竞赛数列专题训练（1）1．（2009年全国联赛）使不等式1111200712213a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ．2.正整数n 使得22005n +是完全平方数, 的个位数字是________． 3.（2008年全国联赛）设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n =，则通项n a =________．4.（2007年全国联赛）已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。

若a 1=d ，b 1=d 2，且321232221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________．5.已知数列}{n a 满足,01=a ),2,1(1211 =+++=+n a a a n n n ，则n a =___ ．6.已知数列n x ，满足n x x n n n +=++1)1(, 且21=x ， 则2013x =． 7.（2007年湖北竞赛改编）若数列{}n a 满足：112,3n n a a a +=-=，则=2010a ____． 8.（2009年全国联赛）一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）9.设40122N =，求不超过1Nn =的最大整数10.（2007年全国联赛） 设∑=-+=nk n k n k a 1)1(1，求证：当正整数n ≥2时，a n +1<a n 。

11.（2007年四川竞赛）已知正整数列}{n a 满足条件：对于任意正整数n ，从集合},,,{21n a a a 中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得的数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与n a a a ,,,21 一起恰好是1至n S 全体自然数组成的集合，其中n S 为数列}{n a 的前n 项和.（1）求21,a a 的值；（2）求数列}{n a 的通项公式.竞赛数列专题训练（1）参考答案1.2009 设()1111221f n n n n =++++++．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1120073f a <-，可得2009a =．2. 解：设222005(0)n m m +=>,则()()2005120055401m n m n -+==⨯=⨯, 得12005m n m n -=⎧⎨+=⎩或5401m n m n -=⎧⎨+=⎩,解得10031002m n =⎧⎨=⎩或203198m n =⎧⎨=⎩, 由10024250210031003⨯+=,知它的个位数字是9, 由1984492203203⨯+=,知它的个位数字也是9．3. 1111(1)(2)(1)n n n n n n n a S S a a n n n n +++-=-=--++++，即 2n n a n n n n n n a ++++-++-+=+)1(111)2)(1(221 =)1(1)2)(1(2+++++-n n a n n n ， 由此得 2)1(1))2)(1(1(1++=++++n n a n n a n n ．令1(1)n n b a n n =++，111122b a =+= (10a =)， 有112n n b b +=，故12n n b =，所以)1(121+-=n n a n n ． 4. 解：因为22111212121321232221114)2()(qq qb q b b d a d a a b b b a a a ++=++++++=++++，故由已知条件知道：1+q +q 2为m 14，其中m 为正整数。

令mq q 1412=++，则 m m m q 4356211144121-+-=-++-=。

由于q 是小于1的正有理数，所以3141<<m，即5≤m ≤13且m m4356-是某个有理数的平方，由此可知21=q5. 12-=n a n ．解：由已知得21)11(11211++=++++=++n n n n a a a a ，且01>+n a ．所以1111++=++n n a a ，即{1+n a }是首项、公差均为1的等差数列，所以1+n a =n ，即有12-=n a n .6. 解：由 n x x n n n +=++1)1(，推出 1111+-=-+n x x n n 。

因此有 )!1(12)1()1(1)1()1(1)1(11111211+=-+-==-+-=+-=+-=---+n n n n x n n n x n n x n x x n n n n . 即有 1)!1(11++=+n x n7．由1n n a a +-=2113()2()n n n n a a a a ++-=+， 又2113()2()n n n n a a a a ---=+，两式相减，得1111113()(2)2()n n n n n n n a a a a a a a +-+-+---+=-.由112,3n n a a a +=-=求得22a =，又由递推关系式易知数列{}n a 是单调递增数列，所以110n n a a +--≠，故113(2)2n n n a a a +--+=，即11223n n n a a a +--+=，即112()()3n n n n a a a a +----=，所以数列{}1n n a a +-是以2143a a -=为首项，23为公差的等差数列，所以1422(1)(1)333n n a a n n +-=+-=+，于是121(23)(1)33n a a n n n =++++=+，所以134737020112010312010=⨯⨯=a .8. 981012⨯ 易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为11d =，22d =，232d =，…，98992d =(ⅲ)100a 为所求．设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则()22111222n n n n n n a a a a -----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦323232n n a --=+⨯=……()121212n n a n --=+-⨯()212n n -=+ 故981001012a =⨯．9.证明：解：<<∴<<,∴112212NNNn n n===<<+∑∑,∴11)1)11)Nn=-<<<+, ∴2006200612(21)1)221Nn =-<<<⋅-, ∴不超过1Nn =的最大整数为200722-。

答案为 200722-10.解：证明：由于)111(11)1(1k n k n k n k -+++=-+，因此∑=+=n k n k n a 1112，于是，对任意的正整数n ≥2，有∑∑+==++-+=-1111121111)(21n k n k n n kn k n a a 0)11()2)(1(1)2)(1(11)2111(11>-++=++-+-+=∑∑==nk n k kn n n n k n n ，即a n +1<a n 。

11. 解：解：（1）记},,2,1{n n S A =，显然111==S a .对于22121a a a S +=+=，有|}1|,1,,1{},,2,1{22222a a a S A -+== }4,3,2,1{=故412=+a ，所以32=a . （5分）（2）由题意知，集合},,,{21n a a a 按上述规则，共产生n S 个正整数；而集合},,,,{121+n n a a a a 按上述规则产生的1+n S 个正整数中，除n S ,,2,1 这n S 个正整数外，还有||,,11i a i a a n i n n -++++（n S i ,,2,1 =），共12+n S 个数.所以，13)12(1+=++=+n n n n S S S S . （10分） 因为 )21(3211+=++n n S S ，所以，21321213)21(111-⨯=-⨯+=++n n n S S （15分） 又因为当2≥n 时，1113)21321()21321(---=-⨯--⨯=-=n n nn n n S S a 而11=a 也满足13-=n n a .所以，13-=n n a （1≥n ）. （20分）竞赛数列专题训练（2）1.（2010年江苏初赛）设数列}{n a 满足1111+=⋅=+n a a a n n ，（*N n ∈），求证：)11(211-+≥∑=n ank k.2.（2010年湖北竞赛）已知数列}{n a 中，41,121==a a ，且),4,3,2()1(1 =--=+n a n a n a n n n ．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求证：对一切*N n ∈，有6712<∑=nk k a ．3.设数列)0}({≥n a n 满足21=a ，)(2122n m n m n m a a n m a a +=+-+-+，其中n m n m ≥∈,,N ． （1）证明：对一切N ∈n ，有2212+-=++n n n a a a ； （2）证明：1111200921<+++a a a ．4.设数列{}n a 满足0a N +∈,211nn n a a a +=+.求证：当1200+≤≤a n 时,n a a n -=0][. (其中[]x 表示不超过x 的最大整数)．5.设{}n a 为一个整数数列，并且满足：()()()11121n n n a n a n +-=+--，n N +∈．若20072008a ，求满足2008n a 且2n ≥的最小正整数n .6．（2012年湖北竞赛）已知正项数列}{n a满足=且11a =，28a =，求}{n a 的通项公式．7.(2012年全国联赛)已知数列{n a }的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有33231321)(n n a a a a a a +++=+++ ．（1）当3=n 时，求所有满足条件的三项组成的数列321,,a a a ；（2）是否存在满足条件的无穷数列{n a }，使得20122013-=a ？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．竞赛数列专题训练（2）参考答案1. 证明:由题意知.,0,2*2N n a a n ∈>=当1=n 时,)12(2111->=a ,命题成立； 当2≥n 时，由11+=⋅+n a a n n ，得n a a n n =⋅-1，∴1)(11=--+n n n a a a ，111-+-=n n na a a ，从而有)11(2222)(111121111-+≥-≥-+=-+=++=-+=∑∑n a a a a a a a a n n n n nk k k nk k. 2. 解 （1）由已知，对2≥n 有11)1()1(11---=--=+n a n n a n a n a n n n n ，两边同除以n ，得)1(1)1(111---=+n n a n na n n ， 即)111()1(111nn a n na n n ---=--+， ……………………4分 于是，)111(111)1(1112121---=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑∑-=-=+n k k a k ka n k n k k k ， 即2),111(1)1(12≥---=--n n a a n n ，所以123)111(1)1(12--=---=-n n n a a n n ，2,231≥-=n n a n ．又1=n 时也成立，故*,231N n n a n ∈-=． ……………………8分 （2）当2≥k ，有)131431(31)13)(43(1)23(122---=--<-=k k k k k a k ，………………12分 所以2≥n 时，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++-+-+<+=∑∑==)131431()8151()5121(31112212n n a a nk k n k k.6761113121311=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=n又1=n 时，.67121<=a 故对一切*N n ∈，有6712<∑=nk k a ． ……………………16分3. 证明 （1）在已知关系式)(2122n m n m n m a a n m a a +=+-+-+中，令n m =，可得00=a ； 令0=n ，可得m a a m m 242-= ①令2+=n m ，可得)(212242222n n n a a a a +=-+++ ② 由①得)1(24122+-=++n a a n n ，62412=-=a a ，)2(24242+-=++n a a n n ，n a a n n 242-=，代入②，化简得2212+-=++n n n a a a ． ---------------------------------------7分 （2）由2212+-=++n n n a a a ，得2)()(112+-=-+++n n n n a a a a ，故数列}{1n n a a -+是首项为201=-a a ，公差为2的等差数列，因此221+=-+n a a n n ．于是∑∑==-+=+=+-=nk nk k kn n n k a a aa 1101)1(0)2()(．因为)1(111)1(11≥+-=+=n n n n n a n ，所以 1201011)2010120091()3121()211(111200921<-=-++-+-=+++ a a a ．4. 解：对于任何正整数n ，由递推知0n a >．由21011n n n n n n n a aa a a a a +-=-=>++知数列{}n a 递减.又对任意*N n ∈,011()n n i i i a a a a -==+-∑10111n i i i a a a -=-=-+∑0111(1)1n i i a a =-=--+∑001111ni i a n a n a =-=-+>-+∑．即有n a a n ->0,从而10(1)n a a n ->--.于是，当1n =时，11011111ni i a a =-=<++∑； 当1220+≤≤an 时，由{}n a 递减得121110111≤+-<+<+-=-∑n a na n a n ni i . 故<-n a 00011111nn i i a a n a n a=-=-+<-++∑．所以，0[]n a a n =-．5. 解：当2n ≥时，将原式变形为()()()12111n n a a n n n n n n+=-+-+，令()1n n a b n n =-，则有()121n n b b n n +=-+，叠加可得21122n b b n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，于是()()()21122n n n a a n n -=---。