考前题 1．（18分）如图所示，O 点为固定转轴，把一个长度为l 的细绳上端固定在O 点，细绳下端系一个质量为m 的小摆球，当小摆球处于静止状态时恰好与平台的右端点B 点接触，但无压力。
一个质量为M 的小钢球沿着光滑的平台自左向右运动到B 点时与静止的小摆球m 发生正碰，碰撞后摆球在绳的约束下作圆周运动，且恰好能够经过最高点A ，而小钢球M 做平抛运动落在水平地面上的C 点。
测得B 、C 两点间的水平距离DC=x ，平台的高度为h ，不计空气阻力，本地的重力加速度为g ，请计算： （1）碰撞后小钢球M 做平抛运动的初速度大小； （2）小把球m 经过最高点A 时的动能；（3）碰撞前小钢球M 在平台上向右运动的速度大小。
1．解析（1）设M 做平抛运动的初速度是v ，221,gt h vt x ==h g xv 2=（2）摆球m 经最高点A 时只受重力作用，l v mmg A2=摆球经最高点A 时的动能为A E ；mgl mv E A A 21212==（3）碰后小摆球m 作圆周运动时机械能守恒， mgl mv mv A B 2212122+=gl v B 5=设碰前M 的运动速度是v ，M 与m 碰撞时系统的动量守恒Bmv Mv Mv +=0glMmh g xv 52+=2．如图，光滑轨道固定在竖直平面内，水平段紧贴地面，弯曲段的顶部切线水平、离地高为h ；滑块A 静止在水平轨道上， v 0=40m/s 的子弹水平射入滑块A 后一起沿轨道向右运动，并从轨道顶部水平抛出．已知滑块A 的质量是子弹的3倍，取g=10m/s 2，不计空气阻力．求：（1）子弹射入滑块后一起运动的速度； （2）水平距离x 与h 关系的表达式；（3）当h 多高时，x 最大，并求出这个最大值．2．解：（1）设子弹的质量为m ，则滑块的质量为3m ，子弹射入滑块后一起运动速度为v 1，由动量守恒： 10)3(v m m mv += …① 得：s m v v /104101==……②(2)设子弹与滑块到达轨道顶部时的速度为v 2，由机械能守恒定律：gh m m v m m v m m )3()3(21)3(212221+++=+ ……③设子弹与滑块离开轨道顶部到落到地面的时间为t ，由平抛运动规律： t v x 2= ……④ 221gt h =……⑤ 联立③④⑤得： 2420h h x -=……⑥（3）因为：22)52(25420--=-=h h h x所以：m h 5.2=时，B 的水平距离最大 …⑦ m x 5max = …⑧3.在赛车场上，为了安全起见，在车道外围一定距离处一般都放有废旧的轮胎组成的围栏。
在一次比较测试中，将废旧轮胎改为由轻弹簧连接的缓冲器，缓冲器与墙之间用轻绳束缚。
如图所示，赛车从 C 处由静止开始运动，牵引力恒为F ，到达O 点与缓冲器相撞（设相撞时间极短），而后他们一起运动到 D 点速度变为零，此时发动机恰好熄灭（即牵引力变为零）。
已知赛车与缓冲器的质量均为 m ，OD 相距为S ，CO 相距 4S ，赛车运动时所受地面摩擦力大小始终为6F，缓冲器的底面光滑，可无摩擦滑动，在 O 点时弹簧无形变。
问： （1）轻弹簧的最大弹性势能为多少？ （2）赛车由C 点开始运动到被缓冲器弹回后停止运动，赛车克服摩擦力共做了多少功？3.解析（1）赛车由C 到O ，有20214)6(mv s F F =-车与缓冲器短时相撞过程根据动量守恒：102mv mv = O 到D 过程 p E v m s F Fs =+-21)2(216 联立上面三个方程解得：Fs E p 5.2=hxAv 0（2）D 到O 过程，有 22)2(216v m s F E p =-赛车从 O 点到停止运动 2222106mv s F -=-车整个过程克服摩擦力做功 )24(62s s s FW ++=联立上面三个方程解得： Fs W 613=4. 探究某种笔的弹跳问题时，把笔分为轻质弹簧、内芯和外壳三部分，其中内芯和外壳质量分别为m 和4m.笔的弹跳过程分为三个阶段：①把笔竖直倒立于水平硬桌面，下压外壳使其下端接触桌面 ②由静止释放，外壳竖直上升至下端距桌面高度为h 1时，与静止的内芯碰撞（见题24图b ）； ③碰后，内芯与外壳以共同的速度一起上升到外壳下端距桌面最大高度为h 2处（见题24图c ）。
设内芯与外壳的撞击力远大于笔所受重力、不计摩擦与空气阻力，重力加速度为g 。
求： （1）外壳与内芯碰撞后瞬间的共同速度大小；09重庆 （2）从外壳离开桌面到碰撞前瞬间，弹簧做的功；（3）从外壳下端离开桌面到上升至h 2处，笔损失的机械能。
4.解析：设外壳上升高度h 1时速度为V 1，外壳与内芯碰撞后瞬间的共同速度大小为V 2，(1)对外壳和内芯，从撞后达到共同速度到上升至h 2处，应用动能定理有(4mg ＋m)( h 2－h 1)＝12(4m ＋m)V 22，解得V 2＝212()g h h -； （2）外壳和内芯，碰撞过程瞬间动量守恒，有4mV 1＝(4mg ＋m)V 2， 解得V 1＝2152()4g h h -， 设从外壳离开桌面到碰撞前瞬间弹簧做功为W ，在此过程中，对外壳应用动能定理有W －4mgh 1＝12(4m)V 12， 解得W ＝212594h h -mg ；（3）由于外壳和内芯达到共同速度后上升高度h 2的过程，机械能守恒，只是在外壳和内芯碰撞过程有能量损失，损失的能量为E 损＝12(4m)V 12－12(4m ＋m)V 22， 联立解得E 损＝54mg(h 2－h 1)。
5.如图6-43示，半径分别为R 和r 的甲乙两个光滑圆形轨道安置在同一竖直平面上，轨道之间有一条水平轨道CD 相通，一小球以一定的速度先滑上甲轨道，通过动摩擦因数为μ的CD 段，又滑上乙轨道，最后离开两圆轨道，若小球在两圆轨道的最高点对轨道压力都恰好为零，则水平CD 段的长度是多少？436-图5.解析：小球在光滑圆形轨道上滑行，机械能守恒，设小球滑过C 点时的速度为v C ，通过甲环最大高点为V ’，由小球对最高点压力为零可知有：gR V ' '2==R V mmg取轨道最低点为重力势能零势能面，由机械能守恒定律有：2221221mV R mg mV C +=，这样有：Rg v C 5=。
同理有小球过D 点时的速度为V D ，则：gr V D 5=，再设CD 长度为L ，对小球滑过CD 段，由动能定理有：222121CD mV mV mgl -=-μ，最终可得出：μ2)(5r R l -=的结论。
6、光滑的长轨道形状如图所示，底部为半圆型，半径R ，固定在竖直平面内。
AB 两质量相同的小环用长为R 的轻杆连接在一起，套在轨道上。
将AB 两环从图示位置静止释放，A 环离开底部2R 。
不考虑轻杆和轨道的接触，即忽略系统机械能的损失，求： 1）AB 两环都未进入半圆型底部前，杆上的作用力 2）A 环到达最低点时，两球速度大小3）若将杆换成长R 22，A 环仍从离开底部2R 处静止释放，经过半圆型底部再次上升后离开底部的最大高度6.解：(1)对整体分析，自由落体，加速度g以A 为研究对象，A 作自由落体则杆对A 一定没有作用力。
即F=0（或列式或以B 研究）(2)AB 都进入圆轨道后，两环具有相同角速度，则两环速度大小一定相等 即有V A =V B …（或通过速度分解得到两环速度大小相同） 整体动能定理（或机械能守恒）：2221252mv R mg R mg =+……gR v 29=……3）A 再次上升后，位置比原来高h ，如图所示。
由动能定理（或机械能守恒）：0)222(=--+-h R R mg mgh ……R h )12(-=，A 离开底部R )12(+……注：由于杆超过了半圆直径，所以两环运动如图。
7．如右下图所示，质量为3kg 的长木板B 放在光滑的水平面上，右端与半径R=1m 的粗糙的41圆弧相切，左端上方放质量为1kg 物块C ，物块C 与长木板B 的动摩擦因数为0.2。
现使质量为1kg 的物体A 从距圆弧上端h=5m 处静止释放，到达水平轨道与B 碰撞后一起运动，再经1s 物块C 刚好运动到B 的右端且不会掉下。
取g=10m/s 。
求： （1）物体A 刚进入圆弧时对轨道的压力； （2）长木板B 的长度；（3）物体A 经过圆弧时克服阻力做的功。
7．解析：（1）物体A 从释放到进入圆弧前做自由落体运动gh V Al 22= ①刚进入圆弧时RV m F AlA N 2= ②联立①、②式解得N N R R gh m F A N 100151012510122=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯==③ （2）物块C 从开始运动到长木板具有相同速度过程中222/2/102.0s m s m g m gm a ee =⨯===μμ ④物块C 运动距离m m t a S e 1122121220=⨯⨯==⑤物块C 在B 的右端时两者具有相同的速度s m s m t a V V e e B /2/122=⨯=== ⑥22/5.0/311012.0)(s m s m m m gm a B A e B =+⨯⨯=+=μ ⑦由速度公式得木板刚开始运动时速度s m s m t a V V B B B /5.2)/(15.0221=⨯+=+= ⑧木板B 运动距离m m t V V S B B B 25.2125.22221=⨯+=+=⑨… 木反长度B 的长度m m S S L e B 25.1)(125.2=-=-= ⑩（3）物块A 与木板B 碰撞过程中动量守恒12)(B B A A A V m m V m += （11）s m s m V A /10/15.2)31(2=⨯+=（12）物块A 从静止释放到与木板A 碰撞前，由动能定理2221)(A A f A V m W R h g m =-+ （13）物体A 经过圆弧时克服阻力做的功J J W f 10)(10121)15(1012=⨯⨯-+⨯⨯= （14）8、如图12所示，质量为m 的木块A 放在光滑的水平面上，木块的长度为 l 。
另一个质量为M=3m 的小球B 以速度0v 在水平面上向左运动并与A 在距竖直墙壁为s 处发生碰撞，已知碰后木块A 的速度大小为0v ，木块A 与墙壁的碰撞过程中无机械能损失，且碰撞时间极短，小球的半径可忽略不计。
求：（1）木块和小球发生碰撞过程中机械能的损失； （2）木块和小球发生第二次碰撞时，小球到墙壁的距离。
8解析、（1）小球与木块第一次碰撞过程动量守恒，设碰撞后小球的速度大小为v ，取水平向左为正方向，因此有：mv mv mv 3300+=（2分）解得：3/20v v =（1分） 碰撞过程中机械能的损失量为：20202203121321321mv mv mv mv E =⨯-⨯-⨯=（2）设第二次碰撞时小球到墙的距离为x ，则在两次碰撞之间小球运动路程为s-x ，木块运动的路程为s+x-2l 由于小球和木块在两次碰撞之间运动的时间相同，所以应有023/2v lx s v x s -+=-解得54ls x +=9．如图所示，质量为M的长滑块静止在光滑水平面上，左侧固定一劲度系数k足够大的水平轻质弹簧，右侧用一不可伸长的细轻绳连接于竖直墙上，细绳所能承受的最大拉力为T。