一运用辅助圆求角度1、 如图，△ ABC 内有一点 D , DA = DB = DC ，若 DAB = 20 , DAC = 30 ,1贝U 乙 BDC = _______ . ( • BDC = "2- ■ BAC = 100 )2、 如图，AE = BE = DE = BC = DC ,若 C = 100 ，则 BAD = __________________ . ( 50 )3、 如图，四边形 ABCD 中，AB = AC = AD ，/ CBD = 20，/ BDC = 30，贝卩乙 BAD = _________ .(厶 BAD = Z BAC + Z CAD = 40 °+ 60 ° = 100*)解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗!4、 如图，口 ABCD 中，点E 为AB 、BC 的垂直平分线的交点，若 • D = 60 ,贝U AEC = _________ . (/ AEC = 2 ^B = 2 ^D = 120 )5、 如图，O 是四边形 ABCD 内一点，OA = OB = OC , ABC = ADC = 70 ,贝U DAO + DCO = ______________ .(所求=360 - Z ADC —乙 AOC = 150)A第1题第2题 第3题第5题 第6题第4题 :第6题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到(ABC = ADC = 25 )6、如图，四边形ABCD 中，ACB = ■ ADB = 90 , - ADC = 25，则ABC = ___________________ACBD共圆.运用圆周角和圆心角相互转化求角度9、如图，AB为O O的直径, BC = 3AC，则—ABC =解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径!10、如图，AB为O O的直径，点C、D在O O上，• BAC = 50，则.ADC = ___________________11、如图，O O的半径为1,弦AB = ，弦AC = 3 ，则• BOC = _________ 12、如图，PAB、PCD是O O的两条割线，PAB过圆心O,若AC =CD , - P= 30 ,则• BDC = ___________ .（设.ADC = x，即可展开解决问题）解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形一一等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质!1、如图，AB是O O的弦，OD_AB，垂足为C,交O O于点D，点E在O O上，若.BED7、如图，AB为O O的直径，C为AB的中点, D为半圆AB上一点，则• ADC =8、如图，AB为O O的直径, CD过OA的中点E并垂直于OA，则.ABC=第10题第11题第12题=30 , O O的半径为4，则弦AB的长是_____________ .略解：••• OD _AB ,••• AB = 2AC，且.ACO = 90 ,••• . BED = 30 . AOC = 2 BED = 60•. OAC = 30 , OC=-^- OA = 2,贝U AC = 2、3，因此AB = 4 3.2、如图，弦AB垂直于O O的直径CD , OA = 5, AB = 6,贝U BC = ___________ .1略解：•••直径CD _ 弦AB ,• AE = BE =1 AB=3•OE = 52—3 =4，贝U CE= 5+ 4 = 9• BC = - 92 32 =3.10第1题第2题第3题3、如图，O O的半径为25 , 弦AB 丄CD ,垂足为P, AB = 8, CD = 6,贝U OP= _____________ 略解：如图，过点O作OE_AB , OF_CD，连接OB , OD.则BE = 2 AB = 4, DF =十CD = 3,且OB = OD = 2 5OE = ,(2、、5)2-42=2 , OF= •.(2I5)2-32T1又AB _CD，则四边形OEPF是矩形，则OP= ,22(.11)24、如图，在O O内，如果OA = 8, AB = 12, • A = ■ B = 60，则O O的半径为______________ 略解：如图，过点O作OD _ AB，连接OB」AD = | AB = 4,因此，BD = 8, OD = 4、3 • OB = 4.7 .5、如图，正△ ABC 内接于O O , D 是O O 上一点，.DCA = 15 , CD = 10,贝U BC = __________ 略解：如图，连接 OC , OD ，则.ODC = . OCD•/△ ABC 为等边三角形，则OCA = ■ OCE = 30 ,二 ODC = • OCD = 45•••△ OCD 是等腰三角形，则 OC = 5、26、如图，O O 的直径AB = 4, C 为AB 的中点，E 为OB 上一点，• AEC = 60 , CE 的延长线交O O 于点D ，贝y CD = __________则 DE = 2CD = 2 .2002-1502 =100 ・ 7 ,所以受影响的时间为 100--7 “10・7 =10 （时）过点O 作OE _ BC , 贝V BC = 2CE=第5题 第6题略解：如图，连接 OC ,贝U OC = 2如图，以A 为圆心200千米为半径作O A 交BF 于 D 、E 两点，连接AD ,1、如图，O O的直径AB = 10,弦AC = 6, - ACB的平分线交O O于D,求CD的长.解：如图，连接AB , BD，在CB的延长线上截取BE = AC ,连接DE••• • ACD = ■ BCD ,••• AD = BD又乙CAD = Z EBD , AC = BE•△ CAD ◎△ EBD ( SAS)•CD = DE , ADC = . BDE•/ AB 为O O 的直径，则.ACB = . ADB = 90• BC = 一102_62=8 ; ADC +. CDB = . CDB +. BDE = 90 ，即.CDE = 90 • △ CDE是等腰直角三角形且CE= 14, • CD = 7 22、如图，AB是O O的直径，C是半圆的中点，M、D分别是CB及AB延长线上一点，且MA = MD，若CM = \ 2，求BD 的长.解：如图，连接AC,贝U AC = BC, . C = 90，即△ ABC是等腰直角三角形过点M 作MN // AD，则NMA = MAD=2则厶CMN也是等腰直角三角形，则MN = .2 CM•乙ANC = Z MBD = 135 ,又MA = MD ,• . D = . NMA = . MAD• △ AMN ◎△ BMD (AAS )BD = MN = 23、如图，AB为O O的直径，点N是半圆的中点，点C为AN上一点，NC = ■. 3 .求BC —AC的值.解：如图，连接AN , BN，则△ ABN是等腰直角三角形在BC上截取BD = AC，连接DN•/ AN = BN , CAN = DBN , AC = BD•△ ACN ◎△ BDN ( SAS)•CN = DN , CNA = DNB ,•••厶CND = Z CNA + Z AND = Z ADN +乙DNB = 90 ，即△ CND是等腰直角三角形•CD = . 2 NC = ,6 ,•BC —AC = BC —BD = CD =、、64、如图，点A、B、C为O O上三点，AC二BC，点M为BC上一点，CE_AM于E,AE = 5, ME = 3,求BM 的长.解：如图，在AM上截取AN = BM，连接CN , CM.•/ AC =BC ,••• AC = BC,又/ A = Z B•••△ ACN ◎△ BCM (SAS)•CN = CM，又CE_AM•NE = ME = 3,BM = AN = AE —NE = 25、如图，在O O中，P为BAC的中点，PD_CD , CD交O O于A，若AC = 3, AD = 1 , 求AB的长. 解：如图，连接BP、CP,贝U BP= CP, . B = . C过点P作PE _AB于点E，又PD —CD• BEP = CDP•••△ BEP也厶CDP (AAS )BE = CD = 3+1 = 4, PE= PD连接AP,贝U Rt △ AEP 也Rt △ ADP ( HL ),贝U AE = AD = 1• AB = AE+BE = 56、如图，AB 是O 的直径，MN 是弦，AE—MN 于E, BF — MN 于F, AB = 10, MN = 8.求BF —AE的值.解: v AE _ MN , BF _ MN，贝U AE // BF，•/ A = Z B如图，延长EO交BF于点G,贝U • AOE = BOG , AO = BO• △ AOE◎△ BOG (AAS ),贝U OE = OG过点O 作OH—MN , FG = 2OH , HN = 4连接ON，贝U ON = 5, OH = ■ 52 -42=3，贝U BG —AE = FG = 6.1、如图，O O是厶BCN的外接圆，弦AC_BC，点N是AB的中点，.BNC = 60 ,亠BN »+求BC的值•解：如图，连接AB，贝U AB为直径，••• • BNA = 90连接AN，则BN = AN，则△ ABN是等腰直角三角形J2•- BN = AB ;又/ BAC = ■ BNC = 60 ,2•- BC= AB ,2 BN _ .6BC = (方法2，过点B作BD _ CN，即可求解)2、如图，O O的弦AC _BD，且AC = BD，若AD = 2 /2，求O O 半径.解：如图，作直径AE，连接DE,则/ ADE = 90又AC 丄BD，则N ADB + N DAC = N ADB + 乂EDB = 90• • DAC = EDB，贝U CD 二BE , • DE 二BC ,•/ AC = BD , • AC =CD，贝U AD = BC 二DE•AD = DE，即△ ADE是等腰直角三角形•AE = \ 2 AD = 4，即O O的半径为23、如图，AB为O O的直径，C为O O上一点，D为CB延长线上一点，且Z CAD = 45CE — AB 于点E, DF — AB 于点F.(1)求证：CE = EF; (2 )若DF = 2, EF = 4，求AC.(1)证：T AB 为O O 的直径，/ CAD = 45 ,则厶ACD是等腰直角三角形，即AC = DC又CE — AB，则CAE = ECB如图，过点C作CG垂直DF的延长线于点G又CE — AB , DF—AB，则四边形CEFG是矩形,AEC = DGC = 90 • EF = CG, CE // DG，则ECB = CDG = CAE• △ ACE DCG (AAS ),贝U CE = CG = EF(2)略解:AC = CD =、42 62=2.13.B E4、如图，AB为O O的直径，CD_AB于点D, CD交AE于点F, AC=CE.(1)求证：AF = CF;(2)若O O的半径为5，AE = 8,求EF的长(1 )证：如图，延长CD交O O于点G,连接AC•.•直径AB I CG,贝U AG = AC =CE••• . CAE = ■ ACG，贝U AF = CF(2)解：如图，连接OC交AE于点H，则OC_AE ,OH = ..52 -42=3，贝U CH = 5- 3= 2设HF = X，贝V CF = AF = 4 —X2 2 23 3则x 2 =(4 -x) ,• x ，即HF =—2 211• EF =25、如图，在O O中，直径CD —弦AB于E, AM — BC于M，交CD于N，连接AD.(1)求证：AD = AN ;(2)若AB = 4*2 , ON = 1,求O O 的半径.(1)证：T CD _ AB , AM _ BC—C + —CNM = •- C+ —B = 90•匚 B = Z CNM ,又B = D, AND = CNM• • D = ■ AND，即AD = AN(2)解：•••直径CD _ 弦AB，则AE = 2、Q又AN = AD，贝U NE = ED如图，连接OA，设OE = x，贝U NE = ED = x 1OA = OD = 2x 1 3h 丿EH = AH = 1 AE=4A• x2(2，2)2=(2x 1)2，则x=1 • O O的半径OA = 31、在O O 中，弦AB_CD 于E,求证：AOD + BOC = 证：如图，连接AC,•/ AB _CD，则.CAB + . ACD = 90又.AOD = 2 ACD , BOC = 2・ BAC••• . AOD + . BOC = 180 .2 2 22、在O O中，弦AB — CD于点E,若O O的半径为R，求证：AC + BD = 4R .证：••• AB _CD，则.CAB + . ACD = 90如图，作直径AM，连接CM则三ACM = Z ACD + Z DCM = 90• / CAB = Z DCM ,•- BC = DM•CM = BD2 2•/ AC2+ CM2= AM•AC2+ BD2= 4R23、在O O中，弦AB — CD于点E,若点M为AC的中点，求证ME — BD. 证：如图，连接ME，并延长交BD于点F••• AB — CD，且点M为AC的中点•ME为RtAAEC斜边上的中线•AM = ME•乙 A = AEM =乙BEF又B = C, A + C= 90•• BEF + B= 90 ，即BFE = 90• ME — BD.14、在O O 中，弦 AB _ CD 于点E ,若ON _ BD 于N ，求证：ON = — AC.2证：如图，作直径 BF ，连接DF ,贝U DF _ BD ，又 ON _ BD ,•••ON // FD ，又 OB = OF1• ON = - DF2连接 AF ，贝U AF _ AB ，又 CD _ AB • AF // CD••• AC =FD ，贝U AC = FD1--ON = — AC25、在O O 中，弦 AB _ CD 于点 E ,若 AC = BD , ON _ BD 于 N , OM _ AC 于 M.(1) 求证：ME //ON ;(2) 求证：四边形 OMEN 为菱形. 证：(1)如图，延长 ME 交OD 于点F• AM = EM ,. A = ■ AEM = BEF又 B = C ,A + C = 90• B + BEF = 90 ，则 BFE = 90 • MF _ BD ，又 ON — BD • MF // ON(2)由(1)知 MF // ON ，同理可证 OM // NE ,•四边形OMEN 是平行四边形••• OM 丄AC ,则点M 为AC 的中点•/ AB 丄CD ,贝U ME 为Rt △ ACE 的斜边上中线 匚E/D•/ AC = BD , • OM = ON •四边形OMEN为菱形.一圆与内角平分线问题往往与线段和有关，实质是对角互补的基本图形1、如图，O O ABC 的外接圆，弦 CD 平分.ACB ，- ACB = 90 .求证：CA + CB = .2 CD.证：如图，在 CA 的延长线上截取 AE = BC ,连•/ CD 平分 / ACB ，••• AD = BD• △ CDE 是等腰直角三角形，则CA + CB = CE= 、、2 CD.2、如图，O O ABC 的外接圆，弦 CD 平分• ACB ，- ACB = 120，求一CD 的值解：如图，在 CA 的延长线上截取 AE = BC ，•/ CD 平分乙 ACB ，• AD = BD又/ DAE =乙 DBC ，AE = BC • △ DAE ◎△ DBC ( SAS ) • CD = DE ，又/ ACD = 60 • △ CDE 是等边三角形“ CA+CBCD = CE = CA + BC ，即-CD = 1又/ DAE = Z DBC ，AE = BC • △ DAE ◎△ DBC ( SAS ) • CD = DE ，又• ACD = 45 DE3、如图，过0、M（1,1）的动圆O 01交y轴、X轴于点解：如图，过点M作ME _ y轴，MF _ X轴，连AM、由M (1，1)知：四边形OFME是正方形.••OE = OF = 4，EM = FM，又乙MBF =乙MAE，•△ AEM ◎△ BFM (AAS )，贝U AE = BF•OA + OB = AE + OE+ OF —BF = 8.6、如图，A （4,0） , B （0,4） , O O 1 经过 A 、B 、O 三点,,PB — PA … 求 —的值•解：如图，在BP 上截取BC = AP••• A (4,0) , B (0, 4)，则 OA = OB = 4 又/ OAP = Z OBC• △ OAPOBC (SAS )圆中的外角问题往往与线段的差有关4、如图，O O 为厶ABC 的外接圆，弦 CP 平分△ ABC 的外角乙ACQ ，乙ACB = 90 . 求证：(1)PA=PB ；(2)AC — BC = ■, 2 PC.证：(1)如图，连接 AP ,则乙PCQ = N PAB又.PCQ = ■ PCA ，则.PAB = ■ PCAPA 二 PB(2)连接 BP ，由(1)得，PA = PB在AC 上截取 AD = BC ,连PD ,又/ PAD =•••△ PAD ◎△ PBC ( SAS ),贝 U PD = PC又乙PCD = 45，则• PCD 是等腰直角三角形，• AC — BC = CD = ■. 2 PC.5、如图，O O ABC 的外接圆，弦 CP 平分△ ABC 的外角.ACQ , - ACB = 120 .亠 BC —AC求飞厂 的值.解：如图，在 BC上截取 BD = AC ，连 AP 、BP 、DP ••• PCB = PCQ = PBA• AP = BP ,又 乙 CAP = Z DBP• △ CAP 也厶 DBP ( SAS ),贝 U CP = DP 又 ACB = 120 ,• PCD = 30 ,BC — ACPC CD PC•••OC = OP，且N COP = AOB = 90 :则P B PO PA= PO =血.点这P为OA上动点（异于0、A）9、如图，O 01和0 02外切于D , AB过点D ，右—A 02D = 100 , C 为优弧BD 上任一点,则・DCB = ____________ 答案：7、140 ; & 40 ; 9、50 （过点D 作两圆的切线）切线与一个圆 答案：1、70 ; 2、20 ; 3、80 ; 4、120 ; 5、130 ; 6、451、如图，AD 切O O 于A , BC 为直径，若 Z ACB = 20，则E CAD = ________________ .2、 如图，AP 切O O 于P, PB 过圆心，B 在O O 上，若.ABP = 35，则.APB = __________________ .3、 如图，PA 、PB 为O O 的切线，C 为ACB 上一点，若.BCA = 50，则.APB = _________________4、 如图，PA 、PB 为O O 的切线，C 为AB 上一点,若 / BCA = 150，则/ APB =.5、 如图，点 0是厶ABC 的内切圆的的圆心，若BAC = 80 ，则.BOC =.6、如图，PA 切O 0于A ，若PA = AB , PD 平分Z APB 交AB 于D ，则乙ADP =.（设元，列方程）切线与两个圆如图，两同心圆的圆心为 0,大圆的弦 AB 、AC分别切小圆于D 、E ,小圆的DE 的度数为110 , 则大圆的BC 的度数为8、如图，O 01和O 。