习题2
1． 略 2． 略 3． 略
4． 差分格式写成矩阵形式为：
n n M n M n n n M n M n n e u u u u r t r r r t r r r t r r r t u u u u +⎪⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-∆--∆--∆--∆-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-+-++12211221121212121 αβαααβαααβαααβ
矩阵的特征值为：)cos(221M
j r r t j π
ααβλ+-∆-=，要使格式稳定，则特征值须满足
t c j ∆+≤1λ，即2
1≤r α
5． 利用泰勒展式可以得到古典隐式差分格式的截断误差为)(2
h t O +∆。

古典隐式差分格式写成矩阵形式为：
n n M n
M n n
n M n M n n e u u u u u u u u t r r r t r r r t r r r t
r +⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪
⎪
⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛∆++--∆++--∆++--∆++--+-+
-++12
2
112211111121212121
βαααβαααβαααβα
特征值为： 1
))cos(
221(--+∆++=M
j r r t j πααβλ，即：
)(1))2(
cos 41(1
2t o M
j r t j ∆+≤+∆++=-παβλ，所以无条件稳定。

6． 由Von-Neumann 方法，令mh
i n l n m e u βς=，代入差分格式得到增长因子为：
)2
(
sin 41),(2h
r i t G βωβ-=∆，所以1)]2
(
sin 4[1),(22≥+=∆h
r t G βωβ，恒不稳定。

7． n
m n m u v =+1，则原三层格式等价于：
⎝⎛=-+=+--+++-+++n m n m n m n m n m n m n m n m u v v u u u u r u 111111)21()2()1(θθθ，令mh i n l n l n m n
m e v u βης⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，
可以得到格式的增长矩阵为：
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛++-+++012sin 412sin 41212
2
h r h
r βθθ
βθθ， 特征值为)
2
sin 41(22sin 161212
2
h
r h
r βθβθθλ++-±+=
±
2sin θ1+2+（1+8r ）
2
1+2θ〈0时，格式恒不稳定。

当2
1-≥θ时，格式无条件稳定。

8． 令 mh
i n l n l n m n m e v u βης⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++1111，则可以得到差分格式的增长矩阵为：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---+=
∆222
122111
),(c c c c c t G β，特征值为：22121c c i c +±-=±λ，2sin 22h ar c β=，所以
1=±λ，格式无条件稳定。

9. （1）由Von-Neumann 方法，2
2
1
sin sin h h h k G
βββ1
2
（，）=1+c -4r （+）
22
，可以得
到格式的稳定条件为：4
1≤r ； （2）2
2
sin
sin h h k βββ+2
1
2
1
（，h ）=1-c 4r （+）
2
2
G
，无条件稳定。

10. 解：消去
12
n lm
U
*+便可得到
1n lm
U
+与
n lm
U
的关系为
k δ2x r （1-
-c ）22k δ2y r （1--c ）221n lm
U += δ2y r （1+）2δ2x r （1+）2
n
lm U 由Von-Meuman 方法可以得到增长因子
G β（，h ）=
2
2
22sin
sin sin sin 22
h h h h k k c c ββββ-1
2
12
（1-2r ）（1-2r ）
22（1+2r ）（1+2r -）
22
显然无条件稳定。