第三十讲 创新命题计算机技术与网络技术的迅猛发展，深刻改变了我们的学习方式、生活方式与思维方式．IT 技术、Cyber 空间、bemgdigital(数字化生存)等新概念层出不穷．与时俱进，科学的发展对数学的需求，不断提出了新问题，在解决新问题的过程中又产生了许多新方法．近年各地中考、各级竞赛出现了丰富的以考查创新意识、创造精神为目的的创新命题，归纳起来有以下类型：1．定义一种新运算； 2．定义一类新数；3．给定一定规则或要求，然后按上述规则要求解题； 4．注重跨学科命题．解创新命题时，需要在新的问题情境下，尽快适应新情况，充分运用已学过的数学知识方法去创造性地思考解决问题，对培养阅读理解能力、创新能力、提高学习兴趣有重要的促进作用．例题【例1】 一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如16＝52－32，故16是一个“智慧数”，在自然数列中，从1开始起，第1990个“智慧数”是 ． (北京市竞赛题) 思路点拨 自然数可分为奇数与偶数，从分析奇数与偶数中“智慧数”的特征入手． 注： 定义新数，即给出一种特殊的概念或满足某种特殊的关系，解这类问题的关键是准确全面理解“新数”的意义，通过推理解决问题．【例2】 在甲组图形的4个图中，每个图是由4种简单图形A 、B 、C 、D(不同的线段或圆)中的某两个图形组成的，例如由A 、B 组成的图形记为B A ⋅，在乙组图形的(a)、(b)、(c)、(d)4个图中，表示“D A ⋅”和“C A ⋅”的是( ) ．A ．(a)，(b)B ．(b)，(c)C ． (c)，(d)D ．(b)，(d) (江苏省竞赛题)思路点拨 从甲组图形中，两两比较A 、B 、C 、D 分别代表的哪种线段，哪种圆．【例3】 有依次排列的3个数：3，9，8．对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，－1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，－10，－1，9，8，继续依次操作下去，问：从数串3，9，8开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少?( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨 用字母表示数，通过对一般性的考查，探求新增数之和的规律，以此作为解题的突破口． 【例4】 设[x]表示不超过x 的最大整数(如[3.7]＝3，[－3.7]＝－4)解下列了程： (1)[－l. 77x]＝[－1.77]x ；(x 为非零自然数) (四川省选拔赛试题) (2)[3x+1]=2x －21(全国初中数学联赛题) 思路点拨 解与[x]相关的问题，关键是去掉符号“[ ]”，需灵活运用[x]的性质，并善于把估算、等式与不等式知识综合起来．注：解决实际问题及计算机的运算时，常常需要对一些数据进行取整运算，即用不超过它的最大整数取而代之．[x]有以下基本性质：(1)x=[x]+r ，0≤r<l ； (2) [x]≤x ＜[x]+1； (3)x －1＜[x]≤x ； (4)[n+x]＝n+[x]； (5)[x+y]≥[x]+[y]其中当n 为整数，当且仅当x 为整数时等号成立．【例5】 如图，沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a ，b ，c ，d 满足不等式(a 一d)(b 一c)>0，那么就可以交换b ，c 的位置，这称为一次操作．(1)若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a ，b ，c ，d 都有(a 一d)(b 一c)≤0?请说明理由．(2)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a ，b ，c ，d 都有(a 一d)(b 一c)≤0 ?请说明理由．(全国初中数学竞赛题)思路点拨 (1)从1～6中选取满足(a 一d)(b 一c)>0的四个数，按题设条件操作， 直至符合结论的要求；(2)略．注：解按规则要求操作类的问题或写出具体操作步骤，或指出按规则要求不能实现的理由．解题的关键是善于在变化中把握不变量，利用不变量解题，此外，还要能灵活运用整数的整除性、奇偶性、通过赋值数学化等知识与方法．【例6】 假设a#a+b 表示经过计算后a 的值变为a 的原值和b 的原值的和，又b#b.c 表示经过计算后b 的值变为b 的原值和c 的原值和乘飘假设计算开始时a=0，b=1，c=1，对a 、b 、c 同时进行以下计算：(1) a#a+b ；(2) b#b.c ；(3) c#a+b+c(即c 的值变为所得到的a 、b 的值与c 的原值的和)．连续进行上述运算共三次，试判断a 、b 、c 三个数值之和是几位数?思路点拨 对a 、b 运算次数1 2 3 a 1 2 5 b 1 3 24 c3837经过三次运算后，a+b+c=5+24+37=66，它是一个两位数．学力训练1．现定义两种运算： ，对于任意两个整数a ，b ， ＝a+b －1，=a b －1，那么 = ．2．对于任意有理数a ，b ，c ，d ，我们规定bc ad dc b a -=,如果81122<--x ，那么x 的取值范围是 ． 3．餐厅里有两种餐桌，方桌可坐4人，圆桌可坐9人，若就餐人数刚好坐满若干张方桌和圆桌，餐厅经理就称此数为“发财数”，在l ～100这100个数中，“发财数”有 个． (“五羊杯”竞赛题) 4．读一读：式子“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和.由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示为∑=1001n n ，这里“∑”是求和符号.例如：“1＋3＋5＋7＋9＋……＋99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为∑=-50112n n ；又如“13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103”可表示为∑=1013n n.同学们，通过对以上材料的阅读，请解答下列问题：①2＋4＋6＋8＋10＋……＋100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ； ②计算：∑=-512)1(n n＝ （填写最后的计算结果）。

(2003牟无锡市中考题)5．现规定一种运算： a ※b=ab+a －b ，其中a 、b 为有理数，则a ※b +(b －a) ※b 等于( )． A ．a 2—6 B ．b 2一b C ．b 2 D ．b 2一a (大原市中考题) 6．“△”表示一种运算符号，其意义是：a △b=2a-b ，如果x △(1△3)＝2，那么x 等于( )． A ．1 B ．21 C ．23D ．2 7．设[a]表示不超过a 的最大整数，如[4.3]=4，[－4.3]＝－5，则下列各式中正确的是( )． A ．[a]=a B ．[a]=1-a C ．[a]=－a D ．[a]> a 一1 ( “希望杯”邀请赛试题) 8．设记号“※”表示a ※b=2ba +，试写出两边均含有运算符号“※”和“+”且对任意3个数a ，b ，c 都成立的等式(不少于两个)． (上海市春季高考题) 9．设[x] 表示为不超过x 的最大整数，解下列方程： (1) x +2[x]+4[x]+8[x]+16[x]+58=0； (2)[2x+1]=x －31(重庆市竞赛题)10．一个自然数a ，若将其数字重新排列可得到一个新的自然数b ，如果a 恰是b 的3倍，我们称a 是一个“希望数”．(1)请你举例说明“希望数”一定存在； (2)请你证明：如果a ，c 都是“希望数”，则ac 一定是729的倍数． (“希望杯”邀请赛试题)11．△表示一种运算，它的含义是x △y=))(1(11A y x xy +++，已知2△1＝32)1)(12(1121=+++⨯A ，那么2001△2002= ． 12．若规定a △b=22ba +，那么方程3△x =4的解x= ． 13．对一切正整数n ，有f (n+1)＝f (n)+n ，且f (1)＝1，则f (n)＝ ．14．将自然数N 接写在每一个自然数的右面(例如，将2接写在35的右面得352)，如果得到的新数都能被N 整除，那么N 称为“魔术数”．在小于130的自然数中，魔术数的个数为 ． (全国初中数学联赛) 15．若[x]＝5，[y]＝－3，[z]＝－1，则[x 一y 一z]可以取值的个数是( )．A ．3B ．4C ．5D ．6 (2002年重庆市竞赛题) 16．用min (a ，b)表示a 、b 两数中的较小者，用max (a 、b)表示a 、b 两数中的较大者，例如min (3，5)= 3，max (3，5)= 5，min (3，3)＝3，max (5，5)=5．设a 、b 、c 、d 是互不相等的自然数，min(a ，b)=p ，min (c ，d)＝q ，max (p,q)=x ，max(a ，b)＝m ，max(c ，d)＝n ，min(m ，n)＝y ，则( )．A ．x>yB ．x<yC ．x ＝yD ．x>y 和x<y 都有可能 (江苏省竞赛题) l7．设[x]表示不超过x 最大整数，又设x 、y 满足方程组[][]⎩⎨⎧+-=+=52332x y x y ，如果x 不是整数，那么x+y 是( )． (第33届美国数学竞赛题)A ．一个整数B ．在4与5之间C ．在－4与4之间D ．在15与6之间E ．16.518．对任意有理数x 、y 定义运算如下：x △y ＝ax+by+cxy ，这里a 、b 、c 是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当a ＝1，b=2，c=3时，l △3＝1×l+2×3+3×1×3＝16，现已知所定义的新运算满足条件，1△2=3，2△3=4，并且有一个不为零的数d 使得对任意有理数x △d ＝x ，求a 、b 、c 、d 的值．19．有三堆石子的个数分别是19，8，9，现在进行如下的操作：每次从这三堆石子中的任意两堆中各取出1个石子，然后把这2个石子都加到另一堆中去，试问能否经过若干次这样的操作后，使得： (1)三堆石子的数分别是2，12，22； (2)三堆都是12．如能，请用最快的操作完成；不能，则说明理由．[注：若从第一、二堆各取1个到第三堆，可表示为 (19，8，9) →(18，7，11)等] (五城市联赛题)20．n 为自然数，若n+6│n+1996，则称n 为1996的吉祥数．比如：4+6│43+1996，4就是1996的一个吉祥数，试求1996年的所有吉祥数的和．21．下面给出表甲和表乙，若将表甲中相邻的两个小方格(指有公共边的两个小方格)中的数都加上或减去同一个数，称作一次操作，问经过若干次操作之后，能否将表甲变成表乙?若能，请写出一种操作过程；若不能，请说明理由．表甲 表乙 (北京市竞赛题)22．规定：正整数n 的“H 运算”是：①当n 为奇数时，H ＝3n+13；②当n 为偶数时，H= ⨯⨯⨯2121n ，(其中H 为奇数)．如数3经过1次“H 运算”的结果是22，经过2次“H 运算”的结果是11，经过3次“H 运算”的结果是46．请解答：(1)数257经过257次“H 运算”得到的结果；(2)若“H 运算”②的结果总是常数a ，求a 的值． ( “希望杯”邀请赛试题)第三十讲创新命题参考答案。