课时跟踪检测（三十九） 正切函数的性质与图象 A 级——学考合格性考试达标练 1．当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，函数y ＝tan |x |的图象( )A ．关于原点对称B ．关于y 轴对称C ．关于x 轴对称D ．无法确定解析：选B 函数y ＝tan |x |，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2是偶函数．其图象关于y 轴对称．故 选B.2．函数y ＝ tan x ＋1的定义域为( )A.⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) B.⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎡⎭⎫k π－π3，k π＋π2(k ∈Z ) D ．⎣⎡⎭⎫k π－π4，＋∞(k ∈Z ) 解析：选B 由题可得tan x ＋1≥0，即tan x ≥－1，解得x ∈⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π2(k ∈Z )．3．已知函数f (x )＝3tan ⎝⎛⎭⎫ωx －π4的最小正周期为π2，则正数ω＝( ) A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C ∵ω>0，∴T ＝πω＝π2，∴ω＝2，故选C. 4．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是下图中的( )解析：选A 由函数周期T ＝π12＝2π，排除选项B 、D ． 将x ＝2π3代入函数式中，得tan ⎝⎛⎭⎫12×2π3－π3＝tan 0＝0.故函数图象与x 轴的一个交点为⎝⎛⎭⎫2π3，0.故选A. 5．与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是( ) A ．x ＝π2B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π8 解析：选C 令2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )．令k ＝0，得x ＝π8. 6．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋6x 的定义域为________． 解析：由π4＋6x ≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π6＋π24(k ∈Z )． 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π6＋π24，k ∈Z 7．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的单调递增区间是___________________________________． 解析：令k π－π2＜2x ＋π4＜k π＋π2，k ∈Z ， 解得k π2－3π8<x <k π2＋π8，k ∈Z . 答案：⎝⎛⎭⎫k π2－3π8，k π2＋π8，k ∈Z 8．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4，x ∈⎝⎛⎦⎤0，π6的值域是________． 解析：由0<x ≤π6得0<x 2≤π12，从而π4<x 2＋π4≤π3. ∴tan π4<tan ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4≤tan π3， 即1<tan ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4≤ 3. 故填(1, 3 ]．答案：(1, 3 ]9．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝tan 2x －tan x 1－tan x； (2)f (x )＝x tan 2x ＋x 4.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2（k ∈Z ），tan x ≠1得 x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4(k ∈Z )． 即定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4，k ∈Z ， 不关于原点对称，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数．(2)函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，关于原点对称． 又f (－x )＝(－x )tan[2(－x )]＋(－x )4＝x tan 2x ＋x 4＝f (x )，所以函数是偶函数．10．比较下列两个正切值的大小：(1)tan 167°，tan 173°；(2)tan ⎝⎛⎭⎫－11π4，tan ⎝⎛⎭⎫－13π5. 解：(1)因为90°<167°<173°<180°，y ＝tan x 在(90°，180°)上为增函数．所以tan 167°<tan 173°.(2)因为tan ⎝⎛⎭⎫－11π4＝tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－13π5＝tan 2π5， 且0<π4<2π5<π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数， 所以tanπ4<tan 2π5， 即tan ⎝⎛⎭⎫－11π4<tan ⎝⎛⎭⎫－13π5. B 级——面向全国卷高考高分练1．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图象的一个对称中心是( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，0 B ．⎝⎛⎭⎫2π3，－33 C.⎝⎛⎭⎫－2π3，0 D ．(0，0)解析：选C 因为y ＝tan x 的图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z .由12x ＋π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π－2π3，k ∈Z ，所以函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π－2π3，0，k ∈Z .令k ＝0，得⎝⎛⎭⎫－2π3，0. 2．函数y ＝tan(cos x )的值域是( )A ．⎣⎡⎦⎤－π4，π4 B ．⎣⎡⎦⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1] D ．以上均不对解析：选C ∵－1≤cos x ≤1，且函数y ＝tan x 在[－1，1]上为增函数，∴tan(－1)≤tan x ≤tan 1.即－tan 1≤tan x ≤tan 1.3．已知函数f (x )＝x ＋tan x ＋1，若f (a )＝2，则f (－a )＝( )A ．0B ．－1C ．－2D ．3解析：选A 设g (x )＝x ＋tan x ，显然g (x )为奇函数．∵f (a )＝g (a )＋1＝2，∴g (a )＝1，∴f (－a )＝g (－a )＋1＝－g (a )＋1＝0.故选A.4．已知函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是( ) A ．0B ．－33C ．－1D ． 3解析：选A 由题意，可知T ＝π4，所以ω＝ππ4＝4，即f (x )＝tan 4x ，所以f ⎝⎛⎭⎫π4＝tan π＝0.5．函数y ＝tan x 2满足下列哪些条件________(填序号)． ①在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增； ②为奇函数；③以π为最小正周期；④定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π4＋k π2，k ∈Z . 解析：令x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π4， 所以y ＝tan x 2在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增正确；tan ⎝⎛⎭⎫－x 2＝－tan x 2，故y ＝tan x 2为奇函数； T ＝πω＝2π，所以③不正确；由x 2≠π2＋k π，k ∈Z ，得{x |x ≠π＋2k π，k ∈Z }，所以④不正确． 答案：①②6．若tan x ＞tan π5且x 在第三象限，则x 的取值范围是________． 解析：∵tan x ＞tan π5＝tan 6π5，又x 为第三象限角， ∴2k π＋6π5＜x ＜2k π＋3π2(k ∈Z )． 答案：⎝⎛⎭⎫2k π＋6π5，2k π＋3π2(k ∈Z ) 7．设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. (1)求函数的定义域；(2)求不等式f (x )≤ 3的解集．解：(1)根据函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3，可得x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋5π3， k ∈Z .故函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠2k π＋5π3，k ∈Z . (2)求不等式f (x )≤ 3，即tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3≤ 3， 所以k π－π2<x 2－π3≤k π＋π3，k ∈Z ， 求得2k π－π3<x ≤2k π＋4π3，k ∈Z ， 故不等式的解集为⎝⎛⎦⎤2k π－π3，2k π＋4π3，k ∈Z . 8．设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. (1)求函数f (x )的最小正周期，图象的对称中心；(2)作出函数f (x )在一个周期内的简图．解：(1)∵ω＝12，∴最小正周期T ＝πω＝π12＝2π.令x 2－π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋2π3(k ∈Z )， ∴f (x )的图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋2π3，0(k ∈Z )． (2)令x 2－π3＝0，得x ＝2π3；令x 2－π3＝π2，得x ＝5π3；令x 2－π3＝－π2，得x ＝－π3. ∴函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是⎝⎛⎭⎫2π3，0，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3，从而得到函数y ＝f (x )在一个周期⎝⎛⎭⎫－π3，5π3内的简图，如图所示．C 级——拓展探索性题目应用练已知f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x ＋φ)是奇函数，则φ应满足什么条件？并求出满足|φ|＜π2的φ值． 解：(1)法一：∵y ＝tan x 的最小正周期是π.∴y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期是π2. 法二：由诱导公式知：tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π ＝tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 即f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝f (x )． ∴f (x )的最小正周期是π2. (2)∵f (x ＋φ)＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2φ是奇函数， ∴图象关于原点中心对称，∴π3＋2φ＝k π2(k ∈Z )， ∴φ＝k π4－π6(k ∈Z )．令⎪⎪⎪⎪k π4－π6＜π2(k ∈Z )， 解得－43＜k ＜83，k ∈Z . ∴k ＝－1，0，1，2.从而得φ＝－5π12，－π6，π12，π3.。