偏微分方程数值解试题(０6B ）
参考答案与评分标准
信息与计算科学专业
一(10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(2
1)(n R x x b x Ax x J ∈-=，)()(0x x J λλϕ+=.若0)0('=ϕ，则称称0x 是)(x J 的驻点(或稳定点).矩阵A 对称(不必正定)，求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是:0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点，对于任意的n R x ∈,令
),(2),()()()(2
000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, （3分)
0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0，则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ，得到b Ax =0． (3分)
反之,若n R x ∈0满足b Ax =0,则对于任意的x ,)(),(2
1)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (４分）
评分标准：)(λϕ的展开式3分, 每问3分，推理逻辑性１分
二（10分）、 对于两点边值问题:⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0
)(,0)(),()('b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈
建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。

解: 设}0)(),,(|{11=∈=a u b a H u u H E
为求解函数空间,检验函数空间．取),(1b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (３分)
)().(),(v f fvdx dx quv dx
dv dx du p v u a b a b
a ==+=⎰⎰,),(1
b a H v E ∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. （3分)
令⎰-+=-=b a dx fu qu dx
du p u f u u a u J ])([21),(),(21)(22，则变分问题的Ritz 形式为求),(1*b a H u E ∈,使)(m in )(1*u J u J E
H u ∈= （4分) 评分标准:空间描述与积分步骤３分，变分方程3分，极小函数及其变分问题４分,
三(20分)、对于边值问题
⎪⎩
⎪⎨⎧-====⨯=∈=∂∂+∂∂====x u u u u G y x y u x u y y x x 1||,0|,1|)1,0()1,0(),(,010102222 (１)建立该边值问题的五点差分格式(五点棱形格式又称正五点格式),推导截断误差的阶。

（２）取3/1=h ，求边值问题的数值解(写出对应的方程组的矩阵形式,并求解) (３)就5/1=h 和N h /1=的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示)。

解: (1) 区域离散kh y jh x k j ==,，差分格式为
02221,1,2,1,1=+-++-+--+h u u u h u u u k j jk k j k
j jk k j (５分)
应用Tayloy 展开得到,截断误差为)(][12444442h O y
u x u h jk +∂∂+∂∂,其阶为)(2h O (3分) (2） 未知量为T u u u u U ),,,(22211211=,矩阵形式为F AU =,其中
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=3/13/53/13/53/13/213/13/21,4110140110410114F A (4分) 求解得到解为 (3分）
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=15/5215/215/202/1502/12/152/12L A ＝［４，-1,-１,0;－1，4,０,-1;-1,0,4,-1；0,-1,-1,4]
L ＝
2.000０ -0.5000 －0．5000 0
０ 1.９3６5 -0.１2９1 -0．51６4
0 0 1.9322 -0.5521
0 0 0 1.８516。