4.3.1 空间直角坐标系4.3.2 空间两点间的距离公式
1.点P(1,0,2)在空间直角坐标系中的位置是在( C )
(A)y轴上(B)xOy面上
(C)xOz面上(D)yOz面上
解析:由于点P(1,0,2)的纵坐标y=0知,该点在xOz面上.故选C.
2.点A(2,1,-1)关于x轴对称的点的坐标为( A )
(A)(2,-1,1) (B)(2,-1,-1)
(C)(-2,-1,-1) (D)(-2,1,-1)
解析:关于x轴对称的两点的横坐标相等,其他坐标分别互为相反数.故选A.
3.空间两点A,B的坐标分别为(x,-y,z),(-x,-y,-z),则A,B两点的位置关系是( B )
(A)关于x轴对称 (B)关于y轴对称
(C)关于z轴对称 (D)关于原点对称
解析:A,B两点纵坐标相同,横坐标和竖坐标互为相反数,故A,B两点关于y轴对称,故选B. 4.如图,在空间直角坐标系中有一棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′,则A′C的中点E与AB的中点F的距离为( B )
(A) a (B) a
(C)a (D) a
解析:由题图可得,F(a,a,0),A′(a,0,a),C(0,a,0),
所以E(a,a,a),
则|EF|== a.
5.在空间直角坐标系中,已知三点A(1,0,0),B(1,1,1),C(0,1,1),则三角形ABC是( A )
(A)直角三角形 (B)等腰三角形
(C)等腰直角三角形(D)等边三角形
解析:由题|AB|==,
|AC|==,
|BC|==1,
所以AC2=AB2+BC2,
所以三角形ABC是直角三角形.
6.点P(1,4,-3)与点Q(3,-2,5)的中点坐标是( C )
(A)(4,2,2) (B)(2,-1,2)
(C)(2,1,1) (D)(4,-1,2)
解析:设点P与点Q的中点坐标为(x,y,z),则x==2,y==1,z==1.选C.
7.已知空间中两点A(1,2,3),B(4,2,a),且|AB|=,则a的值为( D )
(A)2 (B)4 (C)0 (D)2或4
解析:由空间两点间的距离公式得
|AB|==,
即9+a2-6a+9=10,所以a2-6a+8=0,
所以a=2或a=4.选D.
8.在空间直角坐标系中,已知点P(x,y,z)的坐标满足方程(x-2)2+(y+
1)2+(z-3)2=1,则点P的轨迹是( C )
(A)圆 (B)直线
(C)球面 (D)线段
解析:(x-2)2+(y+1)2+(z-3)2=1表示(x,y,z)到点(2,-1,3)的距离的平方为1,它表示以(2,-1,3)为球心,以1为半径的球面,故选C.
9.给出下列命题:
①在空间直角坐标系中,在x轴上的点的坐标一定是(0,b,c);
②在空间直角坐标系中,在yOz平面上的点的坐标一定是(0,b,c);
③在空间直角坐标系中,在z轴上的点的坐标一定是(0,0,c);
④在空间直角坐标系中,在xOy平面上的点的坐标一定是(a,0,c).
其中正确命题的序号是.(把你认为正确的答案编号都填上)
解析:命题①错,坐标应为(a,0,0);命题②③正确;命题④错,坐标应为(a,b,0).
答案:②③
10.已知点A(-2,2,3),点B(-3,-1,1),在z轴上有一点M,满足|MA|=|MB|,则点M的坐标是.
解析:设点M的坐标为(0,0,z),因为|MA|=|MB|,所以=
,解得z=,所以点M的坐标为(0,0,).
答案0,0,)
11.在空间直角坐标系中,点M(-2,4,-3)在xOz平面上的射影为M′点,则M′点关于原点的对称点的坐标是.
解析:点M(-2,4,-3)在平面xOz上的射影M′(-2,0,-3),M′关于原点的对称点的坐标是(2,0,3).
答案:(2,0,3)
12.在△ABC中,若A(-1,2,3),B(2,-2,3),C(,,3),则AB边的中点D到点C的距离为.
解析:由题意得D(,0,3),
所以|DC|==.
答案:
13.画一个正方体ABCD A 1B1C1D1,以A为坐标原点,以棱AB,AD,AA1所在的直线为坐标轴,取正方体的棱长为单位长度,建立空间直角坐标系.
(1)求各顶点的坐标;
(2)求棱C1C中点的坐标;
(3)求平面AA1B1B对角线交点的坐标.
解:空间直角坐标系如图所示.
(1)各顶点的坐标分别是A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),
A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1).
(2)棱C1C的中点M的坐标为(1,1,).
(3)平面AA1B1B对角线交点的坐标为AB1的中点.即N(,0,).
14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|BC|=2,|DD1|=3,点M是B1C1的中点,点N是AB的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求线段MD,MN的长度;
(2)设点P是DN上的动点,求|MP|的最小值.
解:(1)|MD|==,
|MN|==.
(2)在xDy平面上,设点P的坐标为(2y,y,0),y∈[0,1],
则|MP|=
==.
因为y∈[0,1],
所以当y=时,|MP|取最小值,即.
15.在空间直角坐标系中,已知A(3,0,1)和B(1,0,-3).
(1)在y轴上是否存在点M,满足|MA|=|MB|?
(2)在y轴上是否存在点M,使△MAB为等边三角形?若存在,试求出点M的坐标.
解:(1)假设在y轴上存在点M,满足|MA|=|MB|,
设M(0,y,0),由|MA|=|MB|,可得=,
显然,此式对任意y∈R恒成立.这就是说,y轴上所有点都满足|MA|=
|MB|.
(2)假设在y轴上存在点M(0,y,0),使△MAB为等边三角形.
由(1)可知,对y轴上任一点都有|MA|=|MB|,
所以只要|MA|=|AB|就可以使得△MAB是等边三角形.
因为|MA|==,
|AB|==,
于是=,解得y=±,
故在y轴上存在点M,使△MAB为等边三角形,点M的坐标为(0,,0)或(0,-,0).
16.点M(-1,2,1)在x轴上的射影和在xOy平面上的射影分别为( B )
(A)(-1,0,1),(-1,2,0)
(B)(-1,0,0),(-1,2,0)
(C)(-1,0,0),(-1,0,0)
(D)(-1,2,0),(-1,2,0)
解析:点M(-1,2,1)在x轴上的射影为M1(-1,0,0),点M在xOy平面上的射影为M2(-1,2,0).故选B.
17.在如图所示的空间直角坐标系O xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是
(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①②③④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( D )
(A)①和②(B)③和①(C)④和③(D)④和②
解析:在空间直角坐标系O xyz中作出棱长为2的正方体,在该正方体中作出四面体,如图所示,由图可知,该四面体的正视图为④,俯视图为②.故选D.
18.已知x,y,z满足方程(x-3)2+(y-4)2+(z+5)2=2,则x2+y2+z2的最小值为.
解析:由题意得(x,y,z)在以(3,4,-5)为球心,以为半径的球面上,
所以()min=-=5-=4,
所以(x2+y2+z2)min=(4)2=32.
答案:32
19.在空间直角坐标系中,已知点M(a,b,c).给出下列命题:
①点M关于x轴的对称点M1的坐标为(a,-b,c);
②点M关于yOz平面的对称点M2的坐标为(a,-b,-c);
③点M关于y轴的对称点M3的坐标为(a,-b,c);
④点M关于原点的对称点M4的坐标为(-a,b,-c).
其中是错误的命题的编号为.
解析:命题①②③④均错.正确的答案M1(a,-b,-c),
M2(-a,b,c),M3(-a,b,-c),M4(-a,-b,-c).
答案:①②③④
20.如图所示,已知正四面体A BCD的棱长为1,点E,F分别为棱AB,CD的中点.
(1)建立适当的空间直角坐标系,写出顶点A,B,C,D的坐标;
(2)证明:△BEF为直角三角形.
(1)解:如图,设底面等边三角形BCD的中心为点O,连接AO,DO,延长DO交BC于点M,则AO⊥平面BCD,点M是BC的中点,且DM⊥BC,过点O作ON∥BC,交CD于点N,则ON⊥DM,故以O为坐标原点,OM,ON,OA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
因为正四面体A-BCD的棱长为1,点O为底面△BCD的中心,
所以|OD|=|DM|==,
|OM|=|DM|=.
|OA|===,
|BM|=|CM|=,
所以A(0,0,),B(,-,0),C(,,0),D(-,0,0).
(2)证明:由(1)及中点坐标公式,得
E(,-,),F(-,,0),
所以|EF|==,
|BE|==,
|BF|==.
所以|BE|2+|EF|2=|BF|2,故△BEF为直角三角形.。