2 20 50 0
0.8，0
19.3
max
1
3
2
57 2
7
32MPa
(2) 图解法
作应力圆如图(a1)所示。应力圆
与 轴的两个交点对应着两个主应
力1 、3 的数值。由 CDx 顺时针旋 转 20 ，可确定主平面的方位。应力 圆的半径即为最大切应力的数值。
主应力单元体如图(a2)所示。
T 0.2F1 0.2600 120N m
M M 2 M2
z
y
2.642 71.22 71.3 N m
应用第三强度理论
max
M 2 T2 32 71.32 1202 89200000Pa 89.2MPa 100MPa
W
0.033
1
24 4 30
最大工作应力小于许用应力，满足强度要求，可以安全工作。
2 25 00
，0
45
max
1 3
2
25
2
25
25MPa
(2) 图解法
作应力圆如图(c1)所示。应力圆与
轴的两个交点对应着两个主应力1 、
3 的数值。由 CDx 顺时针旋转20 ，可 确定主平面的方位。CDx 的长度即为最大切应力的数值。主应力单元体如题图(c2) 所示。
7.33 对题7.4中的各应力状态，写出四个常用强度理论及莫尔强度理论的
2
2
x
2
y
sin xy
cos 2
70 70 sin 60 2
0 60.6MPa
(2) 图解法 作 O 坐标系, 取比例1cm=70MPa, 由 x 、 xy 定Dx 点, y 、 yx 定Dy点, 连Dx 、Dy , 交τ轴于C点, 以C 点为圆心, CDx 为半径作应力圆如图(a1)所示。由CDx
r4
1 2
1
2 2
2
3 2
3
2
1
1 2
252
252
502
43.4MPa
rM
1
t c
3
25
1 4
25
31.3MPa
7.35 车轮与钢轨接触点处的主应力为-800MPa、-900MPa、-1100MPa。若[σ]
= 300MPa，试对接触点作强度校核。
解 1 800MPa， 2 900MPa，3 1100MPa r3 1 3 800 1100 300MPa 300MPa
27
学海无 涯
1 2
572
72
642
60.8MPa
rM
1
t c
3
57 1 4
7
58.8MPa
（书：P250，讲课没有讲）
(c) 1 25MPa， 2 0 ，3 25MPa r1 1 25MPa r2 1 2 3 25 0.25 0 25 31.3MPa r3 1 3 25 25 50MPa
l
i
11.8 0.075/ 4
96
1
2 E p
2 210109
240106
92.9
因 1，故可用欧拉公式计算活塞杆的临界载荷，即
Fcr
2EI
l 2
2 210109 0.0754
64
994000N 994kN
11.82
工作安全因数： n
Fcr F
994 120
8.28
部分长度l 120mm ，主轴直径d=40mm。若
[σ]=60MPa，试用第三强度理论校核轴的强
度。
解 这是一个弯扭组合变形问题。显然危险截面在主轴根部。该处的内力
分量分别为：
扭矩： T 9549 P 9549 9 120N m
n
715
根据平衡条件， 2F D F D T ，得
2
2
F 2T 2120 960 N
n
st
8
工作安全因数大于规定的安全因数，故安全。
9.7 无缝钢管厂的穿孔顶杆如图所示。
杆端承受压力。杆长l 4.5m ,横截面直径 d=15cm。材料为低合金钢，p 200MPa ，E = 210GPa。两端可简化为铰支座，规定的稳定
安全因数为nst 3.3。试求顶杆的许可载荷。
解 1
2 E 2 210 109 102
34
学海无涯
料的E= 200GPa, p 200MPa ,a=304MPa,b=1.12 MPa，s 240MPa 。起重机的最 大起重量是W=40kN。若规定的稳定安全因数为nst 5 ,试校核BD杆的稳定性。
解 应用平衡条件图(b)
M A Fi 0 ，
FNBD
2W 1.5sin 30
起始, 逆时针旋转2 = 60°,得 D 点。从图中可量得 D点的坐标, 便是 和 数值。
4. 已知应力状态如图所示，图中 应 力单位皆为MPa。试用解析法及图解 法求:
(1) 主应力大小，主平面位置； (2) 在单元体上绘出主平面位置及主应力方向；
25
(3) 最大切应力。
学海无 涯
解 (a) 受力如图(a)所示
、一端自由的压杆。这时推杆 的
伸出长度为最大值，lmax 3m。 取稳定安全因数nst 4 。试校核
压杆的稳定性。
解 一端固定、另一端自由的压杆的长度系数μ=2。推杆的柔度为：
l l 23 185
i d / 4 0.13/ 4
1
2 E p
2 210109 92.9
240106
因 1,属于大柔度杆,故用欧拉公式计算临界载荷,即
由式①和②可得：
3.5FRA sin 30 1.75W 0 ① FRA cos 30 FRC x 0
FRA W ， FRC FRA cos30 W cos30 x
危险截面上的内力分量为：
FN FRC W cos30 40cos30 34.6kN x
M
FRA sin 30
3.5 2
Fcr
2EI
l 2
2 210109 0.134
64
807000N 807kN
2 32
推杆的工作安全因数n
Fcr F
807 150
5.38
n
st
4 ，因推杆的工作安全因数大于
规定的稳定安全因数，所以可以安全工作。
9.15 某厂自制的简易起 重机如(a)图所示,其压杆BD为 20号槽钢,材料为Q235 钢。材
(c) 受力如图(c)所示
x 0 ， y 0 ， xy 25MPa
(1) 解析法
26
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max min
x
y
2
x
2
y
2
2 xy
00 2
0 0 2 2
252
25MPa 25MPa
按照主应力的记号规定
1 25MPa， 2 0 ，3 25MPa
tan
20
2xy x y
33
F Fcr 2540 770kN
nst 3.3
学海无 涯
9.8 某轧钢车间使用的螺旋推钢机的示意图如图所示。推杆由丝杆通过螺母
来带动。已知推杆横截面的直径d=13cm,材料为Q255钢，E=210GPa， p 240MPa 。 当推杆全部推出时,前端可能有
微小的侧移,故简化为一端固 定
x 50MPa， y 0 ， xy 20MPa
(1) 解析法 （数 P218）
max min
x
y
2
x
2
y
2
2 xy
50 0 2
50 0 2
2
ห้องสมุดไป่ตู้
202
57MPa 7MPa
按照主应力的记号规定
1 57MPa， 2 0 ，3 7MPa
tan 20
2xy x y
1.75W sin 30
1.75 40 0.5 35kN
m
危险点的最大应力
max
FN A
M
Wy
34.6103 2 29.3104
35103
2152106
121MPa
(压)
最大应力恰好等于许用应力， 故可安全工作。
29
学海无 涯
8.8 图(a)示钻床的立柱由铸铁制成，
F=15kN，许用拉应力t =35 MPa。试确定立
柱所需直径d。
解 立柱横截面上的内力分量如图(b) 所示，FN＝F=15kN，M=0.4F=6kN·m，这是 一个拉弯组合变形问题，横截面上的最大应 力
max
FN A
M Wy
4FN
d2
32M
d3
415103
d2
326103
d3
根据强度条件max ，有
4 15103
d2
32 6103
d3
p
200 106
（书P301）
顶杆的柔度为： l l 1 4.5 120
i d / 4 0.15 / 4
因 1,属于大柔度杆，故可用欧拉公式计算临界载荷，即
Fcr
2EI
l 2
2 210109 0.154
64
2540000N 2540kN
1 4.52
顶杆的许可载荷：
r4
1 2
1
2 2
2
3 2
3
2
1
1 800 9002 900 11002 1100 8002 264MPa
2
300MPa
用第三和第四强度理论校核， 相当应力等于或小于许用应力，所以安全。
28
学海无涯
8.3 图(a)示起重架的最大起吊重量( 包括行走小车等)为W=40kN，横梁AC 由两根No.18槽钢组成， 材 料为Q235钢，许用应力 [σ]=120MPa。试校核横梁的 强度。