课时跟踪检测(三十) 数列的概念与简单表示法1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2等于( ) A ．4 B ．2 C ．1D ．－22．按数列的排列规律猜想数列23，－45，67，－89，…的第10项是( )A ．－1617B ．－1819C ．－2021D ．－22233．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝( ) A ．2n －1 B ．n 2 C.(n ＋1)2n 2D.n 2(n －1)24．对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．必要条件D ．既不充分也不必要条件5．(2012·北京高考)某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为( )A ．5B ．7C ．9D ．116．(2013·江西八校联考)将石子摆成如图的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差，即a 2 012－5＝( )A ．2 018×2 012B ．2 018×2 011C ．1 009×2 012D ．1 009×2 0117．已知数列{a n}满足a st＝a s a t(s，t∈N*)，且a2＝2，则a8＝________.8．(2012·潮州质检)已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝2，且a n＝a n－1a n－2(n≥3)，则a2 012＝________.9．已知{a n}的前n项和为S n，且满足log2(S n＋1)＝n＋1，则a n＝________.10．数列{a n}的通项公式是a n＝n2－7n＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？11．已知数列{a n}的前n项和S n＝2n2＋2n，数列{b n}的前n项和T n＝2－b n.求数列{a n}与{b n}的通项公式．12．(2012·东莞质检)数列{a n}中，已知a1＝2，a n＋1＝a n＋cn(n∈N*，常数c≠0)，且a1，a2，a3成等比数列．(1)求c的值；(2)求数列{a n}的通项公式．1．(2013·珠海质检)已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1a n＝2n(n∈N*)，则a10＝()A．64B．32C．16 D．82．数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和，n (a n ＋1－a n )＝a n (n ∈N *)，且a 3＝π，则tan S 4等于( )A ．－33B. 3 C ．－ 3D.333．(2012·广东清远调研)已知数列{a n }中，a 1＝1，且满足递推关系a n ＋1＝2a 2n ＋3a n ＋ma n ＋1(n∈N *)．(1)当m ＝1时，求数列{a n }的通项公式a n ；(2)当n ∈N *时，数列{a n }满足不等式a n ＋1≥a n 恒成立，求m 的取值范围．答 案 课时跟踪检测(三十)A 级1．选A 由题可知S n ＝2(a n －1)， 所以S 1＝a 1＝2(a 1－1)，解得a 1＝2.又S 2＝a 1＋a 2＝2(a 2－1)，解得a 2＝a 1＋2＝4.2．选C 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{a n }的通项公式，a n ＝(－1)n ＋12n2n ＋1，故a 10＝－2021.3．选D 设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2(n －1)2.4．选B 当a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)时，∵|a n |≥a n ，∴a n ＋1>a n ，∴{a n }为递增数列．当{a n }为递增数列时，若该数列为－2,0,1，则a 2>|a 1|不成立，即知a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)不一定成立．故综上知，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件．5．选C 依题意S nn 表示图象上的点(n ，S n )与原点连线的斜率，由图象可知，当n ＝9时，S nn最大，故m ＝9. 6．选D 因为a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2)， 所以a n ＝5＋(n ＋6)(n －1)2，所以a 2 012－5＝1 009×2 011.7．解析：令s ＝t ＝2，则a 4＝a 2×a 2＝4， 令s ＝2，t ＝4，则a 8＝a 2×a 4＝8. 答案：88．解析：将a 1＝1，a 2＝2代入a n ＝a n －1a n －2得a 3＝a 2a 1＝2，同理可得a 4＝1，a 5＝12，a 6＝12，a 7＝1，a 8＝2，故数列{a n }是周期数列，周期为6，故a 2 012＝a 335×6＋2＝a 2＝2.答案：29．解析：由已知条件可得S n ＋1＝2n ＋1. 则S n ＝2n ＋1－1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－2n＋1＝2n，n ＝1时不适合a n ，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.10．解：(1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150， 解得n ＝16或n ＝－9(舍去)， 即150是这个数列的第16项． (3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0， 解得n >6或n <1(舍)． 故从第7项起各项都是正数．11．解：∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋2n )－[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4也适合， ∴{a n }的通项公式是a n ＝4n (n ∈N *)．∵T n ＝2－b n ，∴当n ＝1时，b 1＝2－b 1，b 1＝1.当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝(2－b n )－(2－b n －1)， ∴2b n ＝b n －1.∴数列{b n }是公比为12，首项为1的等比数列．∴b n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1.12．解：(1)由题知，a 1＝2，a 2＝2＋c ，a 3＝2＋3c ， 因为a 1，a 2，a 3成等比数列，所以(2＋c )2＝2(2＋3c )， 解得c ＝0或c ＝2，又c ≠0，故c ＝2. (2)当n ≥2时，由a n ＋1＝a n ＋cn 得 a 2－a 1＝c ， a 3－a 2＝2c ， …a n －a n －1＝(n －1)c ，以上各式相加，得a n －a 1＝[1＋2＋…＋(n －1)]c ＝n (n －1)2c ，又a 1＝2，c ＝2，故a n ＝n 2－n ＋2(n ≥2)， 当n ＝1时，上式也成立，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n ＋2(n ∈N *)．B 级1．选B 因为a n ＋1a n ＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2.又a 1a 2＝2，a 1＝1，所以a 2＝2，则a 10a 8·a 8a 6·a 6a 4·a 4a 2＝24，即a 10＝25. 2．选B 法一：由n (a n ＋1－a n )＝a n 得 na n ＋1＝(n ＋1)a n ，可得3a 4＝4a 3，已知a 3＝π，则a 4＝43π.又由2a 3＝3a 2，得a 2＝23π，由a 2＝2a 1，得a 1＝π3，故S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝103π，tan S 4＝tan 103π＝ 3.法二：∵由n (a n ＋1－a n )＝a n ，得na n ＋1＝(n ＋1)a n 即a n ＋1n ＋1＝a nn ，∴a n n ＝a n －1n －1＝a n －2n －2＝…＝a 33＝π3. ∴a n ＝π3n ，∴S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝π3(1＋2＋3＋4)＝103π，tan S 4＝tan 103π＝ 3.3．解：(1)∵m ＝1，由a n ＋1＝2a 2n ＋3a n ＋1a n ＋1(n ∈N *)，得a n ＋1＝(2a n ＋1)(a n ＋1)a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，公比也是2的等比数列． 于是a n ＋1＝2·2n －1，∴a n ＝2n －1. (2)∵a n ＋1≥a n ，而a 1＝1，知a n ≥1， ∴2a 2n ＋3a n ＋m a n ＋1≥a n ，即m ≥－a 2n －2a n ， 依题意，有m ≥－(a n ＋1)2＋1恒成立．∵a n ≥1，∴m ≥－22＋1＝－3，即满足题意的m 的取值范围是[－3，＋∞)．。