高中数学竞赛（00-06）———数列
1．（00全国）给定正数p,q,a,b,c，其中p?q，若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列，2?2ax+c=0 则一元二次方程bx ( A )
(A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根
2．（03全国）删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2003项是（）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A．2046 B2047 C．2048
D．2049
22＝2116，∴2026＝a＝a，＝2025，462115＝a＝a．解：注意到45而20702026—454521151981—且在从第1981项到第2070项之间的90项中没有完全平方数．又1981＋22＝2003，∴a2003＝a+22＝2026
＋22＝2048．故选(C)．198120042005?2004?20051，，…．（04天津）已知数列，这个数列的特点是，，，3S2004等于项之和从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前20042005200401）（ D ）（B）C（）（（A）D
2????aa）2006年江苏）已知数列的最大项是（的通项公式，则4．（?a nn
????????aaaa DBAC14325. （2006吉林预赛）对于一个有n项的n25?4nn?
数列P=(p，p，…，p)，P的“蔡查罗和”定义为n12+…p(1≤k≤n)，若数列(p，p，…，p)的“蔡、s、s…s、的算术平均值，其中s=p+p2006k1n22k112查罗和”为2007，那么数列(1，p，p，…，p)的“蔡查罗和”为（）200621A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004 =4(n≥1)，且a=9，其前n3a+a项之和为S。

则满足不．6(集训试题)已知数列{a}满足nn+11nn1的最小整数n是( ) A．5 B．6 C．7 D．8 等式|S-n-6|<n125)nf(（十进制）的各数位上的数字的平方之和，7．（2006年浙江省预赛）n设为正整数
22214??3f(123)?1?2))(nf(n)?f(f)f(n)?nf(，,?k?1,2,3，，比如。

记k1k?1f(2006)＝( ) (A) 20 (B) 4 (C) 42 则(D) 145. 2006aaaa3142??|a?T,i??1,2,3,462T?{0,1,,3,4,5,},M?{},将)M记集
合9.(2005全国i2347777中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（）
5563556211041103A．B．C．D．????????????
42323424234377777777777777771_______.
_____3+log3,+log3,+log等比数列009（全国）aaa的公比是8423．
a,a,a,...,a,...,(3?a)(6?a)?18,且a?3，全国）已知数列满足关系式10（040?21n1nn0n1?
_________________________则。

的值是a oi?i111b??18,?)(6?)(3,n?0,1,2,...,则0.?6b?13b?解：设即nn?1n bba n?n1n1111{b?})?2(b?b?2b?,b??是公比为2的等比数列，故数列n nn?11n?n3333111111nnn?1n?1?b??2?(2?21)(b?)?2?b?(?).
?????1i?2?n3n?1)?2???b?(2?1)??(n。

??
n0n33a3330n?1??nnn?2(21)1111
i a32?133??00i?i?oi?i231920x?x? ?xxf(x)?1??x?x y的多将关于表为关于的多项式11（05全国）21920,y? ?ay?a?ayaya?y?g(y)?x?4.则式中其项202011921?15?a? ?aa?.
20106?x)(xf的等比数列，由等比数1，公比为解：由题设知，和式中的各项构成首项为2121211?y?4)(?x)1?1(?x,g(y)?f(x?.)?,?y?4x列的求和公式，得：得令
y?5?x?1x?121?15?ga(1)?.?a?a?a ?,1y?有取20102612（05天
津）在数列{a}中，已知a＝2，a+a＝1(n∈N)．若S为数列{a}的前n项nnnn+11+n和，那么，S－2S ＋S的值是_________________． 2 0052 0042 003n，S解：3．当n为偶数时，a＋a＝1，a＋a＝1，…，a＋a＝1，则S＝n2004n32n411－21?n3n?，＋aa…1＝＋a1＝＋an；＝1002当为奇数时，a，a，，＝则，S＋a＝1＝1nn12354n－22∴S＝1003，S＝1004；∴S－2S＋S ．3＝2 0052 0042 00320052003．
1????naf2020a??q?表示这个等比数列的首项为．设，公比13（2006年江苏）1n2??nf n?n 时，有最大值．数列的前项的积，则当xn?x?(n?1)xx2x?。

= , 且14.(2005年浙江)已知数列，满足，则2005n?1nn1tsr}?t?s?r|{aa?2?2?2,0tr,s,中的数由
小到为整数，集合15．（2005四川）设?{a}a ,13,147,11,大组成数列，则。

：36n
11??)?(aS?a Sa,其前n项和16.数列则满足=_____的各项为正数, nnnnn a2n S n)=f(nn,n?N，求=1+2+3+ (50)
答案：的最大值.( 17.（00全国）设S n S)?32(n1?n236?45a7a?nn}a{.Na?n?,a?1,全国）数列满足：18.（05n10?n21?aaan?N,n?N,为完全平方为正整数；1证明：（）对任意(2)对任意1nnn?数。

}a{,a?5得形式变.将条件严格（证：1）由题设得单调递增且
n12222a?7a?45a?36,a?7aa?a?9?0①两边平方整理得n1nnn?1?nnn?122?a?7aa?a?9?0②
1n?n1?nn(a?a)(a?a?7a)?0,a?a,?a?a?7a?0?②得①-n1nn?1?1n?1nn?1nnn?1?1?n a?7a?a.③
11nb?n?a?1,a?5n?N,a为正整数由③式及.…………………………10可知，对任意分n01aa22n?1n)(.?(aa?1),?aa1?9(a?a)?④）将
①两边配方，得（21n?1nn?1n?nn3??)?(a?aaa?a?9mod3(a)?a?由③≡
??nn?1n aa?1)?(a?a为正整数。

≡0（mod3）∴∴④式成立≡.
nn?1n?n1n1?nn a?a
n1n?013?aa?1是完全平方数.……………………………………………………20分
1n?n{a}a?2a?a?n?201a?p?a?p，其已知数列19.（06天津），满足，n?1nn?2n21ann p的值最小．的值，使得是正整数，试求中是给定的实数，n b?a?aa?2a?a?n?20 1n?,2,，。

解【】令由题设有，
n12nn?nn??n1n?1n?1??20?nb?b?(i??20)(b?b)1b?，即…………5分。

且，于是
nn?1i1i?11?i?i1b?b?[1?2??(n?1)]?2n(n?1) ．1n(n?1)(n?40)?1b?∴ (10)
分．（※）n2a?2a?a?1?20?p?17?a?a1ap?ap??，又，则．2112321．a?aa?aa3n?．，且∴当，的值最小时，应有
1nnnn?1?n b?a?a?0b?a?a?0．即…………………………………15分，
1n?n?11nn?nn(n?1)(n?40)?2n?40??*n?N n?40n?3∴当由（※）式，得解得，由于，且，
??(n?2)(n?41)??2n?40??a的值最小．………………20时，分
40??????yy?f(?3sinxtan)?xsin(2,?tan)。

记,设,20.（2006陕西赛区预赛）已知f(x)的表达式; (1)
求
12*{a})a()(n??{a};aN?,a2a?f的通项公式。

(2)定义正数数列. 。

试求数列nnn1nn?12
*a?4n?1 (n?N)a中所有能被3或将等差数列年南昌市）{}:5整除的数200621.（nn bb的值. 剩下的数自小到大排成一个数列{},求,删去后n2006。