第 9 次课
教学目的：掌握一维单原子链运动方程的建立和求解；理解一维简单晶格振动的色散关系；了解格波的相速度，理解玻恩－卡曼周期性边界条件；
教学内容： §3.1 一维单原子链
重点难点：一维单原子链运动方程的建立和求解；晶格振动的色散关系；
第三章 晶格振动与晶体的热学性质前面的讨论中，我们把组成晶体的原子看成固定在平衡位置上不动，实际晶体并非如此，而是会在平衡位置附近做微小的振动。

1. 晶格振动
晶体内原子相互作用——>原子振动不孤立——>以波的形式在晶体中传播
——>格波
晶体——>互相耦合的振动系统
系统的振动——>即晶格振动
晶格振动是固体中原子的热运动，研究晶格振动——>可研究晶格的热学等性质
§3.1 一维单原子链
晶格振动是很复杂的，为了抓住其主要特点，在不影响物理本质的前提下，研究最简单的一维晶格，然后方法和结论可推广到二维和三维。

1. 原子之间的作用力
一维原子链，每个原子都具有相同的质量m，平衡时原子间距 ——晶格常数a，如图XCH003_001_01所示
—— 由于热运动，各原子离开了它的平衡位置
—— 第n个原子离开平衡位置的位移
—— 第n个原子和第n＋1个原子间的相对位移
——第n个原子和第n＋1个原子间的距离
—— 平衡位置时，两个原子间的互作用势能
—— 原子发生相对位移后的相互作用势能
很小，将在平衡位置附近展开，得到：
—— 常数，—— 平衡时势能取极小值
—— 因为很小，即振动很微弱，势能展开式中可只保留到二阶项
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项
相邻原子间的作用力：
—— 恢复力常数
2. 原子的运动方程
—— 如果只考虑相邻原子的相互作用，第n个原子受到的总作用力：—— 第n＋1个原子对第n个原子的作用力：
—— 第n－1个原子对第n个原子的作用力：
第n个原子的运动方程：
，（n=1,2,3…,N）
特点：（1）每一个原子都有一个类似上式的运动方程；
（2）方程的数目和原子数相同。

3.原子运动方程的解和振动频率
设方程组的解是振幅为A、角频率为ω的简谐振动函数：
—— 表示第n个原子振动的相位因子
将、和代回到运动方程：
消去共同因子，得到：
应用欧拉公式得到：——
ω～q关系代表一维简单晶格中格波的色散关系 —— 振动频谱
4. 格波的意义
连续介质中的机械波： —— 波数
晶体中的格波： ——
（1）晶体中格波和连续介质波具有完全类似的形式；
（2）一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动。

（3）在简谐近似下，格波是简谐平面波；
（4）振动图像——如图XCH003_001_02所示
（i）图中的向上的箭头代表原子沿X轴向右振动，向下的箭头代表原子沿X轴向左振动。

（ii）箭头的长度代表原子离开平衡位置位移的大小。

（iii）格波的波长
（iv）格波的波矢：
：代表沿格波传播方向的单位矢量
（v）格波的相速度：
—— 不同频率的格波，相速度不同
不同原子间相位差：
相邻两个原子的相位因子差：
5.格波波矢的取值和布里渊区
—— 相邻原子相位差时，所有原子的振动没有任何改变如图XCH003_002所示，格波1（红色标示）的波矢：
相邻原子的相位差：
格波2（绿色标示）的波矢：
相邻原子的相位差：
—— 两种波矢下，格波描述的原子振动是完全相同。

相邻两个原子之间的相位差取值范围：
波矢的取值：—— 第一布里渊区
—— 只要研究清楚第一布里渊区的晶格问题就可以，其它区域不能提供新的物理信息。

6.玻恩－卡曼（Born-Karman）周期性边界条件
以上的讨论是将一维单原子晶格看作无限长来处理的，这样所有原子的位置是等价的，每个原子的振动形式都一样。

实际的晶体都为有限的，形成的链不是无穷长，这样链两头的原子就不能用中间原子的运动方程来描述。

玻恩－卡曼（Born-Karman）提出采用周期性条件可以解决上述困难。

如图XCH003_003_01所示。

由N个原子头尾相接形成一个环链，它保持了所有原子等价的特点，而且N很大，其中的原子运动近似为直线运动。

在处理问题时要考虑到环链的循环性。

如图XCH003_003_02所示，设第n个原子的位移，那么再增加N个原子之后，第N+n个原子的位移为
则有：，即
要求：——
—— h为整数
波矢的取值范围：
所以：，
h只能取N个整数值，波矢q也只能取N个不同的分立值。

所以在第一布里渊区包含N个状态。

第一布里渊区状态数说明：每个波矢在第一布里渊区占的线度：——
第一布里渊区的线度：
第一布里渊区状态数
7.色散关系
由于频率是波数的偶函数 ——
（1）色散关系曲线是周期性的，关于轴对称的
—— 如图XCH003_004_01所示
（2） 在q空间的周期为：
（3）频率的极小值：；频率的极大值：；
当时，与其相应频率的变化范围：
—— 只有频率在之间的格波才能在晶体中传播，其它频率的格波被强烈衰减。

因此可以将一维单原子晶格看作成低通滤波器。

8. 长波极限情况
，波长很长时，——
—— 色散关系如图XCH003_004_02所示。

在长波极限下一维单原子晶格格波的色散关系和连续介质中弹性波的色散关系一致。

相邻原子之间的作用力：——
—— 原子链的伸长模量
格波传播速度：，
连续介质弹性波的相速度：—— 分别为连续介质的弹性模量和介质密度。

—— 可见两者相速度相同。

因此在长波极限下，对于一维单原子晶格格波可以看作是弹性波，晶格可以看成是连续介质。

9. 短波极限情况
从可以看出，此时有最大值，
—— 长波极限下，相邻两个原子之间振动的相位差：
：一个波长内包含许多原子，晶格可看作是连续介质。

如图
XCH003_002_02所示。

在短波极限下，当
格波的波长：—— 两个相邻原子的振动相位相反。

如图XCH003_002_01所示。

补充作业：
设质量为m的5个同种原子组成的一维单原子链,原子内部的力系数为,晶格常数为a（只考虑近邻原子的相互作用）
1） 列出原子运动方程；
2） 求出格波的色散关系。