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卑微如蝼蚁、坚强似大象
华南理工大学研究生课程考试
《数值分析》试卷A （
2015年1月9日）

注意事项：1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚；
2. 所有答案请按要求填写在本试卷上；
3. 课程代码：S0003004； 4. 考试形式：闭卷； 5. 考生类别：硕士研究生；
6. 本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。

一．（12分）解答下列问题
1．欲计算下式：

()13(1)2(1)(2)7(1)(2)(3)6(1)(2)(3)(4),Pxxxxxxxxxxx
试给出乘法次数尽可能少的计算形式。
2．设有递推公式
0
1361,1,2,nn

y

yyn

如果取
*
00
31.732yy
作实际计算，问计算到10y时误差为初始误差*00yy的多少

倍？这个计算过程数值稳定吗？

二. （14分）解答下列问题
_
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_
_
_

姓
名
学
号
学
院

专
业

任
课
教
师

(
密
封线内不答题)………………………………………密………………………………………………
封
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
…
…
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1. 若2()63fxx+，则[1,2,3]f和[1,2,34]f，的值分别是多少？
2. 已知100101211114412===，，，试利用二次插值方法求115的近似值，并
估计误差。

三. (10分) 设f在互易节点
ix上的值0,1,....iiffxin。试证明：f在节点i
x

上
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的n次最小二乘拟合多项式
npx与f在节点ix上的n次Lagrange插值多项式n
Lx

一致，

即
=
nn
pxLx

。

四. (12分) 按代数精度的定义，构造下列形式的求积公式（即确定参数,AB，）:
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1
1
fxdxAfBf

要求公式具有尽可能高的代数精度，并说明所得公式是不是Gauss型求积公式。

五. (14分) 已知线性代数方程组Ax=b为：
nnnnnnnnbbbbxxxxduuuvdvdvd121121121
11
22
11

00
0
0

00
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(1) 用顺序高斯消去法求解方程组Ax=b；
(2) 先由(1)的消元过程直接写出A的LU分解，再利用该LU分解求解方程组Ax=b。

六. (12分)
对方程组323,,121AxbAb，拟用迭代法

(1)()()(),0,1,kkk
xxAxbk

求解，试确定实数的取值范围，使得该迭代公式收敛。

.0)/(,0,11,,,niiiiniiiiidvuddbvud已知其中
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七. (14分) 欲求方程ln2 (1)xxx的根，试
（1）证明[3, 4] 为方程的一个有根区间；
（2）在区间[3, 4] 上构造一个收敛的不动点迭代公式；
（3）求所构造迭代公式的收敛阶。
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八. (12分) 对初值问题
00
yfxy
yxy
（1）试利用Taylor展开公式推导下列数值求解公式：
2
12nnnnnnnnnn
h

yyhfxyfxyyxfxy

（2）指出上述公式是几阶公式。
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