14 OR:SM OR:SM
例2 已知条件如表所示
型号 工序 Ⅰ（小时/台） Ⅱ（小时/台） 利润（元/台） A 4 3 300 B 6 2 450 每周最大 加工能力 150 70
如果工厂经营目标的期望值和优先等级如下： p1: 每周总利润不得低于10000元； p2: 因合同要求，A型机每周至少生产10台，B型机每周至少生产15台； p3: 希望工序Ⅰ的每周生产时间正好为150小时，工序Ⅱ的生产时间最好用 足，甚至可适当加班。 试建立这个问题的目标规划模型。
和 不同，赋予相应的权系数 kl kl 。
5、根据决策者的要求，按下列情况之一构造一个由优先因子和权系数 相对应的偏差变量组成的，要求实现极小化的目标函数，即达成函数。 （恰好、不超过、不低于）
11 OR:SM OR:SM
目标规划的一般模型
模型的一般形式：
m in Z

K
k 1
x2
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
6 D 4 E
x1=5, x2=4
16 2x2 =10
C H G
d2
d2
d1
2
d1
B F A 3x1 +4 x2 =32 10
0
18
2
4
6
x1
OR:SM OR:SM
目标规划的图解分析法
• 例5.2 用图解法求解下列目标规划问题
16
OR:SM OR:SM
例3 在上题中（例2），如果工序Ⅱ在加班时间内生产出来的产品，每台A 型机减少利润20元，每台B型机减少利润25元，并且工序Ⅱ的加班时间每 周最多不超过30小时，这是p4级目标，试建立这个问题的目标规划模型。 解：设x1,x2分别为在正常时间和加班时间生产A型机台数，x3,x4 分别为在正 常时间和加班时间生产B型机台数，目标规划数学模型为：
minG= P1 d1- + P2(2d2- + d3- ) 3x1+5x2 +d1-- d1+ = 30 +d2- - d2+ = 4 x2 x1 + d3- - d3+ = 6 x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0(k=1,2,3)
10
OR:SM OR:SM
建模的步骤
1、根据要研究的问题所提出的各目标与条件，确定目标值，列 出目标约束与绝对约束； 2、可根据决策者的需要，将某些或全部绝对约束转化为目标约 束。这时只需要给绝对约束加上负偏差变量和减去正偏差变量即 可。 3、给各目标赋予相应的优先因子 Pk（k=1.2…K）。 4、对同一优先等级中的各偏差变量，若需要可按其重要程度的
第一节 多目标规划问题
三、多目标规划的解法
• 加权系数法：
为每一目标赋一权数，把多目标转化成单目标。 但权系数难以科学确定。
• •
优先等级法：
各目标按重要性归不同优先级而化为单目标。
有效解法：
寻求能照顾到各目标而使决策者感到满意的解。 但可行域大时难以列出所有有效解的组合。
•
目标规划法：
3x1 5 x2 d1 d1 30 x2 d 2 d 2 4 x d d 6 3 1 3 2 x 16 s.t. 1 2 x2 10 3x 4 x 32 2 1 x1 , x2 0 dl , dl 0(l 1, 2,3)
k k k k
目标约束 引入正负偏差变量，对各个目标建立目标约束(软约束)

7
n
j 1
c kj x
j
d k d k E
*
OR:SM OR:SM
第二节 目标规划的数学模型
上例中要求：
目标一是利润最大，拟定利润目标是30； 目标二是减少乙产品产量但希望不低于4件； 目标三是甲产品产量希望不少于6件 ； 对各目标引入正、负偏差变量： 3x1+5x2 +d1-- d1+ = 30 +d2- - d2+ =4 x2 x1 +d3– -d3+ = 6
这些目标之间 相互矛盾，一 般的线性规划 方法不能求解
• 根据市场需求/合同规定：
希望尽量扩大甲产品 减少乙产品产量。
maxZ1=3x1+5x2
maxZ2=x1 minZ3=x2
2 x1
• 又增加二个目标：
5
≤16 2x2 ≤10 3x1+4x2 ≤32 x1，x2 ≥0
OR:SM OR:SM
15 OR:SM OR:SM
设x1,x2为分别为两种型号产品的产量，则该问题 的目标规划模型为：
min f p1d1 p2 (300d2 450d3 ) p3 (d4 d4 d5 )
300x1 450x2 d1 d1 10000 x d d 1 2 2 10 x d d 2 3 3 15 s.t. x x d d 4 6 1 2 4 4 150 3x 2 x d d 70 5 5 1 2 x , x , d , d 1 2 i i 0 i 1, 2,3, 4,5
Pk ( kl d l kl d l ) l 1
L
n c x d d l l q l ( l 1.2 L ) kj j j 1 n ( i 1.2 m ) s .t . a ij x j ( . ) bi j 1 xj 0 (j 1.2 n) d l . d l 0 ( l 1.2 L )
对每一个目标函数引入正的或负的偏差变量； 引入目标的优先等级和加权系数。
6
OR:SM OR:SM
第二节 目标规划的数学模型
一、目标期望值
每一个目标希望达到的期望值(或目标值、理想值)。 根据历史资料、市场需求或上级部门的布置等来确定。
二、偏差变量
目标的实际值和期望值之间可能存在正的或负的偏差。 正偏差变量 d 表示第k个目标超过期望值的数值； 负偏差变量 d 表示第k个目标未达到期望值的数值。 同一目标的 d 和 d 中至少有一个必须为零。
管理运筹学--管理科学方法
李军
桂林电子科技大学商学院
第5 章 目标规划
内容提要 Sub title
第一节 多目标规划问题 第二节 目标规划数学模型
目标的期望值 正负偏差变量 目标达成函数 目标优先级别
第三节 目标规划的图解法 第四节 目标规划单纯形法 第五节 目标规划应用案例
2 OR:SM OR:SM
17 OR:SM OR:SM
第三节 目标规划的图解法
目标规划的图解法 首先，按照绝对约束画出可行域， 其次，不考虑正负偏差变量，画出目标约束的边界线， 最后。按优先级别和权重依次分析各级目标。当目标函数检 查完或可行域缩为一点时算法停。
min G Pd 1 1 P 2 (2d 2 d 3 )
OR:SM OR:SM
设 x1 , x2 , x3分 别 表示三种 产 品的 产 量， 则该问题 的目 标规 划模型 为 min Z p1d1 p2 d 2 p3 d 3 p4 ( d 4 d 4 d 5 d 5 d 6 d 6 ) 500 x1 650 x2 800 x3 d1 d1 16000 6 8 10 x x x d d 1 2 3 2 2 200 d d d 24 3 3 2 s.t. x1 d 4 d 4 12 x d d 5 5 10 2 x d d 6 6 6 3 x , x , x 0, d , d i i 0(i 1, 2, , 6) 1 2 3
min z P （ 1d1 P 2 d2 d2 ) P 3 (d 3 d 3 ) P 4d4 4 x1 16 (a) 4 x2 12 (b) 2 x1 3 x2 d1 d1 12 (c ) (d ) x1 x2 d 2 d 2 0 2 x 2 x d d 12 (e) 1 2 3 3 x 2 x d d (f) 1 2 4 4 8 x , x d , d (i 1, ,4) 1 2 i i 0
目标规划问题及其数学模型
• 用目标规划求解问题的过程：
明确问题，列 出目标的优先 级和权系数 构造目标 规划模型 求出满意解
N
满意否？
分析各项目标 完成情况
Y
据此制定出决策方案
3
OR:SM OR:SM
第一节 多目标规划问题
一、线性规划的局限性
•
线性规划的局限性
只能解决一组线性约束条件下；某一目标而且只能是一个目标 的最大或最小值的问题；解要求最优等
OR:SM OR:SM
试试看——目标规划模型的实例
例1 某厂生产A、B、C三种产品，装配工作在同一生产线上 完成，三种产品时的工时消耗分别为6、8、10小时，生产线 每月正常工作时间为 200 小时；三种产品销售后，每台可获 利分别为500、650和800元；每月销售量预计为12、10和6台。 该厂经营目标如下： 1、利润指标为每月16000元，争取超额完成； 2、充分利用现有生产能力； 3、可以适当加班，但加班时间不得超过24小时； 4、产量以预计销售量为准。 试建立目标规划模型。
min f p1d1 p2 (300d2 450d3 ) p3 (d4 d4 d5 ) p4 d6
300 x1 280 x2 450 x3 425 x4 d1 d1 10000 x2 d2 d2 10 x1 x d d x 4 3 3 15 3 6 x3 6 x4 d4 d4 150 s.t. 4 x1 4 x2 3 x 3 x 2 x 2 x d d 2 3 4 5 5 70 1 d5 d6 d6 30 x , x , x , x , d , d 1 2 3 4 i i 0 i 1, 2,3, 4,5,6