0
d i d i ＝f i ( X )-f i ，
0

－
d i d i 0，
－
i 1 ，„„，p
于是目标规划模型(1－1)也可以表示为 min ( d i d i )
－ i 1 p
X R － 0 fi ( X ) di di fi s.t － di di 0 d 0，d － 0 i 1 ，„„，p i i
一个以上的目标去判断方案的好坏，而这些目标之间又往
往不是那么协调，甚至是相互矛盾的。本章将以实例归结 出几类常见的描述多目标最优化问题的数学模型。
一. 一般多目标规划模型
例1：【喜糖问题】设市场上有甲级糖及乙级糖，单价分别 为4元/斤及2元/斤。今要筹办一桩喜事。“筹备小组”计 划总花费不超过40元，糖的总斤数不少于10斤，甲级糖不 少于5斤。问如何确定最佳的采购方案。
大麦－早 稻－玉米 油菜－玉 米－蔬菜
1008
336
——
130
111.46
208.27
48
40
350
390
设该农户全年至多可以出工3410小时，至少
需要油料156公斤。今该农户希望优先考虑总利
润最大和粮食总产量最高，然后考虑使投入氮素
最少。问如何确定种植方案。
首先设立决策变量如下 方案1的种植亩数：x1， 方案2的种植亩数：x2， 方案3的种植亩数：x3，
(3)
+ 可以证明，若(X，d ，d )是(1－3)的最优解，其
+ + + 中d ＝(d1，„„，d p )，d ＝(d1，„„，d p )，则X是
(2)的最优解。因而可将(3)作为目标规划模型的 一般形式。在此一般形式基础上，还可以建立加权的 或分层的目标规划模型。
g1 ( x1，„„，xn ) 0 约束条件： „„„„„„ g ( x ，„„，x ) 0 n m 1
若记X= (x1，……，xn)，V-min表示对向量F(X)=[f1(X)， ……，fp(X)]T中的各目标函数f1(X)，……，fp(X)同等的进行 极小化。R={X|gi(X)≥0，i=1，……，m}表示约束集。
根据农户的要求确定问题的三个目标函数为：
年总利润： f1(x1，x2，x3)=120.27x1+111.46x2+208.27x3
粮食总产量：
f2(x1，x2，x3)=1056x1+1008x2+336x3 投入氮素量：
f3(x1，x2，x3)=50x1+48x2+40x3
根据农户的全年出工能力，对油料需求量，所承包农 田数以及种植亩数应为非负等限制，应有约束条件： 总用工量：320x1+350x2+390x3≤3410 油料需求： 130x3≥156 农田数： x1+x2+x3＝10 种植亩数非负：x1≥0， x2≥0， x3≥0。
例4：某水稻区一农民承包10亩农田从事农业种植。 已知有三类复种方式可供选择，其相应的经济效
益如表
方 复种方式 粮食产量 油料产量 利润 投入氮素 用工量 案 (公斤/亩) (公斤/亩) (元/亩) (公斤/亩) (小时/亩) 大麦－早 1 稻－晚梗 1056 —— 120.27 50 320
2
3
n
i=1， 2，„„，n
i=1， 2，„„，n
所谓“最佳的经济效益”，如果理解为“少花 钱多办事”，则变为两个目标的问题，即投资
最少，收益最大：
f1 ( x1，„„，xn ) bi xi max
i 1 n
f 2 ( x1，„„，xn ) ai xi min
i 1
n
这是具有两个目标的0－1规划问题。
根据农户对目标重要性的排序，将前两个目标作为 第一优先层，将第三个目标作为第二优先层，再把其中 的求最大化转化为求其负数的最小，便得到下列具有两 个优先层次的分层多目标极小化模型：
L min[ P ( 120.27 x1 111.46 x2 208.27 x3， 1 1056 x1 1008 x2 336 x3 )， P2 (50 x1 48 x2 40 x3 )] 320 x1 350 x2 390 x3 3410 130 x3 156 s.t x1 x2 x3 10 x 0，x 0，x 0 2 3 1
二. 分层多目标规划模型
本节介绍一类不同于(VMP)形式的多目标最
优化模型。这类模型的特点是：在约束条件下，
各个目标函数不是同等的被优化，而是按不同的
优先层次先后的进行优化。
例如，在例1中，若筹备小组希望把所考虑的 三个目标按重要性分成以下两个优先层。 第1优先层——总的花费最小。 第2优先层——糖的总数量最大。
2 本最低还应要求 ( x12 x2 ) / 4 尽可能的小，或即：
( x1 x2 ) min
2 2
根据问题的要求，应满足下述约束条件：
x1 H x x W 1 2 x1 x2 0 4 x x 0 1 2 x1 0, x2 0
(2)
(2)虽然去掉了绝对值运算，但却含有偏差变量相 乘的约束条件，这仍然使求解很不方便。考察去掉偏 差变量相乘的约束条件，得到模型：
min ( d i d i )
－ i 1
p
X R － 0 s.t f i ( X ) d i d i f i － d i 0，d i 0 i 1 ，„„，p
f1(x1,x2)=4x1+2x2 →min
如果要求糖的总数量最大，即要求：
f 2 ( x1 , x2 ) x1 x2 max
如果要求甲级糖的数量最大，即要求：
f3 ( x1 , x2 ) x1 max
易见，这是具有3个目标的规划问题（由于约束及目标均
为线性函数，故它为多目标线性规划问题）。
高为x1 ，宽为x2（图1）。
为为最小，即要求x1x2→min
由于矩形横截面的木梁是由横截面为圆形的树
干加工而成的，故其成本与树干横截面面积的大小
2 2 2 r ( x1 / 2) ( x2 / 2) 成正比。由此，为使木梁的成
例3：【木梁设计问题】把横截面为圆形的树干加工
成矩形横截面的木梁。为使木梁满足一定的规格
和应力及强度条件，要求木梁的高度不超过H，
横截面的惯性矩不少于给定值W，且横截面的高 度要介于其宽度和4倍宽度之间。
问应如何确定木梁尺寸，可使木
梁的重量最轻，并且成本最低。 x1
r x2 图1
设所设计的木梁横截面的
则模型一般式也可简记为
V min[ f1 ( X )，„„，f p ( X )] (VMP ) i=1，„„，m gi ( X ) 0 或 V min F ( X ) (VMP ) X R
这里(VMP)为向量数学规划(Vector Mathematical Programming)的简写。
多目标决策主要指多目标最优化，即多目标规划。对于 某些问题，可以先用多目标规划选出几个备选方案，然后再 用多准则决策方法作进一步处理，因此，这两者既有区别又 有联系。 多目标最优化的思想萌芽于1776年经济学中的效用理论。 1896年，法国经济学家V· Pareto首先在经济理论的研究中提 出了多目标最优化问题。1951年，美国数理经济学家 T· Koopans从生产和分配的活动分析中考虑了多目标决策 C· 问题，并首次提出了多目标最优化问题解的概念，将其命名 为“Pareto解”(即有效解)。同年，H· Kuhn和 W· A· Tucker从数学规划论角度首次提出向量极值问题及有关 W· 概念。进入20世纪70年代，随着第一次国际多目标决策研讨 会的召开及这方面专著的问世，多目标决策问题的研究工作 迅速、蓬勃地开展起来，到目前为止，已取得若干有价值的 研究成果。
我们先确定此问题应满足的条件（即约束条件）。不 难看出，当甲级糖数量为x1，乙级糖数量为x2时，有：
4 x1 2 x2 40 x1 x2 10 x1 5 x 0, x 0 1 2
在研究以什么为“最佳”的衡量标准时，“筹备小组”的 成员们意见可能会发生分歧，其原因是他们会提出各种各 样的目标来。 如果要求总花费最小，即要求：
则为使各目标函数尽量接近其目标值，可建立以追求总 绝对偏差极小化为目标的目标规划模型： min f i ( X ) f i
XR i 1 p 0
(1)
若记f i ( X )关于f i 的正偏差为 di

0
f i ( X )-f i ， 0
0 0
fi ( X ) fi ，
例2：【投资决策问题】某投资开发公司拥有总资金
A万元，今有n(≥2)个项目可供选择。设投资第i(i=1，
2，……，n)个项目要用资金ai万元，预计可得到收
益bi万元。问应如何使用总资金A万元，才能得到
最佳的经济效益？
1 决定投资第i个项目 设xi 0 决定不投资第i个项目 问题的约束条件为 a i x i A i=1 x (x 1) 0 i xi=0或1 i
第四章 多目标规划
第一节 多目标规划模型
线性规划及非线性规划研究的都是在给定的约束集合 R={X|gi(X) ≥0，i=1，2，……，m)} X∈En
上，求单目标f(x)的最大或最小的问题，即方案的好坏是以 一个目标去衡量。然而，在很多实际问题中，衡量一个方 案的好坏往往难以用一个指标来判断 。也就是说，需要用
这是具有两个目标的非线性规划问题。
由以上实例可见，多目标最优化模型与单目标 最优化模型的区别主要是目标多于一个。在这些目 标中，有的是追求极大化，有的是追求极小化，而 极大化与极小化是可以相互转化的。因此，我们不 难将多目标最优化模型统一成一般形式： 决策变量：x1，……，xn 目标函数：minf1(x1，……，xn) ……………… minfp(x1，……，xn)