本题三个目标依次表示为： 本题三个目标依次表示为： 产品不超过10 10单位 1、B产品不超过10单位 x2 <=10 利润不低于1600 1600元 2、利润不低于1600元 80x1 + 100x2 >=1600 充分利用2车间的生产能力，尽量不加班。 3、充分利用2车间的生产能力，尽量不加班。 x1 + 2x2 = 40
d2 － d2 +
0 －4/3
σ
C CB 0 0 0 0 XB d3 + x1 d2 － x2 b 12 6 0 3 P1 P2 P3
0 x1 0 1 0 0 0 0 0
0 x2 0 0 0 1 0 0 0
0 x3 1 1/10 －3/5 1/20 0 0 0
P1 d1 － 1 1/2 －1 －1/4 1 0 0
－1 －3/5
－3/10 3/10 1 0 0 0 0 0
σ
P2 P3
最优解 X1 = （24/5，12/5） ， ）
C CB 0 0 0 0 XB x3 x1 d2 － d1 + b 20 8 4 8 P1 P2 P3
0 x1 0 1 0 0 0 0
0 x2 10/3 4/3 10/3 0 0 0
0 x3 1 0 0 0 0 0 0
P1 d1 － 0 0 0 －1 1 0 0
0 d1 + 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
P2 0 0 －1 0 0 1 0
P3 d3 － －5/6 1/6 －2/3 1/6 0 0 1
0 d3 + 5/6 －1/6 2/3 －1/6 0 0 0
+ +
P3( d3-
+ d3 ) }
问题分析ห้องสมุดไป่ตู้
综上所述，本题的数学模型为： 综上所述，本题的数学模型为： 目标函数： 目标函数：min Z={P1d1 , P2d2 , P3( d3 +
+ + d3 )
}
2x1 + 1.5x2 约束 条件 d 1-
≤ 50
+ x2 + - d1 = 10 + = 1600 80x1 + 100x2 + d2 - d2 + x1 + 2x2 + d3 - d3 = 40 + x1 ，x2 ，di ，di ≥0 ,i=1,2,3
d
+ 2
=1600
充分利用2车间的生产能力，尽量不加班。 3、充分利用2车间的生产能力，尽量不加班。 + x1 + 2x2 + d3 - d3 =40
问题分析
目标的重要程度不同， 4）目标的重要程度不同，因此目标的满足有 先有后，即有优先级别。设最重要的为P1 先有后，即有优先级别。设最重要的为P1 次之者为P2 P2级 级，次之者为P2级——
[ 1 ] －2
σ
P2 P3
－6 －8
最终单纯形表
C CB 0 0 0 0 XB x3 x1 d2 － x2 b 12 24/5 36/5 12/5 P1 0 x1 0 1 0 0 0 0 0 0 x2 0 0 0 1 0 0 0 0 x3 1 0 0 0 0 0 0 P1 d1 － 1 2/5 －2/5 0 d1 + －1 －2/5 2/5 0 P2 P3 d3 － －1 1/10 1/20 0 0 1 0 d3 + 1 －1/10 3/5 －1/20 0 0 0 d2 － d2 + 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
问题分析
3）目标约束的目标一定要明确，给出确切的量值， 目标约束的目标一定要明确，给出确切的量值， 即
目标期望值
如：
B产品不超过
10单位
利润不低于
1600元
充分利用2车间的生产能力， 充分利用2车间的生产能力，尽量不加班
问题分析
目标约束不是刚性的，而是弹性的， 4）目标约束不是刚性的，而是弹性的，允许在一定 范围内有偏差，这更接近于实际。为表达这种 范围内有偏差，这更接近于实际。 灵活性， 灵活性，便引入了
目标规划的概念及数学模型
数学模型为： 数学模型为：
目标函数 min Z = {Pl (∑k(Wlk- •dk-+Wlk+ • dk )， 目标约束 l=1,2,…,L} 约束 条件
+)
∑jckjxj+ dk- - dk+ =bk,
k=1,2,…,K
∑jaijxj ≤(= ≥) bi, i=1,2,…,m xj ，dk-，dk+ ≥0 ,j=1,…n;k=1,2,…,K
(
)
− − + + min z = ∑ Pl ∑ Wlk d k + Wlk d k l =1 k =1
L K
(
)
§4.3 解目标规划的单纯形法
目标规划的数学模型结构与线性规划的数学模型结构没有 本质的区别，所以可用单纯形法进行求解。 本质的区别，所以可用单纯形法进行求解。但要考虑目标 规划数学模型的一些特点： 规划数学模型的一些特点： (1) 因目标规划问题的目标函数都是求最小化，所以检验 因目标规划问题的目标函数都是求最小化， 数的最优准则与我们前面讲到的线性规划检验准则是相反 即以所有的σ 为最优准则 为最优准则； 的，即以所有的 j≥0为最优准则； (2) 因为非基变量的检验数中含有不同等级的优先因子，且 因为非基变量的检验数中含有不同等级的优先因子， Pi >>Pi+1，i = 1,2,…,L-1. 所以在判断各检验数大小时得小心； 所以在判断各检验数大小时得小心；
除了前面提到的刚性约束外， 2）除了前面提到的刚性约束外，例2中还提出一 些的希望达到的目标。 些的希望达到的目标。这些要求实际上也是约 束条件，当然这些目标能到达最好， 束条件，当然这些目标能到达最好，实在无法 达到也是可以接受的， 达到也是可以接受的，我们称之为
目标约束
产品不超过10 10单位 如：1、B产品不超过10单位 利润不低于1600 1600元 2、利润不低于1600元 充分利用2车间的生产能力，尽量不加班。 3、充分利用2车间的生产能力，尽量不加班。
≤ ≤
50 40
例2
由于各种原因，对例1的提出一些要求： 由于各种原因，对例1的提出一些要求： 产品不超过10 10单位 1、B产品不超过10单位 2、利润不低于1600元 利润不低于1600 1600元 充分利用2车间的生产能力，尽量不加班。 3、充分利用2车间的生产能力，尽量不加班。
目标的含义
运筹学基础
第四章 目标规划
教 材 运筹学教程》（ 》（第 《运筹学教程》（第三版） 胡运权 主编 清华大学出版社
例1
资源
产品 1车间 2车间 单位利润
A 2 1 80
B 1.5 2 100
限量 50 40
求利润最大的生产方案 利润 约束 条件 max z= 80 x1 + 100x2 2x1 + 1.5x2 x1 + 2x2 x 1， x 2 ≥ 0
优先因子
P看成实数
P1>>P2
问题分析
有时同级别的目标中， 5） 有时同级别的目标中，其重要程度又 有 系数W 差别， 差别，则设置不同的权重（系数W） 。 6) x1 +
2x2 2 x2 +
≤
40 -
系统约束) (系统约束)
+ 3
x1 +
d3
-
d
目标约束) =40 (目标约束)
当对某个资源约束既是系统约束， 当对某个资源约束既是系统约束，又是 目标约束时， 目标约束时，则不再表示为系统约束
问题分析
7）目标规划的目标 ）
产品不超过10 10单位 1、B产品不超过10单位
d 越小越好
-
+ 1
利润不低于1600 1600元 2、利润不低于1600元 d2 越小越好 充分利用2车间的生产能力， 3、充分利用2车间的生产能力，尽量不加班 + d3 和 d3 越小越好
0最佳 0最好
问题分析
7）目标规划的目标函数： ）目标规划的目标函数： 目标规划有多个目标， 目标规划有多个目标，我们已经把它转化 为目标约束， 为目标约束，整个问题的目标就是使得实施结 果与目标期望值的偏差最小 于是本题目标函数表示为： 于是本题目标函数表示为： minZ={P1d1 , P2d2 ,
解目标规划的单纯形法计算步骤
(1) 建立初始单纯形表，在表中将检验数行按优先因 建立初始单纯形表， 子个数分别列成L行 子个数分别列成 行，置k=1。 。 (2) 检查该行中是否存在负数，且对应的前k-1行的系 检查该行中是否存在负数，且对应的前 行的系 数是0。若有，则取其中最小者对应的变量为换入变量， 数是 。若有，则取其中最小者对应的变量为换入变量， 转(3)；否则，转(5)。 ；否则， 。 (3) 按最小比值规则确定换出变量，当存在两个或两 按最小比值规则确定换出变量， 个以上相同的最小比值时， 个以上相同的最小比值时，选取具有较高优先级别的变量 为换出变量。 为换出变量。 (4) 按单纯形法进行基变换运算，建立新的单纯形表。 按单纯形法进行基变换运算，建立新的单纯形表。 (5) 当k=L时，计算结束，表中解即为满意解。否则 时 计算结束，表中解即为满意解。 置k=k+1，返回 。 ，返回(2)
该目标规划和下面线性规划问题等价 Min s.t. z = P1d1- + P2 d2+ + P3 d35x1 + 10x2 + x3 = 60 x1 - 2x2 + d1- - d1+ = 0 4x1 + 4x2 + d2- -d2+ = 36 6x1 + 8x2 + d3- -d3+ = 48 x1 , x2 , x3 , di- ,di+ ≥ 0 , i = 1,2,3.