弯曲内力
典型习题解析
1 作图示简支梁的剪力图和弯矩图,并求出max
S
F 和max
M。
解题分析:作剪力、弯矩图的基本方法是写出每一段梁上的剪力、弯矩方程,根据方程描点作图。
在能熟练地作剪力、弯矩图后,可采用如下简便作图法:在表中列出特殊截面(如有位移约束的截面、集中力作用截面等的剪力、弯矩值,再根据载荷集度与剪力、弯矩之间的微分关系判断各区段的内力图形状,连线相邻特殊截面对应的点。
下面按两种方法分别作图。
解I :1、求支反力
qa F Ay =,
qa F Cy 2=2、将梁分成AB 、BC 和CD 三个区段 以A 为原点,向右取x 坐标。
AB 段,如图d :
qa F F Ay ==S ,()
a x <<0
2qa
(c)
(b)
(a)
M
(d)
(e)
M
S
S
S
M
(f)
题1图
qax x F M Ay ==,()
a x ≤≤0BC 段,如图e:
)2()(S x a q a x q F F Ay −=−×−=,(a x a 2<<)
)/2()/2)((22a x q a x a x q x F M Ay +=−−+=,(a x a 2≤≤)
CD 段,如图f:
)()(S x a q F a x q F F Ay −=−−×−=,(a x a 32<<)
)/2()/2)((22a x q a x a x q x F M Ay +=−−+=,(a x a 32≤≤)
3、按照步骤2所得各段梁的剪力、弯矩方程画出剪力图和弯矩图,如图b 和图c。
4、计算剪力和弯矩的最大值
qa F 2max
S
=, 2max
2
3qa M
=
解II :1、计算支反力
qa F Ay =,
qa F Cy
2=2、将梁分为AB 、BC 、CD 三个区段,计算每个区段起点和终点的力值。
3、根据载荷情况及微分关系,判断各力区的内力图形状,并以相应的图线连接起来,得到剪力图和弯矩图。
力区 A 截面 AB B 截面 BC C 截面 CD D 截面 载荷 F Ay 向上 q =0
无集中力q =负常数 F 向下 q =负常数 F Dy 向上F S
突跳F Ay
水平(+)
连续 下斜线(+) 突减F 下斜线(-) 突跳F Dy
M 0 上斜线 相切
上凸抛物线
转折
上凸抛物线
4、计算剪力弯矩最大值
qa F 2max
S
=, 2
max
2
3qa M
=
讨论:利用剪力弯矩方程作图时,注意坐标轴x 的正向一般由左至右。
有时候根据需要,可
以取为由右至左,但此时必须注意q ,F S 和M 之间的微分关系在正负号上有变化。
2 作图示梁的剪力图和弯矩图。
解题分析:不分段列剪力、弯矩方程,只计算特殊截面处的剪力、弯矩值,根据规律连线。
解:1、求支反力
qa F qa F Cy Ay 5
4
,43==
2、计算特殊截面剪力值
将梁分为三个区段计算每个截面的值。
集中力作用截面的左、右两侧值不同。
S F S F qa F F A A 4
3
0S S ==右左, qa F qa F B B 41
43S S −==
右左, qa F qa F C C =−=右左,S S 4
1
0S =D F
3、计算特殊截面弯矩值
计算前述特殊截面处的M 值。
集中力偶作用截面的左、右两侧的M 值不同。
0=A M 224
1
43qa M qa M B B −==
右左, 题2图
22
1qa M C −
= 0=D M
CD 段是二次抛物线,抛物线上有极值时应求出。
4、计算最大剪力和弯矩值
qa F =max
S
, 2max
4
3qa M
=
讨论:采用上述作图法不能遗漏代表点,包括载荷变化点、约束点。
计算极值弯矩时,可以先找出该区段剪力为零的截面,该截面处的弯矩即为极值弯矩。
也可以借助该区段的弯矩方程计算极值。
3 作图示梁的剪力图和弯矩图,并求出max
S
F 及max
析:梁上有中间铰时M
,B 处是中间铰。
解题分,先自铰处将梁拆分。
中矩一定为零。
解: 1、求支反力
间铰可以传递力,但不能传递弯矩,所以中间铰处弯在中间铰B 处将梁拆开两部分,铰处互相作用
力用By F 代替,如图b 所示。
24
7
,47,1qa F F qa F By Ay ==4qa M A Dy ==
2、将梁分为AB 、BC 、CD 三个区段,计算A B 、
C D 截面处的内力值。
3、集度与剪力、弯矩之间的微分关系,
4、CD 段剪力有零点,根据左负右正,判断弯矩图有极小值。
、、根据载荷判断各区段的内力图形状,并用图线连接。
令041)(S x F =−=
qx qa ,得a x 4
1
=,代入弯矩方程
2232
1)4(2141)(qa a q a F x M D =+×−=
5、计算最大剪力、弯矩值
qa F 4
max
S
=
, 7
2max
4
M =
7qa F S
(d) M
题3图
4 试作图示梁的剪力图和弯矩图
解题分析:对于三角形()q 0的关系,再列出剪力、弯矩方程。
结构和载荷均对称时,弯矩图对称,剪力图反对称。
所以,只须取左半边作图,然后根据上述对称解: 1、求支反力
分布载荷,先列出q x 和反对称关系,画出另一半剪力、弯矩图。
l q F F Cy Ay =
=04
1
2、列、S F M 方程
l
x q x q (0
= 2))20(41)(21
41)(20
00l −S1l
x l x q l q x x q q x F <<−==
)2
l
0(3432)(41)(30001x x l
q lx q
x x x q lx q x M ≤≤−=⋅−=
2
l
x =
处M 为极大值。
2030)()(1l q l l M −=
0max 12
1
2324l q l q = 3、作、S F M 图
AB 段, 图为二次抛物线,S F M 图为三次抛物线。
BC 段,图与AB 段反对称,S F M 图与AB 段对称。
4、计算最大剪力弯矩值
q 0l /4
(+)
q 0l 2/12
(+)
(-)
题4q 0l /4
图
4
0l
q =
max
S
F ,21
l q M =
0max
12
5 作图示刚架的内力图
C 铰处拆开,得:
解题分析:刚架有中间铰,自铰处拆开,先求支反力,然后根据对称规律作剪力、弯矩图。
铰处无集中载荷时,铰两侧轴力、剪力图连续,弯矩为零。
解:1、求支反力
由于对称 qa F F Ey Ay == 在Ex Ax F qa
F ==
4
2、作F 图
N AB 力区,直线; ,区,qa F −=N ,BC CD 力4
N qa
F −
=,直线; 力区,,直线。
3、DE qa F −=N 作S F 图
AB 力区,0=q ,4
S qa
−
=直线F
D 2/2
题5图
qa
BD 力区,等于负常数,图为斜线,q S F qa F =max
S
DE 力区,,0=q 4
S qa
F =直线 4、作M 图
AB 力区,S F 为负常数,M 图为斜线。
BC 力区,为斜线,正值,S F M 图为二次抛物线,C 处M 值等于零。
CD 力区,为斜线,负值,S F M 图为二次抛物线。
2
2
DE 力区,为正常数,M 图为斜线。
S F max
M
=。
qa 讨论:作称性或反对称性可以大大降低工作量。
刚架内力图时充分利用刚架的几何对称性、载荷的对。