第4题 第5题 第6题第1题 第2题 第3题圆的培优专题1——与圆有关的角度计算一 运用辅助圆求角度1、如图,△ABC 内有一点D ,DA =DB =DC ,若∠DAB =20︒,∠DAC =30︒, 则∠BDC = . (∠BDC = 12∠BAC =100︒)2、如图,AE =BE =DE =BC =DC ,若∠C =100︒,则∠BAD = . (50︒)3、如图,四边形ABCD 中,AB =AC =AD ,∠CBD =20︒,∠BDC =30︒,则 ∠BAD = . (∠BAD =∠BAC +∠CAD =40︒+60︒=100︒)解题策略:通过添加辅助圆,把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题,思维更明朗! 4、如图,□ABCD 中,点E 为AB 、BC 的垂直平分线的交点,若∠D =60︒, 则∠AEC = . (∠AEC =2∠B =2∠D =120︒)5、如图,O 是四边形ABCD 内一点,OA =OB =OC ,∠ABC =∠ADC =70︒, 则∠DAO +∠DCO = . (所求=360︒-∠ADC -∠AOC =150︒)6、如图,四边形ABCD 中,∠ACB =∠ADB =90︒,∠ADC =25︒,则∠ABC = . (∠ABC =∠ADC =25︒)解题策略:第6题有两个直角三角形共斜边,由直角所对的弦为直径,易得到ACBD 共圆.第10题 第11题 第12题第7题 第8题 第9题 二 运用圆周角和圆心角相互转化求角度7、如图,AB 为⊙O 的直径,C 为AB 的中点,D 为半圆AB 上一点,则∠ADC = . 8、如图,AB 为⊙O 的直径,CD 过OA 的中点E 并垂直于OA ,则∠ABC = . 9、如图,AB 为⊙O 的直径,3BC AC =,则∠ABC = .答案:7、45︒; 8、30︒; 9、22.5︒; 10、40︒; 11、150︒; 12、110︒ 解题策略:以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径!10、如图,AB 为⊙O 的直径,点C 、D 在⊙O 上,∠BAC =50︒,则∠ADC = . 11、如图,⊙O 的半径为1,弦AB 2,弦AC 3∠BOC = . 12、如图,PAB 、PCD 是⊙O 的两条割线,PAB 过圆心O ,若AC CD =,∠P =30︒, 则∠BDC = . (设∠ADC =x ,即可展开解决问题)解题策略:在连接半径时,时常会伴随出现特殊三角形——等腰三角形或直角三角形或等腰 直角三角形或等边三角形,是解题的另一个关键点!圆的四接四边形的外角等于内对角,是一个非常好用的一个重要性质!第1题 第2题 第3题圆的培优专题2——与垂径定理有关的计算1、如图,AB 是⊙O 的弦,OD ⊥AB ,垂足为C ,交⊙O 于点D ,点E 在⊙O 上,若∠BED =30︒,⊙O 的半径为4,则弦AB 的长是 . 略解:∵OD ⊥AB ,∴AB =2AC ,且∠ACO =90︒, ∵∠BED =30︒,∴∠AOC =2∠BED =60︒∴∠OAC =30︒,OC = 12 OA =2,则AC =23,因此AB =432、如图,弦AB 垂直于⊙O 的直径CD ,OA =5,AB =6,则BC = . 略解:∵直径CD ⊥弦AB ,∴AE =BE =12 AB=3∴OE 22534-=,则CE =5+4=9 ∴BC =2293310+=3、如图,⊙O 的半径为25弦AB ⊥CD ,垂足为P ,AB =8,CD =6,则OP = . 略解:如图,过点O 作OE ⊥AB ,OF ⊥CD ,连接OB ,OD. 则BE =12 AB =4,DF =12 CD =3,且OB =OD =25 OE 22(25)42-=,OF =22(25)311-= 又AB ⊥CD ,则四边形OEPF 是矩形,则OP 222(11)15+=4、如图,在⊙O 内,如果OA =8,AB =12,∠A =∠B =60︒,则⊙O 的半径为 . 略解:如图,过点O 作OD ⊥AB ,连接OB ,则AD =12 AB =4,因此,BD =8,OD =43∴OB 22(43)847+=.第4题 第5题 第6题5、如图,正△ABC 内接于⊙O ,D 是⊙O 上一点,∠DCA =15︒,CD =10,则BC = 略解:如图,连接OC ,OD ,则∠ODC =∠OCD∵△ABC 为等边三角形,则∠OCA =∠OCE =30︒,∴∠ODC =∠OCD =45︒ ∴△OCD 是等腰三角形,则OC =52 过点O 作OE ⊥BC ,则BC =2CE =566AB ∠60︒的延 长线交⊙O 于点D ,则CD = 略解:如图,连接OC ,则OC =2∵C 为AB 的中点,则OC ⊥AB ,又∠AEC =60︒,∴∠OCE =30︒ 如图,过点O 作OF ⊥CD ,则OF =12 OC =1,CF =3,∴CD =2CF =237、如图,A 地测得台风中心在城正西方向300千米的B 处, 并以每小时10760︒的BF 方向移 动,距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域. 问:A 地是否受到这次台风的影响?若受到影响,请求 出受影响的时间?解:如图,过点A 作AC ⊥BF 交于点C ,∵∠ABF =30︒,则AC =12 AB =150<200,因此A 地会受到这次台风影响;如图,以A 为圆心200千米为半径作⊙A 交BF 于D 、E 两点,连接AD , 则DE =2CD =222001501007-= 所以受影响的时间为100710710=(时)圆的培优专题3——圆与全等三角形1、如图,⊙O 的直径AB =10,弦AC =6,∠ACB 的平分线交⊙O 于D ,求CD 的长. 解:如图,连接AB ,BD ,在CB 的延长线上截取BE =AC ,连接DE ∵∠ACD =∠BCD ,∴AD =BD 又∠CAD =∠EBD ,AC =BE ∴△CAD ≌△EBD (SAS ) ∴CD =DE ,∠ADC =∠BDE∵AB 为⊙O 的直径,则∠ACB =∠ADB =90︒∴BC 221068-=;∠ADC +∠CDB =∠CDB +∠BDE =90︒,即∠CDE =90︒ ∴△CDE 是等腰直角三角形且CE =14,∴CD =22、如图,AB 是⊙O 的直径,C 是半圆的中点,M 、D 分别是CB 及AB 延长线上一点,且 MA =MD ,若CM 2BD 的长.解:如图,连接AC ,则AC =BC ,∠C =90︒,即△ABC 是等腰直角三角形 过点M 作MN ∥AD ,则∠NMA =∠MAD则△CMN 也是等腰直角三角形,则MN 2=2 ∴∠ANC =∠MBD =135︒,又MA =MD ,∴∠D =∠NMA =∠MAD ∴△AMN ≌△BMD (AAS ) ∴BD =MN =23、如图,AB 为⊙O 的直径,点N 是半圆的中点,点C 为AN 上一点,NC 3 求BC -AC 的值.解:如图,连接AN ,BN ,则△ABN 是等腰直角三角形 在BC 上截取BD =AC ,连接DN ∵AN =BN ,∠CAN =∠DBN ,AC =BD ∴△ACN ≌△BDN (SAS )∴CN =DN ,∠CNA =∠DNB ,∴∠CND =∠CNA +∠AND =∠ADN +∠DNB =90︒,即△CND 是等腰直角三角形 ∴CD 26,∴BC -AC =BC -BD =CD 64、如图,点A 、B 、C 为⊙O 上三点,AC BC =,点M 为BC 上一点,CE ⊥AM 于E , AE =5,ME =3,求BM 的长.解:如图,在AM 上截取AN =BM ,连接CN ,CM. ∵AC BC =,∴AC =BC ,又∠A =∠B ∴△ACN ≌△BCM (SAS ) ∴CN =CM ,又CE ⊥AM ∴NE =ME =3, ∴BM =AN =AE -NE =25、如图,在⊙O 中,P 为BAC 的中点,PD ⊥CD ,CD 交⊙O 于A ,若AC =3,AD =1, 求AB 的长.解:如图,连接BP 、CP ,则BP =CP ,∠B =∠C 过点P 作PE ⊥AB 于点E ,又PD ⊥CD ∴∠BEP =∠CDP ∴△BEP ≌△CDP (AAS ) ∴BE =CD =3+1=4,PE =PD连接AP ,则Rt △AEP ≌Rt △ADP (HL ),则AE =AD =1 ∴AB =AE+BE =56、如图,AB 是O 的直径,MN 是弦,AE ⊥MN 于E ,BF ⊥MN 于F ,AB =10,MN =8. 求BF -AE 的值.解:∵AE ⊥MN ,BF ⊥MN ,则AE ∥BF ,∴∠A =∠B如图,延长EO 交BF 于点G , 则∠AOE =∠BOG ,AO =BO∴△AOE ≌△BOG (AAS ),则OE =OG 过点O 作OH ⊥MN ,FG =2OH ,HN =4连接ON ,则ON =5,OH =22543-=,则BG -AE =FG =6.圆的培优专题4——圆与勾股定理1、如图,⊙O 是△BCN 的外接圆,弦AC ⊥BC ,点N 是AB 的中点,∠BNC =60︒, 求BNBC的值. 解:如图,连接AB ,则AB 为直径,∴∠BNA =90︒ 连接AN ,则BN =AN ,则△ABN 是等腰直角三角形∴BN =22AB ;又∠BAC =∠BNC =60︒, ∴BC =32AB , ∴BN BC =63(方法2,过点B 作BD ⊥CN ,即可求解)2、如图,⊙O 的弦AC ⊥BD ,且AC =BD ,若AD =22,求⊙O 半径. 解:如图,作直径AE ,连接DE ,则∠ADE =90︒ 又AC ⊥BD ,则∠ADB +∠DAC =∠ADB +∠EDB =90︒ ∴∠DAC =∠EDB ,则CD BE =,∴DE BC =, ∵ AC =BD ,∴AC CD =,则AD BC DE == ∴AD =DE ,即△ADE 是等腰直角三角形 ∴AE =2AD =4,即⊙O 的半径为23、如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,D 为CB 延长线上一点,且∠CAD =45︒, CE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AB 于点F.(1)求证:CE =EF ;(2)若DF =2,EF =4,求AC. (1)证:∵ AB 为⊙O 的直径,∠CAD =45︒,则△ACD 是等腰直角三角形,即AC =DC 又CE ⊥AB ,则∠CAE =∠ECB如图,过点C 作CG 垂直DF 的延长线于点G又CE ⊥AB ,DF ⊥AB ,则四边形CEFG 是矩形,∠AEC =∠DGC =90︒ ∴EF =CG ,CE ∥DG ,则∠ECB =∠CDG =∠CAE ∴△ACE ≌△DCG (AAS ),则CE =CG =EF (2)略解:AC =CD =2246213+=.4、如图,AB 为⊙O 的直径,CD ⊥AB 于点D ,CD 交AE 于点F ,AC CE =. (1)求证:AF =CF ;(2)若⊙O 的半径为5,AE =8,求EF 的长 (1)证:如图,延长CD 交⊙O 于点G ,连接AC ∵直径AB ⊥CG ,则AG AC CE == ∴∠CAE =∠ACG ,则AF =CF(2)解:如图,连接OC 交AE 于点H ,则OC ⊥AE ,EH =AH =12 AE=4∴ OH =22543-=,则CH =5-3=2 设HF =x ,则CF =AF =4-x 则2222(4)x x +=-,∴32x =,即HF =32∴EF =1125、如图,在⊙O 中,直径CD ⊥弦AB 于E ,AM ⊥BC 于M ,交CD 于N ,连接AD. (1)求证:AD =AN ;(2)若AB =42,ON =1,求⊙O 的半径. (1)证:∵CD ⊥AB ,AM ⊥BC∴∠C +∠CNM =∠C +∠B =90︒ ∴∠B =∠CNM ,又∠B =∠D ,∠AND =∠CNM ∴∠D =∠AND ,即AD =AN (2)解:∵直径CD ⊥弦AB ,则AE =22 又AN =AD ,则NE =ED如图,连接OA ,设OE =x ,则NE =ED =1x + ∴OA =OD =21x +∴222(22)(21)x x +=+,则1x = ∴⊙O 的半径OA =3圆的培优专题5——圆中两垂直弦的问题1、在⊙O中,弦AB⊥CD于E,求证:∠AOD+∠BOC=180︒.证:如图,连接AC,∵AB⊥CD,则∠CAB+∠ACD=90︒又∠AOD=2∠ACD,∠BOC=2∠BAC∴∠AOD+∠BOC=180︒.2、在⊙O中,弦AB⊥CD于点E,若⊙O的半径为R,求证:AC2+BD2=4R2. 证:∵AB⊥CD,则∠CAB+∠ACD=90︒如图,作直径AM,连接CM则∠ACM=∠ACD+∠DCM=90︒∴∠CAB=∠DCM,=∴BC DM=,∴CM BD∴CM=BD∵AC2+CM2=AM2∴AC2+BD2=4R2.3、在⊙O中,弦AB⊥CD于点E,若点M为AC的中点,求证ME⊥BD.证:如图,连接ME,并延长交BD于点F∵AB⊥CD,且点M为AC的中点∴ME为Rt△AEC斜边上的中线∴AM=ME∴∠A=∠AEM=∠BEF又∠B=∠C,∠A+∠C=90︒∴∠BEF+∠B=90︒,即∠BFE=90︒∴ME⊥BD.4、在⊙O中,弦AB⊥CD于点E,若ON⊥BD于N,求证:ON=12 AC.证:如图,作直径BF,连接DF,则DF⊥BD,又ON⊥BD,∴ON∥FD,又OB=OF∴ON=12DF连接AF,则AF⊥AB,又CD⊥AB ∴AF∥CD∴AC FD=,则AC=FD∴ON=12AC5、在⊙O中,弦AB⊥CD于点E,若AC=BD,ON⊥BD于N,OM⊥AC于M. (1)求证:ME//ON;(2)求证:四边形OMEN为菱形.证:(1)如图,延长ME交OD于点F∵OM⊥AC,则点M为AC的中点∵AB⊥CD,则ME为Rt△ACE的斜边上中线∴AM=EM,∴∠A=∠AEM=∠BEF又∠B=∠C,∠A+∠C=90︒∴∠B+∠BEF=90︒,则∠BFE=90︒∴MF⊥BD,又ON⊥BD∴MF∥ON(2)由(1)知MF∥ON,同理可证OM∥NE,∴四边形OMEN是平行四边形∵AC=BD,∴OM=ON∴四边形OMEN为菱形.圆的培优专题6——圆与内角(外角)平分线一 圆与内角平分线问题往往与线段和有关,实质是对角互补的基本图形1、如图,⊙O 为△ABC 的外接圆,弦CD 平分∠ACB ,∠ACB =90︒. 求证:CA +CB 2CD.证:如图,在CA 的延长线上截取AE =BC ,连DE ,AD ,BD ∵CD 平分∠ACB ,∴AD =BD 又∠DAE =∠DBC ,AE =BC ∴△DAE ≌△DBC (SAS ) ∴CD =DE ,又∠ACD =45︒∴△CDE 是等腰直角三角形,则CA +CB =CE 22、如图,⊙O 为△ABC 的外接圆,弦CD 平分∠ACB ,∠ACB =120︒,求CA+CBCD 的值.解:如图,在CA 的延长线上截取AE =BC ,连DE ,AD ,BD ∵CD 平分∠ACB ,∴AD =BD 又∠DAE =∠DBC ,AE =BC ∴△DAE ≌△DBC (SAS ) ∴CD =DE ,又∠ACD =60︒ ∴△CDE 是等边三角形∴CD =CE =CA +BC ,即CA+CBCD=13、如图,过O 、M (1,1)的动圆⊙1O 交y 轴、x 轴于点A 、B ,求OA +OB 的值. 解:如图,过点M 作ME y ⊥轴,MF ⊥x 轴,连AM 、BM 由M (1,1)知:四边形OFME 是正方形 ∴OE =OF =4,EM =FM ,又∠MBF =∠MAE , ∴△AEM ≌△BFM (AAS ),则AE =BF ∴OA +OB =AE +OE +OF -BF =8.二 圆中的外角问题往往与线段的差有关4、如图,⊙O 为△ABC 的外接圆,弦CP 平分△ABC 求证:(1)PA PB =;(2)AC -BC =2PC. 证:(1)如图,连接AP ,则∠PCQ =∠PAB 又∠PCQ =∠PCA ,则∠PAB =∠PCA ∴PA PB =(2)连接BP ,由(1)得,PA =PB在AC 上截取AD =BC ,连PD ,又∠PAD =∠PBC ∴△PAD ≌△PBC (SAS ),则PD =PC又∠PCD =45︒,则∴PCD 是等腰直角三角形,∴AC -BC =CD =2PC. 5、如图,⊙O 为△ABC 的外接圆,弦CP 平分△ABC 的外角∠ACQ ,∠ACB =120︒. 求BC -AC PC的值.解:如图,在BC 上截取BD =AC ,连AP 、BP 、DP ∵∠PCB =∠PCQ =∠PBA ∴AP =BP ,又∠CAP =∠DBP ∴△CAP ≌△DBP (SAS ),则CP =DP 又∠ACB =120︒,∴∠PCD =30︒, ∴BC -AC PC = CD PC=36、如图,A (4,0),B (0,4),⊙1O 经过A 、B 、O 三点,点 这P 为OA 上动点(异于O 、A ). 求PB -PAPO的值.解:如图,在BP 上截取BC =AP ∵A (4,0),B (0,4),则OA =OB =4 又∠OAP =∠OBC ∴△OAP ≌△OBC (SAS )∴OC =OP ,且∠COP =∠AOB =90︒,则PB -PA PO = PCPO =2.第6题一切线与一个圆答案:1、70︒;2、20︒;3、80︒;4、120︒;5、130︒;6、45︒1、如图,AD切⊙O于A,BC为直径,若∠ACB=20︒,则∠CAD=.2、如图,AP切⊙O于P,PB过圆心,B在⊙O上,若∠ABP=35︒,则∠APB=.3、如图,PA、PB为⊙O的切线,C为ACB上一点,若∠BCA=50︒,则∠APB=.4、如图,PA、PB为⊙O的切线,C为AB上一点,若∠BCA=150︒,则∠APB=.5、如图,点O是△ABC的内切圆的的圆心,若∠BAC=80︒,则∠BOC=.6、如图,PA切⊙O于A,若PA=AB,PD平分∠APB交AB于D,则∠ADP=. (设元,列方程)二切线与两个圆7、如图,两同心圆的圆心为O,大圆的弦AB、AC分别切小圆于D、E,小圆的DE的度数为110︒,则大圆的BC的度数为.8、如图,⊙O1和⊙O2交于A、B两点,且点O1在⊙O2上,若∠D=110︒,则∠C=9、如图,⊙O1和⊙O2外切于D,AB过点D,若∠AO2D=100︒,C为优弧BD上任一点,则∠DCB=. 答案:7、140︒;8、40︒;9、50︒(过点D作两圆的切线)第1题第2题第3题第4题第5题第7题第8题第9题1、如图,在⊙O的内接△ACB中,∠ABC=30︒,AC的延长线与过点D的切线BD交于点D,若⊙O的半径为1,BD//OC,则CD=. (CD=33)2、如图△ABC内接于⊙O,AB=BC,过点A的切线与OC的延长线交于D,∠BAC=75︒,CD=3,则AD=. (AD=3)3、如图,⊙O为△BCD的外接圆,过点C的切线交BD的延长线于A,∠ACB=75︒,∠ABC=45︒,则CDDB的值为. (CDDB=2)4、如图,AB为⊙O的直径,弦DC交AB于E,过C作⊙O的切线交DB的延长线于M,若AB=4,∠ADC=45︒,∠M=75︒,则CD=. (CD=23)5、如图,等边△ABC内接于⊙O,BD切⊙O于B,AD⊥BD于D,AD交⊙O于E,⊙O的半径为1,则AE=. (AE=1)6、如图,△ABC中,∠C=90︒,BC=5,⊙O与ABC的三边相切于D、E、F,若⊙O的半径为2,则△ABC的周长为. (C=30)7、如图,△ABC中,∠C=90︒,AC=12,BC=16,点O在AB上,⊙O与BC相切于D,连接AD,则BD=. (示:过D作DE⊥AB,设CD=DE=x,BD=10)解题策略:连半径,有垂直;寻找特殊三角形;设元,构建勾股定理列方程.第1题第2题第3题第4题第5题第6题第7题圆的培优专题9——圆的切线与垂径定理1、如图,AB 为⊙O 的直径,C 为AE 的中点,CD ⊥BE 于D. (1)判断DC 与⊙O 的位置关系,并说明理由; (2)若DC =3,⊙O 的半径为5,求DE 的长. 解:(1)DC 是⊙O 的切线,理由如下:如图,连接OC ,BC ,则∠ABC =∠CBD =∠OCB ∴OC ∥BD ,又CD ⊥BE ∴OC ⊥CD ,又OC 为⊙O 的半径 ∴DC 是⊙O 的切线(2)如图,过O 作OF ⊥BD ,则四边形OFDC 是矩形,且BE =EF ∴OF =CD =3,DF =OC =5,∴EF =BF =22534-=,∴DE =DF -EF =12、如图,AB 为⊙O 的直径,D 是BC 的中点,DE ⊥AC 交AC 的延长线于E ,⊙O 的切线 BF 交AD 的延长线于点F. (1)求证:DE 为⊙O 的切线;(2)若DE =3,⊙O 的半径为5,求DF 的长. (1)证:显然,∠CAD =∠OAD =∠ODA ∴OD ∥AE ,又DE ⊥AC , ∴OD ⊥DE ,又OD 为⊙O 半径 ∴DE 为⊙O 的切线(2)解:如图,过点O 作OG ⊥AC ,则OGDE 是矩形,即OG =DE =3,DE =OD =5 ∴AG =22534-=,则AE =5+4=9,∴2293310+= 连接BD ,则BD ⊥AD ,∴BD =2210(310)10-=设DF =x ,则22(10)x +=BF =22(310)10x +-,∴DF =103x =.3、如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,BD 是⊙O 的直径,AE ⊥CD 于E ,DA 平分∠BDE. (1)求证:AE 是⊙O 的切线; (2)若AE =2,DE =1,求CD 的长.(1)证:如图,连接OA ,则∠ADE =∠ADO =∠OAD ∴OA ∥CD ,又AE ⊥CD ∴OA ⊥AE ,又OA 为⊙O 的半径 ∴AE 是⊙O 的切线(2)解:如图,过点O 作OF ⊥CD ,则CD =2DF ,且四边形OFEA 是矩形 ∴EF =OA =OD ,OF =AE =2 设DF =x ,则OD =EF =1x + ∴2222(1)x x +=+,∴ 1.5x = ∴CD =2CF =23x =4、如图,AE 是⊙O 的直径,DF 切⊙O 于B ,AD ⊥DF 于D ,EF ⊥DF 于F. (1)求证:EF +AD =AE ;(2)若EF =1,DF =4,求四边形ADFE 的周长. (1)证:如图,连接CE ,则四边形CDFE 是矩形 连接OB 交CE 于点G , ∵DF 是⊙O 的切线 ∴OB ⊥DF ,OB ⊥CE∴BG =CD =EF ,OG ∥AC ,又AO =OE ∴AC =2OG∴EF +AD =AC +CD +EF =2OG +2BG =2OB =AE. (2)解:显然CE =DF =4,CD =EF =1设AC =x ,则AD =1x +,AE =2x +∴2224(2)x x +=+,则3x =,则AC =3,AD =4,AE =5 ∴四边形CDFE 的周长为14.圆的培优专题10——圆的切线与勾股定理1、如图,已知点A是⊙O上一点,半径OC的延长线与过点A的直线交于点B,OC=BC,AC=12 OB.(1)求证:AB是⊙O的切线;(2)若∠ACD=45︒,OC=2,求弦CD的长. (1)证:∵OC=OB,∴AC为OAB的OB边上的中线,又AC=12OB∴△OAB是直角三角形,且∠OAB=90︒,又OA为⊙O的半径∴AB是⊙O的切线(2)解:显然,OA=OC=AC,即△OAC是等边三角形∴∠AOC=60︒,∴∠D=30︒如图,过点A作AE⊥CD于点E,∵∠ACD=45︒,∴△AEC是等腰直角三角形,∴AE=CE=22AC=22OC2DE3AE=6∴CD622、如图,PA、PB切⊙O于A、B,点M在PB上,且OM//AP,MN⊥AP于N.(1)求证:OM=AN;(2)若⊙O的半径3r=,PA=9,求OM的长.(1)证:如图,连接OA,∵PA为⊙O的切线,∴OA⊥AP,又MN⊥AP∴OA∥MN,又OM//AP,∴四边形OANM是矩形,即OM=AN(2)解:如图,连接OB,∵PB、PA为⊙O的切线∴∠OBM=∠MNP=90︒,PB=PA=9∵OM//AP,∴∠OMB=∠P,又OB=OA=MN,∴△OBM≌△MNP(AAS)∴OM=PM,则32+OM2=(9-OM)2,∴OM=53、如图,AB 为⊙O 的直径,半径OC ⊥AB ,D 为AB 延长线上一点,过D 作⊙O 的切线, E 为切点,连接CE 交AB 于F.(1)求证:DE =DF ;(2)连接AE ,若OF =1,BF =3,求DE 的长. (1)证:如图,连接OE ∵PE 为⊙O 的切线, ∴OE ⊥DE ,又OC ⊥AB∴∠C +∠CFO =∠OEF +∠DEF =90︒ 又∠C =∠OCF ,∠CFO =∠DFE ∴∠DEF =∠DFE ,∴DE =DF (2)解:显然,OE =OB =OF +BF =4设BD =x ,则DE =DF =3x +,OD =4x + ∴222(3)4(4)x x ++=+,∴x =4.5 ∴DE =7.54、如图,正方形ABCO 的顶点分别在y 轴、x 轴上,以AB 为弦的⊙M 与x 轴相切于F , 已知A (0,8),求圆心M 的坐标. 解:如图,连接FM 交延长交AB 于点E ∵⊙M 与x 轴相切,即OC 是⊙M 的切线∴EF ⊥OC ,又四边形ABCO 是正方形 ∴EF ⊥AB ,又A (0,8)即AB =EM =OA =8 ∴ AE =4设MF =AM =x ,则EM =8-x∴2224(8)x x +-=,∴5x =,即MF =5 ∴点M 的坐标为(-4,5)圆的培优专题11——圆的切线与全等三角形1、如图,BD为⊙O的直径,A为BC的中点,AD交BC于E,过D作⊙O的切线,交BC的延长线于F. (1)求证:DF=EF;(2)若AE=2,DE=4,求DB的长.(1)证:如图,连接AB∵BD为⊙O的直径,DF为⊙O的切线∴∠BAD=∠BDF=90︒∴∠ABC+∠AEB=∠ADB+∠FDE=90︒又∠ABC=∠ADB,∠AEB=∠DEF∴∠DFE=∠DEF,∴DE=EF(2)解:如图,过点F作FG⊥ED,则EG=GD=2=AE,又∠BAE=∠FGE=90︒,∠AEB=∠GEF,∴△ABE≌△GFE(ASA),∴BE=EF,即DE为R△BDF的斜边上中线∴DF=EF=DE=4,BF=8,则BD=432、如图,AB为⊙O的直径,C、D为⊙O的一点,OC⊥AD,CF⊥DB于F.(1)求证:CF为⊙O的切线;(2)若BF=1,DB=3,求⊙O的半径.(1)证:∵AB为⊙O的直径∴DF⊥AD,又OC⊥AD∴OC∥DF,又CF⊥DB∴OC⊥CF,又OC为⊙O的半径∴CF为⊙O的切线(2)解:如图,过点C作CE⊥BD于点E,则BE=DE=1.5,EF=2.5又OC⊥CF,CF⊥EF∴四边形OCFE是矩形∴⊙O有半径OC=EF=2.53、如图,以⊙O 的弦AB 为边向圆外作正方形ABCD. (1)求证:OC =OD ; (2)过D 作DM 切⊙O 于M ,若AB =2,DM =22O 的半径. (1)证:如图,连接OA 、OB ,则OA =OB ∴∠OAB =∠OBA ∵四边形ABCD 是正方形∴AD =BC ,∠DAB =∠CBA =90︒ ∴∠OAD =∠OBC ∴△OAD ≌△OBC (SAS ) ∴OC =OD(2)解:如图,连接OM 、BD ,则OM ⊥DM ,且BD 2=22DM 又OM =OB ,OD =OD ,△ODM ≌△ODB (SSS ) ∴OB ⊥BD ,又∠ABD =45︒∴∠OAB =45︒,即△OAB 是等腰直角三角形 ∴OA =22AB 24、如图,在△ABC 中,AC =BC ,∠ACB =90︒,以BC 为直径的⊙O 交AB 于D. (1)求证:AD =BD ;(2)弦CE 交BD 于M ,若3ABCBCM S S=,求BD CE. (1)略证:连接CD ,则CD ⊥AB又AC =BC ,∠ACB =90︒,∴AD =BD (2)解:如图,连接BE ,过A 作AN ⊥CE 于N , ∵3ABCBCMSS=,∴2ACMBCMSS=∴AN =2BE∵∠CAN =∠BCE ,AC =BC ,∠ANC =∠CEB ∴△ANC ≌△CEB (AAS ) ∴BE =CN ,CE =AN设CN =BE =x ,则CE =AN =BE =2x , ∴BC 5x ,∴AB 210x ,即BD 10x ∴ BD CE =104.圆的培优专题12——圆的切线与等腰三角形1、如图,在△ABC 中,AB =AC ,以AB 为直径的⊙O 与边BC 交于D ,与边AC 交于E , 过D 作DF ⊥AC 于F.(1)求证:DF 为⊙O 的切线;(2)若DE =5,AB =5,求AE 的长. (1)证:如图,连接AD ,OD , ∵AB 为⊙O 的直径,∴AD ⊥BC ,又AB =AC ,OA =OB ∴∠EAD =∠DAB =∠ADO ∴OD ∥AC ,又DF ⊥AC ∴OD ⊥DF ,又OD 为⊙O 的直径 ∴DF 为⊙O 的切线(2)解:∵∠EAD =∠DAB ,∴BD =DE =5,又AB =5,∴AD =225(5)25-= ∵DF ×AC =AD ×CD ,∴DF =2,CF =EF =52(5)21-=,∴AE =5-2=3 2、如图,在△ABC 中,AB =AC ,以边AB 为直径作⊙O ,交BC 于D ,过D 作DE ⊥AE. (1)求证:DE 是⊙O 的切线;(2)连接OC ,若∠CAB =120︒,求 DEOC的值. (1)证:如图,连接AD ,OD ,则AD ⊥BC 又AB =AC ,∴CD =BD ,又AO =OB ∴OD ∥AC ,又DE ⊥AE∴OD ⊥DF ,∴DE 是⊙O 的切线;(2)解:如图,过点O 作OF ⊥BD 于F ,则BD =2BF ∵AB =AC ,∠CAB =120︒,∴∠B =30︒ 设OF =x ,则BF =3x ,OB =2x ,∴AC =AB =4x ,CD =BD =23x ,则CF =33x由勾股定理,得OC =27x ,由面积法,得DE =3x ,∴DE OC =2114.3、如图,AB =AC ,点O 在AB 上,⊙O 过点B ,分别交BC 于D 、AB 于E ,DF ⊥AC. (1)证:DF 为⊙O 的切线;(2)若AC 切⊙O 于G ,⊙O 的半径为3,CF =1,求AC. (1)证:如图,连接OD ,∵ AB =AC ,OB =OD ∴∠B =∠C =∠ODB ∴OD ∥AC ,又DF ⊥AC ∴OD ⊥DF ,又OD 为⊙O 的半径 ∴DF 为⊙O 的切线(2)解:如图,连接OG ,∵AC 为⊙O 的切线∴OG ⊥AC ,又OD ⊥DF ,DF ⊥AC ,OG =OD ∴四边形ODFG 是正方形,即OB =OG =GF =3 设AG =x ,则AB =AC =4x +,则AO =1x + ∴2323(1)x x +=+,∴4x =,则AC =84、如图,CD 是⊙O 的弦,A 为CD 的中点,E 为CD 延长线上一点,EG 切⊙O 于G. (1)求证:KG =GE ;(2)若AC //EG ,DK CK = 35 ,AK =210O 的半径.(1)证:如图,连接OG ,OA 交CD 于点F ∵A 为CD 的中点,EG 是⊙O 的切线 ∴OA ⊥CD ,OG ⊥GE∴∠OAG +∠AKF =∠OGA +∠EGK 又∠OAG =∠OGA ,∠AKF =∠EKG ∴∠EGK =∠EKG ∴KG =GE(2)解:∵AC ∥EG ,∴∠CAK =∠EGK ,又∠EGK =∠EKG =∠CKA ∴∠CAK =∠CKA ,∴CA =CK设CK =CA =5x ,则DK =3x ,∴CD =8x ,CF =4x ,EG =x ∴AF =22(5)(4)3x x x -=在Rt △AFK 中,222(3)(210)x x +=,∴2x = ∴CE =8,AE =6,设⊙O 的半径为R ,则R 2=82+(R -6)2,∴R =253圆的培优专题13——圆与三角形的内心1、如图,AB 是⊙O 的直径,AC CE =,点M 为BC 上一点,且CM =AC.(1)求证:M 为△ABE 的内心;(2)若⊙O 的半径为5,AE =8,求△BEM 的面积. (1)证:如图,连接CE ,则AC =CE =CM ∴∠CME =∠CEM ,∠CEA =∠CBE ∴∠CBE +∠BEM =∠CEA +∠AEM ∴∠AEM =∠BEM ,又∠ABC =∠CBE ∴点M 为△ABE 的内心.(2)解:如图,过点M 作MN ⊥BE 于点N ,则MN 为△ABE 的内切圆的半径. ∵AB =10,AE =8,则BE 221086-=∴MN =681022+-=, ★★ MN =2a b c +-=aba b c++=2 ∴BME 的面积为12×6×2=6.2、如图,⊙O 为△ABC 的外接圆,BC 为直径,AD 平分∠BAC 点M 是△ABC 的内心. (1)求证:BC 2DM ;(2)若DM =52AB =8,求OM 的长. (1)证:如图,连接BD ,CD , ∵BC 为直径,AD 平分∠BAC ∴BD =CD ,∠BDC =90︒, ∴BC 2 连接CM ,则∠ACM =∠BCM ,∠DAC =∠BCD∴∠DMC =∠ACM +∠DAC =∠BCM +∠BCD =∠DCM , ∴DM =CD ,即BC 2(2)解:显然,BC 2=10,AB =8,则AC =6,且∠MAE =45︒如图,过M 作ME ⊥BC 于点N ,作MF ⊥AC 于点F ,则ME =MF =AF =2 ∴ CF =CE =4,则OE =1 ∴OM 22215+3、如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,D 是BC 的中点,DE ⊥AB 于E ,I 是△ABD 的内心,DI 的延长线交⊙O 于N.(1)求证:DE 是⊙O 的切线;(2)若DE =4,CE =2,求⊙O 的半径和IN 的长. (1)证:∵D 是BC 的中点,OA =OD ∴∠CAD =∠DAO =∠ADO ∴OD ∥AE ,又DE ⊥AB ∴OD ⊥DE ,又OD 为⊙O 的半径 ∴DE 是⊙O 的切线.(2)解:如图,过点O 作OF ⊥AC ,则AF =CF ∵DE ⊥AB ,OD ⊥DE∴四边形ODEF 是矩形,则OF =DE =4设⊙O 的半径为R ,则OA =OD =EF =R ,AF =CF =R -2 ∴(R -2)2+42 =R 2,∴R =5,∴AB =10,如图,连接BI ,AN ,BN ,则IN =BN =AN =52 ★4、如图,在△ABC 中,AB =AC ,I 是△ABC 的内心,⊙O 交AB 于E ,BE 为⊙O 的直径. (1)求证:AI 与⊙O 相切;(2)若BC =6,AB =5,求⊙O 的半径. (1)证:如图,延长AI 交BC 于点D ,则AD ⊥BC , 连接OI ,则∠OIB =∠OBI =∠OBD ∴OI ∥BC ,又AD ⊥BC ∴AD ⊥OI ,又OI 为⊙O 的半径 ∴AI 与⊙O 相切(2)显然BD =3,AB =5,则AD =4如图,过点I 作IF ⊥AB 于点F ,则BF =BD =3,AF =2,IF =ID , 设IF =ID =x ,则AI =4x -,∴2222(4)x x +=-,则IF =32x =设O 的半径为R ,则OF =3-R ,∴(3-R )2+(32 )2 =R 2,∴R =158圆的培优专题14——圆中动态问题1、如图,点P 是等边△ABC 外接圆BC 上的一个动点,求证PA =PB +PC. 证:如图,在AP 上截取PD =PC ,连接CD∵△ABC 是等边三角形,∠ABC =∠ACB =60︒ ∴∠DPC =∠ABC =60︒∴△PCD 是等边三角形,即CD =PC ∵∠ACD +∠BCD =∠BCP +∠BCD =60︒ ∴∠ACD =∠BCP ,又AC =BC ∴△ACD ≌△BCP (SAS ) ∴AD =BP∴PA =AD +DP =PB +PC.2、已知弦AD ⊥BD ,且AB =2,点C 在圆上,CD =1,直线AD 、BC 交于点E. (1)如图1,若点E 在⊙O 外,求∠AEB 的度数; (2)如图2,若C 、D 两点在⊙O 上运动,CD 的 长度不变,点E 在⊙O 内,求∠AEB 的度数. 解:(1)如图-1,连接OC ,OD ∵AD ⊥BD∴AB 为⊙O 的直径,且AB =2∴CD =OC =OD =1,即△OCD 是等边三角形 ∴∠COD =60︒∴∠CBD =12 ∠COD=30︒∴∠AEB =60︒ (2)如图-2,连接OC ,OD同理可得:∠ACD =60︒, ∴∠CBD =12 ∠COD=30︒又∠ADB =90︒,∴∠AED =120︒图-1图-23、已知直线l 经过⊙O 的圆心O ,且交⊙O 于A 、B ,点C 在⊙O 上,且∠AOC =30︒,点 P 是直线l 上一个动点(与O 不重合),直线CP 与⊙O 交于Q ,且QP =QO. (1)如图1,当点P 在线段AO 上时,求∠OCP 的度数; (2)如图2,当点P 在线段OA 的延长线上时,求∠OCP 的度数; (3)如图3,当点P 在线段OB 的延长上时,求∠OCP 的度数. 解:(1)如图-1,设∠OCP =x ∵OC =OQ ,则∠OQP =x 又∠AOC =30︒,QP =QO ∴∠QOP =∠QPO =30x +︒ ∴2(30)180x x +︒+=︒ ∴∠OCP =40x =︒(2)如图-2,设∠COQ =x , 又∠AOC =30︒,QP =QO ∴∠QOP =∠QPO =30x +︒ 又OC =OQ∴∠OQP =∠OCQ =60x +︒ ∴(60)2(30)180x x +︒++︒=︒ ∴∠COQ =20x =︒ ∴∠OCP =100︒ (3)如图-3,设∠QPO =x∴QP =PO ,则∠QOP =∠QPO =x ∴OC =OQ∴∠OCQ =∠OQC =2x ∴230x x +=︒ ∴∠QPO =x =10︒ ∴∠OCP =20︒图-1图-2图-3圆的培优专题15——聚焦圆中无图多解题圆是中考数学考查的一个热点,题型较全,选择、填空、作图、计算与证明经常出现,常与三角形、四边形、相似形、二次函数等知识一起考查。