高中数学圆与方程知识点分析1. 圆的方程：（1）标准方程：222()()x a y b r -+-=（圆心为A(a,b),半径为r ）（2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）圆心（-2D ，-2E ）半径F E D 42122-+ 2. 点与圆的位置关系的判断方法：根据点与圆心的距离d 与r 在大小关系判断 3. 直线与圆的位置关系判断方法（1）几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。
d=r 为相切，d>r 为相交，d<r 为相离。
适用于已知直线和圆的方程判断二者关系，也适用于其中有参数，对参数谈论的问题。
利用这种方法，可以简单的算出直线与圆相交时的相交弦的长，以及当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最远、最近距离等。
（2）代数法：由直线与圆的方程联立得到关于x 或y 的一元二次方程,然后由判别式△来判断。
△=0为相切，△>0为相交，△<0为相离。
利用这种方法，可以很简单的求出直线与圆有交点时的交点坐标。
4．圆与圆的位置关系判断方法（1）几何法：两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切；3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切； 5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含；（2）代数法：由两圆的方程联立得到关于x 或y 的一元二次方程, 然后由判别式△来判断。
△=0为外切或内切，△>0为相交，△<0为相离或内含。
若两圆相交，两圆方程相减得公共弦所在直线方程。
5. 直线与圆的方程的应用：利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系题型一 求圆的方程例1.求过点A( 2,0)，圆心在(3, 2)圆的方程。
变式1求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
解：设所求的圆的方程为：022=++++F Ey Dx y x （也可设圆的标准方程求）∵(0,0),(11A B φ，）,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于F E D ,,的三元一次方程组.即⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=02024020F E D F E D F解此方程组，可得：0,6,8==-=F E D∴所求圆的方程为：06822=+-+y x y x542122=-+=F E D r ；32,42-=-=-F D得圆心坐标为（4，-3）.变式2（01年全国卷.文）过点A (1,-1)、B (-1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（ C ）22.(3)(1)4A x y -++= 22.(3)(1)4B x y ++-= 22.(1)(1)4C x y -+-= 22.(1)(1)4D x y +++= 变式3.求圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点A(0,-4), B(0,-2)圆的方程。
解：圆心在线段AB 的垂直平分线y =-3上，代入直线2x-y-7=0 得x=2变式4．求与x 轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线y=x 截得的弦长等于27的圆的方程.变式5．求圆22412390x y x y ++-+=关于直线3x-4y+5=0 的对称圆方程.题型二 求轨迹方程与切线方程例1.一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是12的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程变式1.已知点P （10，0），Q 为圆2216x y +=上一点动点，当Q 在圆上运动时，求PQ 的中点M 的轨迹方程。
解：设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x 0,y 0). 因为M 是PQ 的中点,所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2.102,20,2100000y y x x y y x x 即 (*)又因为Q(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=16上,所以x 02+y 02=16.将(*)代入得 (2x-10)2+(2y)2=16.故所求的轨迹方程为(x-5)2+y 2=4.变式2.由动点P 向221x y +=引两条切线PA 、PB,切点分别为A 、B, 60APB ∠=,求动点P 的轨迹方程. 解：设P(x,y)因为60APB ∠=,所以30OPA ∠=又因为OA AP ⊥，所以22OP OA ==，即222x y +=化简得224x y +=故所求的轨迹方程为224x y +=例2. 已知圆的方程是x 2+y 2=r 2,求经过圆上一点M(x 0,y 0)的切线方程.解:设P(x,y)为所求切线上的任意一点,当点M 不在坐标轴上时,由OM ⊥MP 得k OM ·k MP =-1,即0x y ·x x y y --00=-1,整理得x 0x+y 0y=r 2.可以验证,当点M 在坐标轴上时,P 与M 重合,同样适合上式,故所求的切线方程是x 0x+y 0y=r 2.变式：从点P(4,5)向圆(x －2)2＋y 2=4引切线,求切线方程.解:把点P(4,5)代入(x －2)2＋y 2=4,得(4－2)2＋52=29＞4,所以点P 在圆(x －2)2＋y 2=4外.设切线斜率为k,则切线方程为y －5=k(x －4),即kx －y ＋5－4k=0.又圆心坐标为(2,0),r=2.因为圆心到切线的距离等于半径,即1|4502|2+-+-k k k =2,k=2021. 所以切线方程为21x －20y ＋16=0.当直线的斜率不存在时还有一条切线是x=4. 题型三 直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系例1.(2006江苏高考)圆(x-1)2+(y+3)2=1的切线方程中有一个是( C )A.x-y=0B.x+y=0C.x=0D.y=0变式:(2006上海高考)已知圆x 2-4x-4+y 2=0的圆心是点P,则点P 到直线x-y-1=0的距离是___________.答案：22 变式2：例2.判断下列两圆的位置关系,如果两圆相交,请求出公共弦的方程. (1)(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16, (2)x 2+y 2+6x-7=0与x 2+y 2+6y-27=0.解:(1)根据题意,得两圆的半径分别为r 1=1和r 2=4,两圆的圆心距d=22)25()2(2[-+--=5.因为d=r 1+r 2,所以两圆外切.(2)将两圆的方程化为标准方程,得(x+3)2+y 2=16,x 2+(y+3)2=36. 故两圆的半径分别为r 1=4和r 2=6,两圆的圆心距d=23)03()30(22=-+-. 因为|r 1-r 2|＜d ＜r 1+r 2,所以两圆相交.变式1 已知圆C 1:x 2+y 2+2x-6y+1=0,圆C 2:x 2+y 2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.解:设两圆交点为A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),则A 、B 两点坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=+-++)2(.01124)1(,01622222y x y x y x y x①-②,得3x-4y+6=0.因为A 、B 两点坐标都满足此方程,所以3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C 1的圆心(-1,3),半径r=3. 又点C 1到直线的距离为d=22)4(3|63431|-++⨯-⨯-=59.所以AB=2524)59(322222=-=-d r ,即两圆的公共弦长为524.题型四 求关于弦长问题例4.已知直线l:y=2x －2,圆C:x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋1=0,请判断直线l 与圆C 的位置关系,若相交,则求直线l 被圆C 所截的线段长.解法一：由方程组⎩⎨⎧=++++-=.0142,2222x x y x x y 解得⎩⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==,4,154,53y x y x 或 即直线l 与圆C 的交点坐标为(53,－54)和(－1,－4),则截得线段长为558. 解法二：由方程组(略)消去y,得5x 2＋2x －3=0, 设直线与圆交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则AB 中点为(-51,-512),所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=•-=+,53,522111x x y x 得(x 1-x 2)2=2564, 则所截线段长为|AB|=(1+k 2)(x 1-x 2)2=558.解法三：圆心C 为(－1,－2),半径r=2,设交点为A 、B,圆心C 到直线l 之距d=552,所以5542||22=-=d r AB .则所截线段长为|AB|=558. 变式1： 已知过点M(-3,-3)的直线l 被圆x 2+y 2+4y-21=0所截得的弦长为求直线l 的方程.解：将圆的方程写成标准形式有x 2+(y+2)2=25,所以圆心为(0,-2),半径为5.因为直线l 被圆x 2+y 2+4y-21=0所截得的弦长为45,所以弦心距为22)52(5-=5,圆心到直线的距离为5,由于直线过点M(-3,-3),所以可设直线l 的方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.根据点到直线的距离公式,圆心到直线的距离为5,因此d=1|332|2+-+k k =5,两边平方整理得2k 2-3k-2=0,解得k=21,k=2.所以所求的直线l 的方程为y+3=21(x+3)或y+3=2(x+3),即x+2y+9=0或2x-y+3=0. 变式2：题型五.求距离最大最小值例1.已知点P(x,y)是圆22(3)(4)9x y -+-=上的任一点，求x 2＋y 2最小值与最大值。
解：依题意，圆心为（1，2），半径r=3.设圆心（1，2）到原点距离为5=, x 2＋y 2最小值为(d-r)2 = 4, 最大值为(d+r)2=64 变式1：求圆x 2+y 2+4x-2y+4=0上的点到直线y=x-1的最近距离和最远距离.解:圆方程化为(x+2)2+(y-1)2=1, 圆心(-2,1)到直线y=x-1的距离为d=22)1(1|112|-+---=22,所以所求的最近距离为22-1,最远距离为22+1.。