《向心力的计算》一、计算题1.如图所示，长为L的细绳一端与一质量为m的小球可看成质点相连，可绕过O点的水平转轴在竖直面内无摩擦地转动．在最低点a处给一个初速度，使小球恰好能通过最高点完成完整的圆周运动，求：小球过b点时的速度大小；初速度的大小；最低点处绳中的拉力大小．2.如图所示，一条带有圆轨道的长轨道水平固定，圆轨道竖直，底端分别与两侧的直轨道相切，半径，物块A以的速度滑入圆轨道，滑过最高点Q，再沿圆轨道滑出后，与直轨上P处静止的物块B碰撞，碰后粘在一起运动。
P点左侧轨道光滑，右侧轨道呈粗糙段，光滑段交替排列，每段长度都为。
物块与各粗糙段间的动摩擦因数都为，A、B的质量均为重力加速度g 取；A、B视为质点，碰撞时间极短。
求A滑过Q点时的速度大小V和受到的弹力大小F；若碰后AB最终停止在第k个粗糙段上，求k的数值；求碰后AB滑至第n个光滑段上的速度与n的关系式。
3.如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过秒后又恰好垂直与倾角为的斜面相碰到。
已知圆轨道半径为，小球的质量为，g取求小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离小球经过圆弧轨道的B点时，受到轨道的作用力的大小和方向？小球经过圆弧轨道的A点时的速率。
4.如图所示，倾角为的粗糙平直导轨与半径为R的光滑圆环轨道相切，切点为B，整个轨道处在竖直平面内。
一质量为m的小滑块从轨道上离地面高为的D处无初速下滑进入圆环轨道，接着小滑块从圆环最高点C水平飞出，恰好击中导轨上与圆心O等高的P点，不计空气阻力。
求：小滑块在C点飞出的速率；在圆环最低点时滑块对圆环轨道压力的大小；滑块与斜轨之间的动摩擦因数。
5.如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动。
现测得转台半径，离水平地面的高度，物块平抛落地过程水平位移的大小。
设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度。
求：物块做平抛运动的初速度大小；物块与转台间的动摩擦因数。
6.如图所示，水平地面与一半径为l的竖直光滑圆弧轨道相接于B点，轨道上的C点位置处于圆心O的正下方。
距地面高度为l的水平平台边缘上的A点，质量为m的小球以的速度水平飞出，小球在空中运动至B点时，恰好沿圆弧轨道在该点的切线方向滑入轨道。
小球运动过程中空气阻力不计，重力加速度为g，试求：点与抛出点A正下方的水平距离x；圆弧BC段所对的圆心角；小球滑到C点时，对轨道的压力。
7.如图所示装置可绕竖直轴转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，当细线AB沿水平方向绷直时，细线AC与竖直方向的夹角。
已知小球的质量，细线AC长，重力加速度取，若装置匀速转动时，细线AB刚好被拉直成水平状态，求此时的角速度．若装置匀速转动的角速度，求细线AB和AC上的张力大小、．8.如图所示的结构装置可绕竖直轴转动，假若细绳长，水平杆长，小球的质量求：使绳子与竖直方向夹角角，该装置以多大角速度转动才行？此时绳子的拉力为多大？9.汽车行驶在半径为50m的圆形水平跑道上，速度为已知汽车的质量为1000kg，汽车与地面的最大静摩擦力为车重的倍．问：汽车的角速度是多少．汽车受到向心力是多大？汽车绕跑道一圈需要的时间是多少？要使汽车不打滑，则其速度最大不能超过多少？10.由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同：若地球表面两极处的重力加速度大小为，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G，地球可视为质量均匀分布的球体．求：地球半径R；地球的平均密度；若地球自转速度加快，当赤道上的物体恰好能“飘”起来时，求地球自转周期．11.如图甲所示，一半径、圆心角等于的竖直圆弧形光滑轨道，与斜面相切于B处，圆弧轨道的最高点为M，斜面倾角，时刻有一物块沿斜面上滑，其在斜面上运动的速度变化规律如图乙所示，若物块恰能到达M点，取，，，求：物块经过M点的速度大小；物块与斜面间的动摩擦因数。
12.如图所示，QB段是半径为的光滑圆弧轨道，AQ段是长度为的粗糙水平轨道，两轨道相切于Q点，Q在圆心O的正下方，整个轨道位于同一竖直平面内．物块P的质量可视为质点，P与AQ间的动摩擦因数，若物块P以速度从A点滑上水平轨道，到C点又返回A点时恰好静止．取求：的大小；物块P第一次刚通过Q点时对圆弧轨道的压力．13.如图所示，一质量为的探险者在丛林探险，为了从一绝壁到达水平地面，探险者将一根长为粗绳缠绕在粗壮树干上，拉住绳子的另一端，从绝壁边缘的A点由静止开始荡向低处，到达最低点B时脚恰好触到地面，此时探险者的重心离地面的高度为已知探险者在A点时重心离地面的高度为以地面为零势能面，不计空气阻力．探险者可视为位于其重心处的一个质点，求：探险者在A点时的重力势能；探险者运动到B点时的速度大小；探险者运动到B点时，绳对他的拉力大小．14.如图所示，AB为水平轨道，竖直平面内的半圆轨道BCD的下端与水平轨道相切与B点。
质量滑块可视为质点，从A点以速度沿水平轨道向右运动，恰好能通过半圆轨道的上端D点，已知AB长，滑块与水平轨道间的动摩擦因数，半圆轨道的半径，，求：滑块刚刚滑上半圆轨道时，对半圆轨道下端B点的压力大小；滑块从B点运动到D点的过程中克服摩擦力所做的功。
15.如图所示，有一个可视为质点的质量为的小物块，从光滑平台上的A点以的初速度水平抛出，到达C点时，恰好沿C点的切线方向进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道，最后小物块滑上紧靠轨道末端D点的质量为的长木板，已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑，小物块与长木板间的动摩擦因数，圆弧轨道的半径为，C点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角，不计空气阻力，g取求：小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力；若长木板长度，小物块能否滑出长木板？16.如图所示的装置可绕竖直轴转动，可视为质点的小球A与细线AC、AB连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角已知小球的质量，细线AC长，细线AB长，重力加速度，，。
若装置匀速转动的角速度为时，细线AB上的张力为零而细线AC竖直方向的夹角仍为，求角速度的大小；若装置匀速转动的角速度，求细线AC与竖直方向的夹角。
17.质量的小球在长为的细绳作用下在竖直平面内做圆周运动，细绳能承受的最大拉力，转轴离地高度，不计阻力，。
若小球通过最高点时的速度，求此时绳中的拉力大小；若小球在某次运动到最低点时细绳恰好被拉断，求此时小球的速度大小；改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？18.如图所示，一可视为质点的物体质量为，在左侧平台上水平抛出，恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点进入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑，A、B为圆弧两端点，其连线水平，O为轨道的最低点。
已知圆弧半径为，对应圆心角为，平台与AB连线的高度差为。
重力加速度，，求：物体平抛的初速度；物体运动到圆弧轨道最低点O时对轨道的压力。
19.如图所示，半径为R的圆管BCD竖直放置，一可视为质点的质量为m的小球以某一初速度从A点水平抛出，恰好从B点沿切线方向进入圆管，到达圆管最高点D后水平射出。
已知小球在D点对管下壁压力大小为，且A、D两点在同一水平线上，BC小球在A点初速度的大小；小球在D点角速度的大小；小球在圆管内运动过程中克服阻力做的功。
20.如图所示，有一可绕竖直中心轴转动的水平圆盘，上面放置劲度系数的弹簧，弹簧的一端固定于轴O上，另一端连接质量的小物块A，物块与盘间的动摩擦因数，开始时弹簧未发生形变，长度，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取则当圆盘的转动周期时，物块在初始位置与圆盘一起转动，求物块受到的向心力大小F；圆盘的角速度多大时，物块A将开始滑动？当角速度缓慢地增加到时，弹簧的伸长量是多少？弹簧始终在弹性限度内且物块未脱离圆盘答案和解析1.【答案】解：小球在最高点：从a点到最高点b的过程中，由机械能转化和守恒定律得：最低点处绳中的拉力大小为F答：小球过b点时的速度大小为．初速度的大小为．最低点处绳中的拉力大小为6mg．【解析】小球恰好能通过最高点完成完整的圆周运动，知在最高点靠重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球过b点时的速度．根据机械能守恒定律求出小球初速度的大小．在最低点，靠重力和拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出最低点处绳中的拉力大小．本题考查牛顿第二定律和机械能守恒定律的综合运用，知道圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解．2.【答案】解：由机械能守恒定律可得：；解得：；由可得：；碰撞前A的速度为，由机械能守恒定律可得：得；AB碰撞后以共同速度前进，设向右为正方向，由动量守恒定律可得：解得：；故总动能；滑块每经过一段粗糙段损失的机械能；；整体滑到第n个光滑段上损失的能量；损从AB碰撞后运动到第n个光滑段的过程中，由能量守恒定律可得：，代入解得：；答：滑过Q点时的速度大小V为；受到的弹力大小F为22N；的数值为45；碰后AB滑至第n个光滑段上的速度与n的关系式为；【解析】由机械能守恒定律可求得A滑过Q点的速度，由向心力公式可求得弹力大小；由机械能守恒定律可求得AB碰撞前A的速度，再对碰撞过程由动量守恒定律可求得碰后的速度；则可求得总动能，再由摩擦力做功求出每段上消耗的机械能；即可求得比值；设总共经历了n段，根据每一段上消耗的能量，由能量守恒可求得表达式。
本题考查动量守恒定律、机械能守恒定律及向心力等内容，要求我们能正确分析物理过程，做好受力分析及能量分析；要注意能量的转化与守恒的灵活应用。
3.【答案】解：根据平抛运动的规律和运动合成的可知：则小球在C点竖直方向的分速度和水平分速度相等，得：，则B点与C点的水平距离为：根据牛顿运动定律，在B点设轨道对球的作用力方向向下，解得：负号表示轨道对球的作用力方向向上小球从A到B的过程中机械能守恒，得：代入数据得：答：小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是；小球经过圆弧轨道的B点时，所受轨道作用力的大小1N，方向竖直向上。
小球经过圆弧轨道的A点时的速率是。
【解析】小球恰好垂直与倾角为的斜面相碰到，说明小球在C点竖直方向的分速度和水平分速度相等，代人公式即可；小球经过圆弧轨道的B点时，做圆周运动，所受轨道作用力与重力一起提供向心力。
小球从A到B的过程中的机械能守恒，由此即可求出A点的速率。
该题考查竖直平面内的圆周运动与平抛运动，小球恰好垂直与倾角为的斜面相碰到是解题的关键，要正确理解它的含义。
4.【答案】解：根据几何关系知，OP间的距离为：小滑块从C点飞出来做平抛运动，水平速度为根据得：则滑块在最高点C时的速度为：。