这就是Euler法的计算公式
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举例1
• 利用Euler方法计算初值问题
初值问题u ' t 100u , u(0) 0
2 2
的解在t=0.3处的数值解.步长h=0.1
un1 un h( t n 2 100un 2 ) 解: Euler公式为: 由h 0.1, u0 0计算得 2 2 u1 u0 h[(0 h) 100u0 ] 0 u2 u1 h[(1 h)2 100u12 ] 0.001 u3 u2 h[(2 h) 100u2 ] 0.0051
limh 0
t0 nh t
un u(t )
n O( h p ) 若此时，整体截断误差满足
则称方法的收敛为p阶的
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稳定性
• 在利用公式(2)计算数值解的过程中,难免有舍 入误差.稳定性就是讨论舍入误差是否会随着 计算无限扩大地传递下去. • 数值方法稳定性指对初始误差的连续依赖性, 以线性k步方法为例，即为存在常数C和h0>0, 使得当h∈(0,h0] 时
• 绘制折线，与真解比较
2 证明梯形法的收敛性, 并估计整体截断误差.
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R(tn , u; h) Rn : u(tn1 ) un1
此时
u(tk ) uk , k 0,1, n
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整体截断误差
设u(t)是初值问题(1)的解, un是(2)的解,定义算子
n : u(tn ) un , n 1, 2,
那么, n称为整体截断误差
与局部截断误差不同, 此时
• 教学目标 • 教学重点 • 教学过程
第一章 基本概念
4
教学目标
─了解ODE数值解法的基本内容, ─掌握Euler法和线性多步方法, ─会判断常用方法的优劣之处.
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教学重点
• 基本概念和Euler法 • 线性多步方法 • 稳定性
第一章 基本概念
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教学过程
• • • • • • 常微分方程基本概念 常微分方程初值问题 Euler法及其基本问题 线性多步方法 数值稳定性 Runge-Kutta方法
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数值方法的基本问题
• • • • 截断误差(局部、整体) 相容性 收敛性 稳定性
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局部截断误差
设u(t)是初值问题(1)的解, 在[t,t+h]上定义算子
R(t , u; h) u(t h) u(t ) hf (t , u(t ))
那么, R(t, u;h)称为局部截断误差 如果t=tn,局部截断误差也记为
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相容性和相容的阶
• 相容性针对的是建立差分格式时由差商代 替微商所引起的局部截断误差. • q阶相容: 若一个离散变量方法的局部截断 误差对任意n满足：
Rn O(h
q 1
) (q 1)
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收敛性与收敛的阶
• 收敛性研究的是误差累积产生的整体截 断误差. • 收敛：对任意的t∈(t0,T] ，成立
例y e x满足方程y y，是方程的一个解
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同. （微分方程的绝大部分解） 特解 — 不含任意常数的解.
例y Ce x 是方程y y的通解.
例y 2e x 是方程y y的特解.
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定解条件: 初值问题和边值问题 定解条件 — 确定通解中任意常数的条件. 1) n 阶方程的初始条件(或初值条件):
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Euler方法的三种解释
• 数值微分：用差商来代替导数
u(t h) u(t ) hf (t , u(t ))
• 数值积分：把微分方程变成积分方程
u(t h) u(t )

th t
f ( , u( ))d hf (t , u(t ))
• 幂级数展开：将u(t+h) 在t 做Taylor展开 h2 u( t h) u(t ) hu '(t ) u ''(t ) ... 2! u( t ) hf ( t , u( t ))
Logistic方程
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常微分方程举例3
问题1.3 并不是所有的方程可以用初等积分法求出其
解, 例如形式上很简单的里卡蒂(Riccati)方程
x' t x
2
2
不能用初等函数表示通解. 寻求方程非解析函数的其它形式解, 显得非常必要。 而数值求解就是其重要的一个方法
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2 Euler方法
考虑一阶常微分方程初值问题 (1) u ' f ( t , u), t 0 t T , u( t0 ) u0
例的原子自然衰变而形成新元素的原子.
记t时刻放射性物质的原子数为x(t), 据观测单位时间
内衰变原子的个数Δ x与当时放射性原子数x(t)之比为
常数a. 考虑到放射过程中Δ x<0, 因此a<0为负实数. 这 时有方程
x a t x
x ' ax (a 0)
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常微分方程来源举例2
maxk n N un vn C max0 n k 1 un vn
这里常数C不依赖于h。通常这里定义的稳定 性指 h→0 情况下的稳定性。
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Eular方法的性质
• • • • 相容性 √ (1阶) 收敛性 √ (1阶) 稳定性 √ 绝对稳定区域 { z | z 1 | 1, z C }
• 课堂授课& 任课教师 •
2
教学内容
• 第一章、常微分方程的数值解法 • 第二章、椭圆型方程的差分方法 • 第七章、椭圆型方程的有限元方法
• 第四章、抛物型方程的差分方法
• 第五章、双曲型方程的差分格式
3
第一章
常微分方程初值问题 的数值解法
第一章 基本概念 7
1: 常微分方程的基本概念
微分方程: 常微分方程和偏微分方程 阶 解，通解和特解 定解问题: 初值问题和边值问题
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微分方程: 常微分方程和偏微分方程 联系着自变量, 未知函数及其导数(微分)的方程, 称为微分方程 .
分类
常微分方程 :未知函数是一元函数
偏微分方程 :未知函数是多元函数
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节点 ti
数值解un
精确解ut
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1.0000 1.0500 1.1025 1.1576 1.2155 1.2763 1.3401 1.4071 1.4775 1.5513 1.6289
1.0000 1.0513 1.1052 1.1618 1.2214 1.2840 1.3499 1.4191 1.4918 1.5683 1.6487
y( x0 ) y0 , y( x0 ) y0 , , y
( n1) ( n1)
( x0 ) y0
例
dy dx
=2 x
x 1
y
=2
2) n 阶方程的边界条件(或边值条件):
y f ( x, y, y ), 0 x 1, 例 y(0) 0, y(1) 0.
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2 初值问题：标量形式
考虑一阶常微分方程初值问题：
u ' f ( t , u), t0 t T , u( t0 ) u0
存在性：f(t,u)在定义域上连续
唯一性：f(t,u)关于u满足Lipschitz条件
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常微分方程来源举例1
问题1.1 上上世纪初英国物理学家Rutherford发现放射 性元素的原子是不稳定的,在每一段时间内总有一定比
u(tk ) uk , k 0,1, n
未必成立, 且一般
u(tk ) uk , k 0,1, n
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截断误差
• 局部截断误差Rn：假设第n步精确计算的前 提下，计算解un+1和精确解u(tn+1)的误差 • 整体截断误差n：在考虑误差累积的效应 下，计算解un和精确解u(tn)的误差
t n1 t n hn1 , n 0,1, ..., N 1,
在( t0 , T ]上取N 个点
如果步长hn1＝h，那么称为等步长.
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计算在离散点（节点）的值，有
un1 un hf (t n , un ), n 0, 1,..., N 1 (2) u0 u(t0 )
y xy ,
2
2 y 3 y e x , y
( t x )dt xdx 0,
z x y, x
9
微分方程的阶 方程中未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶. 例如：
一阶微分方程
三阶微分方程 一阶微分方程
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解, 通解, 特解
微分方程的解 — 是使方程成为恒等式的函数.
北京· 中国地质大学
China University of Geosciences，Beijing
《微分方程数值解法》
教材：
微分方程数值方法
(第二版)，
胡健伟,汤怀民著,
科学出版社, 2007,2
参考书:
微分方程数值解法 李荣华等编, 高教出版社
1
参考书:
微分方程数值解法 李荣华等编, 高教出版社
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总结：基本步骤
① 对区间作分割： I : t0 t1 t n T
求 y(x) 在xi 上的近似值yi。 目的 ② 由微分方程出发，建立求格点函数的差分方程。 这个方程应该满足： A、解存在唯一；B、稳定，收敛；C、相容
关键 ③ 解差分方程，求出格点函数
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为了考察数值方法提供的数值解，是否有实用价值， 需要知道如下几个结论： ① 步长充分小时，所得到的数值解能否逼近 问题得真解；即收敛性问题 ② 误差估计 ③ 产生得舍入误差，在以后得各步计算中，是否会 无限制扩大；稳定性问题