验统计量，即
T Tmin( n1orn2 )
3.确定Ｐ值范围并作推断
（1）当ｎ1 ≤ 10且ｎ2-ｎ1≤10时，
查附表7的Ｔ界值表（P269）
（2）当ｎ1>10或ｎ2-ｎ1>10时,按正态 近似公式（7.3）
相同秩次较多时，校正公式（7.4）
其中 为第j个相同秩次的个数。
二、等级资料的两样本比较（例7.4）
3. 编秩次 (1)d=0 舍去不计，用以检验的有效对子
数n相应减少。
(2)│d│同，取平均秩
4. 求秩和，并定检验统计量
T=Ｔ＋ orＴ－ （核对：Ｔ＋＋Ｔ－＝（ｎ＋1）n／2 ）
5.确定Ｐ值范围并作推断
(1)当有效对子数n≤50，查附表6的
Ｔ界值表（P268）
(2)当ｎ>50时,按正态近似公式（7.1） 相同秩次较多时，校正公式（7.2）
1. 建立检验假设，确定检验水准
H0：总体M1＝M2，
即两总体分布位置相同;
H1：总体M1≠M2，
即两总体分布位置不同； α=0.05
2.计算检验统计量u 值
(1）编秩：本例为等级资料，先 按组段计算各等级的合计人数，再 确定秩次范围及平均秩次。
（2）计算秩和，确定T 并求检验统 计量u 值：
以各组段的平均秩次分别与各等级例
在实际应用中，秩和检验法有多种具体化： 配对设计的两样本比较 成组设计两样本比较的秩和检验 成组设计多样本比较的秩和检验 多个样本两两比较的秩和检验
符号检验法
检验目标：X与Y是两个连续型总体，各有分布函数
F1(x)与 F2(x) ，现从中分别抽取两个独立样本 ( X1, X 2 , , X n )与 (Y1,Y2,...,Yn ) ，要在显著性水平
1)
,
n1
(n1 2

1)

n1n2

秩和检验法的基本思想
当 H0 为真时，两个总体X与Y实际上是同一个总体。因此， 第一个样本的秩一定随机的均匀分布在 n1 n2 个自然数 中，而不会过度的集中在较小的或较大的数中，从而知道
秩
和T不会太靠近取值范围的两端的值。若太靠近取值范围两
端的值，就应该认为出现小概率事件，即
P
三、本法的基本思想
如果H0成立，则两样本来自分布位置
相同的总体，两样本的平均秩次Ｔ1/n1与 Ｔ2/n2应相等，或很接近，且都和总体的
平均秩次（n＋1）/２相差很小。含量为
n1样本的秩和Ｔ1，应在n1(n+1)/ 2（Ｔ值
表范围中心为n1(n+1) /2）的左右变化。若
Ｔ值偏离此值太远， 则有 u u，表示
下，检验假设
H0 : F1(x) F2 (x)
x
我们规定：
{Xi Yi} 记为“＋”，而正的个数记为n
{Xi Yi} 记为“-”，而负的个数记为 n
且
n n n

当
H0
为真时， n
~ห้องสมุดไป่ตู้
B(n,
1) 2
，n
~
B(n,
1) 2
因此，当 H0为真时，n与 n 以很大的概率取
第七章 秩和检验
2.1适用范围： (1)总体分布为偏态或分布形式未知 的计量资料（尤其在ｎ<30的情况下）。
(2)等级资料。 (3)个别数据偏大或数据的某一端无 确定的数值。
(4)各总体方差不齐。
2.2优点:是适应性强且简单易学。 2.3缺点：如果是精确测量的变量，并且 已知服从或者经变量转换后服从某个特 定分布（如正态分布），这时人为地将 精确测量值变成顺序的秩，将丢失部分 信息，造成检验功效（1-β）下降。 对于适合参数检验的资料，最好还是用参 数检验。
值表确定Ｐ的范围。
P
P
二、等级资料多个样本比较（例7.6）
1. 建立检验假设，确定检验水准
H0：总体M1＝M2 ＝M3 H1：总体M1，M2和M3 不全相同
α=0.05
2.计算检验统计量H 值
(1）编秩：本例为等级资料，先 按组段计算各等级的合计人数，再 确定秩次范围及平均秩次。
（2）计算秩和，确定T 并求检验统 计量H 值：
一、成组设计多个样本资料的两两比较
H0：总体MA＝MB， H1：总体MA≠MB，
α=0.05
RA RB

C 2 ,k1
N(N
1) / 12
(1 / nA
1 / nB )
P
二、随机区组设计资料的两两比较
H0：总体MA＝MB， H1：总体MA≠MB，
α=0.05
一、配对设计的两样本比较
（一）一般步骤 1. 建立假设 差值总体中位数为０，即Md=0 差值总体中位数不为零，即Md≠0 α=0.05 2.求差值：d=x-y 或 d=y-x
3. 编秩次 (1)d=0 舍去不计，用以检验的有效对 子数n相应减少。 (2)│d│同，取平均秩 4.求秩和，并定检验统计量
H0：总体M1＝M2 ＝M3 H1：总体M1，M2和M3 不全相同；
α=0.05
2.计算检验统计量H 值
(1）编秩：各组混合编秩，有相 同值求平均秩。
（2）计算各组秩和Ti ，确定检验 统计量H 值：
H 12
Ti2 3( N 1)
N (N 1) ni
当相同秩次较多时（尤其等级资料），
P(T T1) P(T T1)
一般按照习惯的做法，
P(T

T1 )

P(T

T1 )


2
对于秩和T，当 H 0成立时，我们可以得到T的分布函数
P(T

t)

n1!n1! (n1 n1)!
Kt
检验法则： 若 T T1 或 T T2 则拒绝 H 0 ； 若 T1 T T2，则接受 H 0
H 12
Ti2 3( N 1)
N (N 1) ni
当相同秩次较多时（尤其等级资料），
采用校正的Hc值。
Hc 1
H
t
3 j

t
j
N3 N
其中 为第j个相同秩次的个数。
第四节 随机区组设计秩和检验
适用条件： 随机区组设计多样本计量资料的比较。 尤其是不满足参数检验条件的随机区 组设计多样本计量资料的比较。
数相乘，再求和得到T1 和 T2，因 本例n1＜n2 ，故
T Tmin( n1orn2 ) T1 8780.5
又因n1＞10，需用u检验，加之相同
秩次较多，故用校正公式（7.4）求
得
uc 0.5413
3.确定Ｐ值并作推断
uc (或u) u P
u (或u) u
c

采用校正的Hc值。
H
Hc 1
t
3 j

t
j
N3 N
其中 为第j个相同秩次的个数。
3.确定Ｐ值范围并作推断
（1）若组数k=3且
时，
查附表8（P270 ）
H H P
H H P
（2）若组数k=3且
或 k≥3
或
时，H 或Hc 近似服从自
由度ｖ=k-1的ｘ2分布。按ｘ2的界
第一节 秩和检验
检验目标：X与Y是两个连续型总体，各有分布函数
F1(x)与 F2(x) ，现从中分别抽取两个独立样本
(X1, X 2,..., X n ) 与 (Y1,Y2,...,Yn )
下，检验假设
，要在显著性水平
H0 : F1(x) F2(x) ， x
定义1 设 (X1, X 2,..., X n )是正态总体X的样本，
为0，则理论上样本的正负秩和应相等，
即T 值应为总秩和
的一半，即
由于存在抽样误差，T 应接近
T 愈小，T 与
的差距越大，
相应的P值就愈小。当P≤α时，拒绝
H0 。
二、单一样本与总体中位数
（一）一般步骤 1. 建立假设 总体中位数M=M0 总体中位数M>M0 α=0.05 2.求差值：d=x-M0
值，是一个随机变量。
两个样本秩和检验法的准备工作
（1）把两个样本观测值 (X1, X 2, , X n1 ) 与 (Y1,Y2 ,L ,Yn2 ) 混合再按由小到大的次序排列，便可得到 n1 n2 个秩，
把 X i的秩记为 Ri ， Yi的秩记为 Si 。以如此得到的秩代
替原来的样本，于是得到两个样本为
2b( A B) RA RB t , (b 1)(k 1)
P
一、M检验（Friedman法）查表法 M检验查表法的基本步骤： 1.每个区组的数据由小到大分别编秩，
相同数据取平均秩次。 2.计算各处理组的秩和 3.总平均秩次
4.计算 值。
5.查附表9(P271)，当
时， 时，
第五节 多个样本两两比较的秩和检验
用多样本的H检验拒绝H0时，只 能得出各组的总体分布位置不全相同 的结论；若需进一步推断两两之间的 总体分布是否不同，需要作组间的两 两比较。
(x1, x2,..., xn )是样本观测值，将观测值按数值由小
到大排列成序，使得
x1* x2* ... xn*
如果 xi xk* ，则称 X i 的秩为 k ，
记做 Ri k 即 X i的秩就是按观测值由小到大排列成序后 xi 所占
位置的次序号数，在重复抽样中，Ri 将取不同的数
T=Ｔ1orＴ2 （核对：Ｔ＋＋Ｔ－＝（ｎ＋1）n／2
5.确定Ｐ值范围并作推断 (1)当有效对子数n≤50，查附表6的Ｔ