3. 建立 GM(1,1) 灰微分方程模型 ???1? ?? + ???1? ?? = ??0 ?? + ???1? ?? = ??，并确定其参数。
x(0) (2)
z(1)(2) 1
x(0) (3)
Y
B
令
，
x(0) (n)
z(1)(3) z(1)(n)
1
，则 Y=B
1
a 。
b
用 MATLAB最小二乘法求解参数 ?,? P=(BT B)-1BT Y=(a,b)T 。
ζ= ? ? ? = ζ1 ?? ? ζ??( ??)
计算关联度
分别计算每个评价对象各指标关联系数的均值， 以反映各评价对象与参考序
列的关联关系， 并称其为关联度， 记为： r0i
1m mk 1
i (k ) 。经过计算得到关联度：
R r01 r02 r03 ...
[ 注] 如果各指标在综合评价中所起的作用不同， 可对关联系数求加权平均值
q(k)
x(0) (k) x?(0) (k)
(k) (0)
100%
(0)
x (k)
x (k)
(avg)
1
n
| (k) |
n 1k 2
p (1 (avg)) 100%
100%
当ε(k) =****<10%， p=****>90%时，模型精度较高，可进行预报和预测。
x0 (1) x1(2)
xn (1)
( X0 , X1, , X n)
x0 (2) x1 (2)
xn (2)
x0 (n) x1 (n)
xn (n)
确定参考数据列
为了比较 ... 【评价目的】，我们选取 ... 作为参考数据列，记作
X
' 0
(x0' (1), x0' (2),
, x0' ( n)) T
性。
x (1) (k ) 即
k
x(0) (m), k
m1
1,2...n ，那么有 x(0) (k )=x(1) (k 1)-x(1) (k) 。
对 x(0) (k) 序列做紧邻均值生成 z(1) (k) 序列 即 z(1) ( k) 0.5 x(1) ( k) 0.5 x(1) ( k 1), k 2,3... n 。 2. 建立 GM(1,1) Verhulst 模型 ??0 + ???1? = ??( ??1 ) 2 ，并确定其参数。
【 j 代表的指标】。
[ 注] 常用的无量纲化方法有均值化法 ( 见公式 (1.1)) 、初值化法 ( 见公式
(1.2)) 和标准化变换 ( 见公式 (1.3)) 等．或采用内插法使各指标数据取值范围 （或
数量级）相同．
xi( k)
'
xi(k )
1m '
(1.1)
x m k 1 i (k )
xi( k)
还原值）为 ??(0) = ??0 1 , ??0 2 ,…, ??0 (??) = ( )。
5. 残 差检验 ：
序号 1 2
时间（年 / 月 /... ）
原始值
预测值
残差
相对误差
n
残差 q(k) 、相对误差 ε(k) 、平均相对误差 ε(avg) 与精度 p 的定义如下： q (k) x (0) (k) x?(0) (k)
性。
x (1) (k ) 即
k
x(0) (m), k
m1
1,2...n ，那么有 x(0) (k )=x(1) (k 1)-x(1) (k) 。
对 x(0) (k) 序列做紧邻均值生成 z(1) (k) 序列 即 z(1) ( k) 0.5 x(1) ( k) 0.5 x(1) ( k 1), k 2,3... n 。
i (k)
min min x 0 (k ) xi (k )
i
k
max max x0 (k)
i
k
xi ( )
max max x0 ( k) xi ( k)
i
k
＝0.5 ，分别计算每个比较序列与参考序列对应元素的关联系数， 得关联系数如
下：
ζ1 (1) ? ζ??(1)
建模步骤 设原有数据序列 x(0) (1), x(0) (2)...... x(0) (n)，它们满足 x(0) (k) 0,k 1,2...n 。 [ 注意剔除异常数据；如原始数据不是非负时作平移变换，令 ?+?0 ?? =
??0 ?? + ??] 。
1. 求级比，并作建模可行性分析
根据级比公式
x(0) (k 1)
即 r0 i
1m Wk
mk 1
i ( k)
（ k=1, , m）式中 Wk 为各指标权重。
根据关联度矩阵得出综合评价结果 如果不考虑各指标权重 （认为各指标同等重要） ，* 个被评价对象由好到劣依
次为： 。
如果存在多个参考数据列， 则为优度分析问题， 类似的得到关联度矩阵如下：
r11 r12 r13
根据其时间响应函数
x (1) (t)
a x (0) (1) b x (0) (1) ( a b ) e at
解得时间响应序列为：
x (1) ( k 1)
a x (0) (1) b x (0) (1) (a b)e ak 。
由累减生成 x?(0) (k 1) x?(1) (k 1)-x?(1) (k) ，得原始数据序列 ??(0) 的预测值 （模型
x1' (1) x2' (1)
(
X
' 1
,
X
' 2
,
,
X
' n
)
x1' (2) x2' (2)
x'n (1) xn' (2)
x1' (m) x2' (m)
xn' ( m)
对指标数据进行无量纲化
为了消除量纲的影响， 增强不同量纲的因素之间的可比性， 在进行关联度计 算之前，我们首先对各要素的原始数据作 ... 变换。无量纲化后的数据序列形成 如下矩阵：
灰色关联分析法
根据因素之间发展趋势的相似或相异程度，亦即“灰色关联度” ，来衡量因 素间关联程度。 灰色关联分析法的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度 来判断其联系是否紧密。
根据评价目的确定评价指标体系， 为了评价×××我们选取下列评价指标：
收集评价数据（此步骤一般为题目中原数据，便省略）
将 m个指标的 n 组数据序列排成 m*n 阶矩阵：
'
xi '
(k
)
(1.2)
xi (k )
xx
s (1.3)
灰色系统预测模型 GM(1,1)
使用条件 1. 数据量不少于 4 个（大数据、小数据都可精准预测） 2. 灰色预测适用于原始数据非负的， 具有较强指数规律的序列。 3. 对于 GM (1,1)发展系数 a与级比 (0) k 有： a 的可容区间为 ( 2, 2) 当 a 0.3 时， GM(1,1) 可以用作中长期预测； 当 0.3 a 0.5 时， GM(1,1) 可用作短期预测中长期慎用； 当 0.5 a 0.8 时， GM(1,1) 作短期预测慎用； 当 0.8 a 1时，用残差修正 GM(1,1) 模型； 当 a 1 时，不宜采用 GM(1,1) 模型。 (0) k 的可容区间为 (e 2 ,e2 ) =(0.1353,7.3891)
R r21 r 22 r23
r31 r32 r33
从上述关联度矩阵，可以得到如下几点结论：
由 max i
1i = 表明，在．．．中，【ｉ代表的指标】 占有最大的优势， 它对．．．【参
考指标】的贡献最大，其次是， ，，。
由 max i
ij = 表明，在 * 、* 、* 中，与... 【 i 代表的指标】 联系最为紧密的是 ...
接下来求解上面得到的基本模型 ??0 ?? + ????1 ?? = ??。
4. 建立白化形式的近似微分方程：
dx (1) +ax(1) =b ，其中 a 为发展系数， b 为灰色作用量 dt
根据其时间响应函数
x (1) (t) 解得时间响应序列为：
(x (1) (1)
b )e
at
b
a
a
由累减生成 x?(0) (k
x?(1) (k 1)
(x (0) (1)
b? )e
a?k
b? 。
a?
a?
1) x?(1) (k 1)-x?(1) (k) ，得原始数据序列 ??(0) 的预测值 （模型
还原值）为
??(0) = ??0 1 ,??0 2 , …,??0 (??) = ( )。
5. 残 差检验 ：
序号 1 2
时间（年 / 月 /... ）
n 1k 2
p (1 (avg)) 100%
当ε(k) =****<10%， p=****>90%时，模型精度较高，可进行预报和预测。
Verhulst 模型
Verhulst 模型主要用来描述具有饱和状态的过程， 即 S 形过程，常用于人
口预测、生物生长、繁殖预测及产品经济寿命预测等。 1. 数据处理 对 x(0) ( k ) 序列做一次累加生成 x(1) (k ) 序列，以弱化原始序列的随机性和波动
x(0) (2)
Y x(0) (3) B
令
，
x(0) (n)
z(1)(2) z(1)(3)
z(1)(n)
z(1)(2) 2
z(1)(3) 2 z(1) (n) 2
，则 Y=B
a 。
b
用 MATLAB最小二乘法求解参数 ?,? P=(BT B)-1BT Y=(a,b)T 。