin j
...
lnW N ln N
i
ni
ln
ni gi
对Boltzmann分布
i
lnW ni
*
ni
0,
2 lnW nin j
• N个粒子，无相互作用，总能量为E
• 粒子可以处于不同能级 i
• 简并：每个能级可以有多个不同(量子)状态
微观状态描述
• 确切规定每一个粒子处于哪一个能级上 • 简并情形：确切给定粒子所处的(量子)态
系统状态描述 • 有多种分布：{i,gi;ni}
• 每种分布对应于大量微观态
等几率假设：孤立平衡系统中，各微观状态出现的几率相同
微观状态数
可分辨粒子（每个态能容纳任意多个粒子）
• 从N个粒子中取n1个粒子到能级ε1
C n1 N
• 每个粒子可占据g1个态中的任意一个
g n1 1
• 从N‐n1个粒子中取n2个粒子到能级ε2
C n2 N n1
• 每个粒子可占据g2个态中的任意一个
g n2 2
…
W
C C n1 n2 N N n1
WBose
i
gi ni 1! gi 1!ni !
微观状态数
不可分辨粒子：Fermi子
• 粒子之间“不可分辨”，每个态至多能容纳1个粒子
例 gi 3, ni 2
1,1 1, 2 1,3
2,1 3,1
2, 2 3, 2
2, 3 3, 3
1, 2 1, 3 2, 3
1, 2与2,1状态相同！