单元质量评估(一)第一章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2016·宜昌高二检测)下列命题:①面积相等的三角形是全等三角形;②若xy=0,则|x|+|y|=0;③若a>b,则ac2>bc2;④矩形的对角线互相垂直.其中假命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选D.①等底等高的三角形都是面积相等的三角形,但不一定全等;②当x,y中一个为零,另一个不为零时,|x|+|y|≠0;③当c=0时不成立;④菱形的对角线互相垂直,矩形的对角线不一定垂直.【补偿训练】下列命题是真命题的是( )A.y=tanx的定义域是RB.y=√x的值域为R的递减区间为(-∞,0)∪(0,+∞)C.y=1xD.y=sin2x-cos2x的最小正周期是π【解析】选D.当x=kπ+π,k∈Z时,y=tanx无意义,A错;2函数y=√x的定义域为[0,+∞),且为增函数,则y=√x≥0,B错;函数y=1的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在区间(-∞,0)和区间(0,+∞)都递减,x但当x=-1时,y=-1,当x=1时,y=1,故C错;=π,故D正确.由y=sin2x-cos2x=-cos2x,得其周期为T=2π22.(2016·浙江高考)命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( )A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2【解题指南】根据量词的否定判断.【解析】选D.∀的否定是∃,∃的否定是∀,n≥x2的否定是n<x2.3.(2016·焦作高二检测)给出命题p:3>1,q:4∈{2,3},则在下列三个命题:“p∧q”“p∨q”“p”中,真命题的个数为( )A.0B.3C.2D.1【解析】选D.因为p真q假,所以“p∧q”为假,“p∨q”为真,“p”为假.4.(2016·广州高二检测)下列说法正确的是( )A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”B.命题“∀x≥0,x2+x-1<0”的否定是“∃x0<0,x02+x0-1<0”C.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为假命题D.若“p∨q”为真命题,则p,q中至少有一个为真命题【解析】选D.“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2≠1,则x≠1”,故A错;否命题既否定条件,又否定结论;而命题的否定只否定命题的结论.“∀x≥0,x2+x-1<0”的否定是“∃x0≥0,x02+x0-1≥0”,故B错;命题“若A,则B”的逆否命题是“若B,则A”,因此“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为“若sinx≠siny,则x≠y”,这是一个真命题;“p∨q”为真命题时,p 与q中至少有一个为真命题.【补偿训练】(2016·资阳模拟)给出以下四个判断,其中正确的判断是( )A.若“p或q”为真命题,则p,q均为真命题B.命题“若x≥4且y≥2,则x+y≥6”的逆否命题为“若x+y<6,则x<4且y<2”C.若x≠300°,则cosx≠12D.命题“∃x0∈R,e x0≤0”是假命题【解析】选D.若“p或q”为真命题,则p,q至少一个为真命题,故A错误;命题“若x≥4且y≥2,则x+y≥6”的逆否命题为“若x+y<6,则x<4或y<2”,故B错误;若x≠300°,则cosx≠12错误,如x=60°≠300°,但cos60°=12,故C错误;由指数函数的值域可知,命题“∃x0∈R,e x0≤0”是假命题,故D正确.5.(2016·珠海高二检测)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为( )A.存在x0∈R,使得x02<0B.对任意x∈R,使得x2<0C.存在x0∈R,都有x02≥0D.不存在x0∈R,使得x02<0【解析】选A.根据全称命题的否定是特称命题可得命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为“存在x0∈R,使得x02<0”.【补偿训练】命题“存在x0∈R使得e x0≤0”的否定是( )A.不存在x0∈R使得e x0>0B.对任意x∈R,e x>0C.对任意x∈R,e x≤0D.存在x0∈R,使得e x0>0【解析】选B.命题“存在x0∈R,使得e x0≤0”的否定是对任意x∈R,e x>0.6.若关于命题p:A∪∅=A,命题q:A∩∅=A,则下列说法正确的是( )A.(p)∨(q)为假B.(p)∧(q)为真C.(p)∨q为假D.(p)∧q为真【解析】选C.命题p是真的;命题q是假的.则p是假的,q为真的,则(p)∨q 为假.7.(2016·宿州高二检测)若存在x0∈R,使a x02+2x0+a<0,则实数a的取值范围是( )A.a<1B.a≤1C.-1<a<1D.-1<a≤1【解析】选A.当a≤0时,显然存在x0∈R,使a x02+2x0+a<0;当a>0时,必需Δ=4-4a2>0,解得-1<a<1,故0<a<1.综上所述,实数a的取值范围是a<1.8.命题“对于正数a,若a>1,则lga>0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选D.原命题“对于正数a,若a>1,则lga>0”是真命题;逆命题“对于正数a,若lga>0,则a>1”是真命题;否命题“对于正数a,若a≤1,则lga≤0”是真命题;逆否命题“对于正数a,若lga≤0,则a≤1”是真命题.9.(2016·郓城高二检测)等差数列{a n}中,“a1<a3”是“a n<a n+1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】利用等差数列的公差进行判断.【解析】选C.等差数列中,由a1<a3,可知公差d>0,所以a n+1=a n+d>a n,即a n<a n+1.反过来,由a n<a n+1,可知公差d>0,所以a3=a1+2d>a1,即a1<a3.等差数列{a n}中,“a1<a3”是“a n<a n+1”的充分必要条件.10.给出如下四个命题:①若“p∨q”为真命题,则p,q均为真命题;②“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b-1”;③“∀x∈R,x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R,x02+x0≤1”;≥2”的充要条件.④“x>0”是“x+1x其中不正确的命题是( )A.①②B.②③C.①③D.③④【解题指南】①“p∨q”为真命题,p,q二者中只要有一真即可;②写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论;③直接写出全称命题的否定;④利用基本不等式,可得结论.【解析】选C.①“p∨q”为真命题,p,q二者中只要有一真即可,故不正确;②“若a>b,则2a >2b -1”的否命题为“若a ≤b, 则2a ≤2b -1”,正确;③“∀x ∈R,x 2+x ≥1”的否定是“∃x 0∈R,x 02+x 0<1”,故不正确;④x>0时,x+1x≥2,若x+1x≥2,则x>0,所以“x>0”是“x+1x≥2”的充要条件,故正确.11.(2016·眉山高二检测)“a>1”是“对任意的正数x,不等式2x+ax ≥1成立”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.2x+ax≥1,x>0,则a ≥-2x 2+x 对x>0恒成立,而-2x 2+x=-2(x −14)2+18,所以a ≥18,“对任意的正数x,不等式2x+ax ≥1成立”的充要条件是“a ≥18”,故“a>1”是“对任意的正数x,不等式2x+ax≥1成立”的充分不必要条件,故选A.12.使不等式x 2-3x<0成立的一个必要不充分条件是 ( ) A.0<x<3 B.0<x<4 C.0<x<2 D.x<0或x>3【解析】选B.x 2-3x<0⇔0<x<3;0<x<3是不等式x 2-3x<0成立的充要条件; 0<x<40<x<3,0<x<3⇒0<x<4;0<x<4是不等式x 2-3x<0成立的必要不充分条件; 0<x<2⇒0<x<3,0<x<30<x<2;0<x<2是不等式x 2-3x<0成立的充分不必要条件;x<0或x>30<x<3,0<x<3x<0或x>3;x<0或x>0是不等式x2-3x<0成立的既不充分又不必要条件.故选B.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2016·衡阳高二检测)命题“存在x0>-1,x02+x0-2016>0”的否定是.【解析】特称命题的否定是全称命题,故命题“存在x0>-1,x02+x0-2016>0”的否定是“对任意x>-1,x2+x-2016≤0”.答案:对任意x>-1,x2+x-2016≤014.(2016·宝鸡高二检测)已知q:不等式x2-mx+4≥0对x∈R恒成立,若q为假,则实数m的范围是.【解题指南】由q为假,可知q为真命题,从而得出二次不等式恒成立,利用判别式满足的条件可求.【解析】q为假,即q为真命题.q:不等式x2-mx+4≥0对x∈R恒成立,即(-m)2-16≤0,-4≤m≤4,故实数m的范围是[-4,4].答案:[-4,4]【拓展延伸】完美解决参数问题通过已知条件,探索命题的真假,然后求解参数的取值范围,是逻辑用语部分常见的、基本的题型.解决此类问题要从三个方面入手:(1)熟练掌握真值表,判断单个命题p,q的真假.(2)具备丰富的基础知识储备,求解单个命题成立的参数范围.(3)辅助应用集合的运算确定参数的最后范围.15.(2016·徐州高二检测)已知命题p:|1−x+12|≤1,命题q:x 2-2x+1-m 2<0(m>0),若p 是q 的充分不必要条件,则实数m 的范围是 .【解析】命题p 首先化简为-1≤x ≤3,命题q 是二次不等式,p 是q 的充分不必要条件说明当-1≤x ≤3时不等式x 2-2x+1-m 2<0恒成立,故{(−1)2−2×(−1)+1−m 2<0,32−2×3+1−m 2<0,又m>0,故可解得m>2. 答案:(2,+∞) 16.给出下列命题:①数列√3,3,√15√21√3√6n −3②当k ∈(-3,0)时,不等式2kx 2+kx-38<0对一切实数x 都成立;③函数y=sin 2(x +π4)-sin 2(x −π4)是周期为π的奇函数;④两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内. 其中,真命题的序号是 .【解析】①数列√3,3=√9√15,√21,3√3=√27…的被开方数构成一个以3为首项,以6为公差的等差数列,故它的一个通项公式是√6n −3,故①正确; ②当k ∈(-3,0)时,因为Δ=k 2+3k<0,故函数y=2kx 2+kx-38的图象开口朝下,且与x轴无交点,故不等式2kx 2+kx-38<0对一切实数x 都成立,故②正确; ③函数y=sin 2(x +π4)-sin 2(x −π4)=sin 2(x +π4)-cos 2(x +π4)=-cos (2x +π2)=sin2x,是周期为π的奇函数,故③正确;④两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内,故④正确. 故真命题的序号是①②③④.答案:①②③④【补偿训练】下列正确命题有 . ①“sin θ=12”是“θ=30°”的充分不必要条件;②如果命题“(p 或q)”为假命题,则p,q 中至多有一个为真命题; ③设a>0,b>1,若a+b=2,则2a +1b−1的最小值为3+2√2④函数f(x)=3ax+1-2a 在(-1,1)上存在x 0,使f(x 0)=0,则a 的取值范围是a<-1或a>15.【解析】①由θ=30°可得sin θ=12,反之不成立,因此“sin θ=12”是“θ=30°”的必要不充分条件;②命题“(p 或q)”为假命题,则p,q 都是假命题; ③a+b=2,所以a+b-1=1,2a +1b−1=(2a+1b−1)(a+b-1)=3+2(b−1)a+a b−1≥3+2√2,最小值为3+2√2④由题意得f(-1)f(1)<0,所以(-5a+1)(a-1)<0,所以a<-1或a>15.答案:③④三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假. (1)对数函数都是单调函数.(2)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除. (3)∀x ∈{x|x>0},x+1x ≥2.(4)∃x 0∈Z,log 2x 0>2.【解析】(1)本题隐含了全称量词“所有的”,其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”,是全称命题,且为真命题.(2)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是特称命题,真命题.(3)命题中含有全称量词“∀”,是全称命题,真命题.(4)命题中含有存在量词“∃”,是特称命题,真命题.18.(12分)已知f(x)=x2,g(x)=(12)x-m,若对∀x1∈[-1,3],∃x2∈[0,2],有f(x1)≥g(x2),求实数m的取值范围.【解析】根据题意知,f(x1)min≥g(x2)min, 当x1∈[-1,3]时,f(x1)min=0.当x2∈[0,2]时,g(x2)=(12)x2-m的最小值为g(2)=14-m.因此0≥14-m,解之得m≥14.故实数m的取值范围是[14,+∞).19.(12分)(2016·马鞍山高二检测)已知曲线C:x2+y2+Gx+Ey+F=0(G2+E2-4F>0),求曲线C在x轴上所截的线段的长度为1的充要条件,证明你的结论.【解题指南】先求出必要条件,再证明其充分性.【解析】必要性:令y=0,则x2+Gx+F=0.设x1,x2为此方程的根,若|x1-x2|=√G2−4F=1,则G2-4F=1.充分性:若G2-4F=1,x2+Gx+F=0有两根为x1,x2,且x1+x2=-G,x1·x2=F,|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1·x2=G2-4F=1.故所求的充要条件是G2-4F=1.20.(12分)(2016·汕头高二检测)已知p:-2≤1-x−13≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且p 是q 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.【解题指南】先解不等式求出p 真和q 真的条件.p 真:-2≤x ≤10;q 真:1-m ≤x ≤1+m,然后利用p 是q 的必要不充分条件,根据集合之间的包含关系建立关于m 的不等式,求出m 的取值范围.【解析】由x 2-2x+1-m 2≤0,得1-m ≤x ≤1+m,所以q:A={x|x>1+m 或x<1-m,m>0}.由-2≤1-x −13≤2,得-2≤x ≤10.所以p:B={x|x>10或x<-2},因为p 是q 的必要不充分条件,所以A B,所以{m >0,1−m ≤−2,所以m ≥9,1+m ≥10.21.(12分)(2016·聊城高二检测)设命题p:函数f(x)=lg (a x 2−x +a 16)的定义域为R:命题q:3x -9x <a 对一切的实数x 恒成立,如果命题“p 且q ”为假命题,求实数a 的取值范围.【解析】要使函数f(x)=lg (a x 2−x +a 16)的定义域为R,则不等式ax 2-x+a 16>0对于一切x ∈R 恒成立,若a=0,则不等式等价为-x>0,解得x<0,不满足恒成立. 若a ≠0,则满足条件{a >0,Δ=1−4a ×a 16<0,即{a >0,1−a 24<0,解得{a >0,a 2>4,即a>2,所以p:a>2. 因为g(x)=3x -9x =-(3x −12)2+14≤14, 所以要使3x -9x <a 对一切的实数x 的恒成立,则a>14,即q:a>14.要使p 且q 为假,则p,q 至少有一个为假命题.当p,q 都为真命题时,满足{a >2,a >14,即a>2, 所以p,q 至少有一个为假命题时有a ≤2,即实数a 的取值范围是a ≤2.22.(12分)(2016·福州高二检测)已知a>0,b>0,函数f(x)=ax-bx 2.(1)求证:∀x ∈R 均有f(x)≤1是a ≤2√b 的充分条件.(2)当b=1时,求f(x)≤1,x ∈[0,1]恒成立的充要条件.【解析】(1)f(x)=ax-bx 2=-b (x −a 2b )2+a 24b , 因为∀x ∈R,f(x)≤1,所以a 24b ≤1,又a>0,b>0, 所以a ≤2√b ,所以∀x ∈R 均有f(x)≤1是a ≤2√b 的充分条件.(2)因为b=1,所以f(x)=ax-x 2,当x=0时,f(x)=0≤1成立,当x ∈(0,1]时,f(x)≤1恒成立,即a ≤x+1x 在(0,1]上恒成立,又(x +1x )min =2,此时x=1,所以0<a ≤2,当0<a ≤2时,a ≤x+1x 在(0,1]上恒成立, 所以f(x)≤1在(0,1]上恒成立,所以f(x)≤1,x ∈(0,1]上恒成立的充要条件为0<a ≤2.。