----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------《常分方程数值解法》试题一及答案----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1．用欧拉法解初值问题⎩⎨⎧1=060≤≤0--='2)().(y x xy y y ，取步长h =0.2.计算过程保留4位小数。
解：h =0.2, f (x )=－y －xy 2.首先建立欧拉迭代公式),,k )(y x (y .y hx hy y )y ,x (hf y y k k k k k k k k k k k 21042021=-=--=+=+ 当k =0，x 1=0.2时，已知x 0=0,y 0=1，有 y (0.2)≈y 1=0.2×1(4－0×1)＝0.800 0当k ＝1，x 2=0.4时，已知x 1=0.2, y 1=0.8，有y (0.4)≈y 2=0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.614 4当k =2，x 3=0.6时，已知x 2=0.4,y 2=0.614 4，有y (0.6)≈y 3=0.2×0.614 4×(4－0.4×0.4613)＝0.800 02．对于初值问题⎩⎨⎧1=0='2)(y xy y 试用(1)欧拉法；(2)欧拉预报－校正公式；(3)四阶龙格－库塔法分别计算y (0.2),y (0.4)的近似值.3．证明求解初值问题的梯形公式是 y k +1=y k +)],(),([211+++k k k k y x f y x f h, h =x k +1－x k(k =0,1,2,…,n －1)，4．将下列方程化为一阶方程组（1）430(0)1,(0)0y y y y y '''-+=⎧⎨'==⎩（2）2322ln (1)1,(1)0x y xy y x x y y '''⎧-+=⎨'==⎩ （3）26(0)1,(0)1,(0)2y y y y y y ''''⎧=⎨'''==-=⎩5．取步长h = 0.2再用四阶龙格――库塔方法解初值⎩⎨⎧=≤≤+=1)0(10'y x y x y并用前题比较结果。
6．下列各题先用龙格――库塔法求表头，然后用阿当姆斯法继续求以后各值（1）⎩⎨⎧==≤≤-=1.03)1(5.112'h y x y x y（2）⎪⎩⎪⎨⎧==≤≤=+1.01)1(5.1111'2h y x xy x y7．试确定公式11211()n n n n nn n y ay by cy h dy ey fy +--+-'''=+++++中的系数,,,,,a b c d e f ，使之成为一个四阶方法．8.xy dxdy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==9. 2.(1)0,dx x dy y ++=并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得：。
故特解是时，代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,1112----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------《常分方程数值解法》试题二及答案----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1．用欧拉预报－校正公式求解初值问题⎩⎨⎧1=10=++'2)(sin y x y y y ，取步长h =0.2,计算 y (0.2),y (0.4)的近似值，计算过程保留5位小数.l解：步长h =0.2, 此时f (x ,y )=－y －y 2sin x .欧拉预报－校正公式为：⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(1111k k k k k k k k k k y x f y x f hy y y x hf y y 校正值预报值有迭代公式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=--+--+=-=--+=++++++++)sin (1.0)sin 1.09.0()]sin ()sin [(2)sin 2.08.0()sin (121112112121k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x y y x y y x y y x y y h y y x y y x y y h y y 校正值预报值 当k =0，x 0=1, y 0=1时，x 1=1.2，有631710=11⨯02-80⨯1=20-80=0001.)sin .()sin ..(x y y y715490=21631710+63171010-1⨯1⨯10-90⨯1=≈2121.).sin ..(.)sin ..().(y y 当k =1，x 1=1.2, y 1=0.71549时，x 2=1.4，有476970=21715490⨯02-80⨯715490=20-80=1112.).sin ..(.)sin ..(x y y y).sin ..(.).sin ...(.).(41476970+47697010-21⨯715490⨯10-90⨯715490=≈4122y y=0.526082．试写出用欧拉预报－校正公式求解初值问题⎩⎨⎧1=00=+')(y y y 的计算公式，并取步长h =0.1，求y (0.2)的近似值.要求迭代误差不超过10－5.3．证明求解初值问题的梯形公式是 y k +1=y k +)],(),([211+++k k k k y x f y x f h, h =x k +1－x k(k =0,1,2,…,n －1)，4．求出梯形格式的绝对稳定性区域．5．取步长h = 0.2再用四阶龙格――库塔方法解初值⎩⎨⎧=≤≤+=1)0(10'y x y x y并用前题比较结果。
6．用差分法求方程⎩⎨⎧===+''1)1(0)0(0y y y y的数值解（h = 0.2）7yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y xx y x yx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+•+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然(1)(1)0110000ln ln ,ln ,ln ;0;0.x ydx y xdy x yy x xy dx dy x yx x y y c xy x y c xy x y c y x ++-=+-==≠==++-=+-==-===8：解：由或是方程的解，当时，变量分离两边积分即故原方程的解为----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------《常分方程数值解法》试题三及答案----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1．写出用四阶龙格－库塔法求解初值问题⎩⎨⎧2=03-8=')(y yy 的计算公式，取步长h =0.2计算y (0.4)的近似值.计算过程保留4位小数. 解：此处f (x ,y )=8－3y , 四阶龙格－库塔法公式为)22(643211κκκκ++++=+hy y k k其中 κ1=f (x k ,y k )；κ2=f (x n +12h ，y k +21h κ1)；κ3=f (x k +12h ，y n +21h κ2)；κ4=f (x k +h ，y k +h κ3)本例计算公式为：)(.43211++2+2+620+=κκκκk k y y其中 κ1=8－3 y k ；κ2=5.6－2.1 y k ；κ3=6.32－2.37y k ; κ4=4.208＋1.578y k)1,...,2,1,0(5494.02016.1))578.1208.4()37.232.6(2)1.26.5(238(62.01-=+=-+-+-+-+=+n k y y y y y y y k k k k k k k 当x 0=0,y 0==2,46542=30042⨯54940+20161=54940+20161=≈4030042=2⨯54940+20161=54940+20161=≈201201......).(.....).(y y y y y y2．对于初值问题⎩⎨⎧1=0='2)(y xy y 试用(1)欧拉法；(2)欧拉预报－校正公式；(3)四阶龙格－库塔法分别计算y (0.2),y (0.4)的近似值.3．用Euler 法解初值问题(0)0y ax b y '=+⎧⎨=⎩，证明：其截断误差为21()2n n y x y anh -=，这里n x nh =，n y 是Euler 法的近似解.4．求出梯形格式的绝对稳定性区域．5．取步长h = 0.2再用四阶龙格――库塔方法解初值⎩⎨⎧=≤≤+=1)0(10'y x y x y并用前题比较结果。