大庆实验中学2020届高三综合训练（四）数学（文）试题 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求．1.已知复数(1)z i i =⋅-，则||z =（ ）A.12B.22C. 12【答案】D 【解析】 【分析】由复数的运算法则，求得1z i =+，再结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，复数(1)1z i i i =⋅-=+，所以22112z =+=故选：D.【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的运算法则和复数模的计算公式是解答的关键，意在考查计算能力，属于容易题. 2.设集合{}2|120A x x x =+-<，{|23}B x x =+<，则A B =（ ）A. {|7}x x <B. {|23}x x -<C. {|23}x x -<<D.{|43}x x -<<【答案】B 【解析】 【分析】求解一元二次不等式和根式不等式，即可求得集合,A B ，再求交集即可. 【详解】容易得{|43}A x x =-<<，{|27}B x x =-<， 所以{|23}AB x x =-<故选：B.【点睛】本题考查集合交集的运算，属基础题.3.已知01a b <<<，则下列结论正确的是（ ） A. a b b b < B. b b a b <C. a b a a <D. a a b a <【答案】B 【解析】 【分析】根据条件对,a b 赋值，令14a =，12b =，计算选项的值即可比较出大小. 【详解】取14a =，12b =，则a a =12b a =，b b =，ab =a b b b <，故排除A ；a b a a >，故排除C ；a a b a >，故排除D ；由幂函数的性质得：b b a b <. 故选：B.【点睛】本题考查不等式比较大小，涉及特殊值法计算，属于基础题. 4.为了得到3()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，可以将()cos2g x x =的图象（ ） A. 向右平移4π个单位 B. 向左平移4π个单位 C. 向右平移8π个单位 D. 向左平移8π个单位 【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用诱导公式、函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论． 【详解】为了得到函数33()sin 2sin 248f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，可以将函数()cos 2sin 2sin 224g x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象向左平移8π个单位.故选：D ．【点睛】本题主要考查诱导公式、函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题． 5.为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是( )A. 是否倾向选择生育二胎与户籍有关B. 是否倾向选择生育二胎与性别有关C. 倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同D. 倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，通过阅读理解、识图，将数据进行比对，通过计算可得出C 选项错误．【详解】由比例图可知，是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中，男性人数为0.812096⨯=人，女性人数为0.68048⨯=人，男性人数与女性人数不相同，故C 错误，故选C ．【点睛】本题主要考查了条形图的实际应用，其中解答中认真审题，正确理解条形图所表达的含义是解答的关键，着重考查了阅读理解能力、识图能力，属于基础题.6.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，焦距等于23C的方程为（ ）A. 2214x y +=B. 22163x y +=C. 22142x y +=D.22143x y += 【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得2a b =，2c =222a b c =+即可求解. 【详解】由长轴长是短轴长的2倍，所以24a b =，即2a b =， 焦距等于2c =c =由222a b c =+，解得1b =，2a =，所以椭圆的标准方程：2214x y +=.故选：A【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质、椭圆的标准方程，属于基础题. 7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28114,33a a S +==，则20a =（ ） A. 19B. 18C. 17D. 20【答案】C 【解析】 【分析】用基本量法求解．即把已知条件用1a 和d 表示并解出，然后再由通项公式得解．【详解】由题意281111284111011332a a a d S a d +=+=⎧⎪⎨⨯=+⨯=⎪⎩，解得121a d =-⎧⎨=⎩． ∴20219117a =-+⨯=． 故选：C ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，解题方法是基本量法．8.已知sin 21cos αα=+，则tan α=（ ）A. 43-B. 34-C.43D. 2【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式表示sin 21cos αα=+，可求出tan 22α=，再利用正切函数的二倍角公式可求出tanα的值.【详解】解：∵22sin cossin22tan21cos22cos2αααααα===+，∴22tan42tan31tan2ααα==--，故选：A.【点睛】本题考查正余弦函数以及正切函数的二倍角公式，考查学生的转化能力和计算能力，属于基础题.9.如图，平面四边形ABCD中，E，F是AD，BD中点，2AB AD CD===，22BD=，90BDC∠=︒，将ABD△沿对角线BD折起至A BD'△，使平面A BD'⊥平面BCD，则四面体A BCD'中，下列结论不正确的是（）A. //EF平面A BC' B. 异面直线CD与A B'所成的角为90°C. 异面直线EF与A C'所成的角为60°D. 直线A C'与平面BCD所成的角为30°【答案】C【解析】【分析】运用线面平行的判定定理可判断A正确；由面面垂直的性质定理，结合异面直线所成角可判断B正确；由异面直线所成角和勾股定理的逆定理可判断C错误；由线面角的求法，可判断D 正确.【详解】对于A：因为E，F分别为A D'和BD两边中点，所以//EF A B'，又EF⊄平面A BC'，所以//EF平面A BC'，故A正确；对于B：因为平面A BD'⊥平面BCD，交线为BD，且CD BD⊥，所以CD⊥平面A BD'，即CD A B⊥'，故B正确；对于C：取CD边中点M，连接EM，FM，则//EM A C'，所以FEM ∠或其补角为异面直线EF 与A C '所成角， 又1EF =，122EM A C ='=，132FM BC ==，即90FEM ∠=︒，故C 错误；D ：连接A F '，可得A F BD '⊥，由面面垂直的性质定理可得A F '⊥平面BCD ， 连接CF ，可得A CF ∠'为A C '与平面BCD 所成角，由21sin 222A F A CF A C '∠'==='， 则直线A C '与平面BCD 所成的角为30°，故D 正确. 故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，线面角的求法和线面平行的判断，考查转化思想和运算能力，属于基础题.10.如图所示，在ABC ∆中，AD DB =，点F 在线段CD 上，设AB a =，AC b =，AF xa yb =+，则141x y ++的最小值为（ ）A. 622+B. 63C. 642+D. 322+【答案】D 【解析】 【分析】用AD ，AC 表示AF ，由C ，F ，D 三点共线得出x ，y 的关系，消去y ，得到141x y ++关于x 的函数()f x ，利用导数求出()f x 的最小值． 【详解】解：2AF xa yb x AD y AC =+=+．∵C ，F ，D 三点共线，∴21x y +=．即12y x =-．由图可知0x >．∴21412111x x y x x x x ++=+=+--． 令()21x f x x x+=-，得()()22221'x x f x x x +-=-，令()'0f x =得1x =或1x =（舍）．当01x <<时，()'0f x <，当1x >时，()'0f x >．∴当1x =时，()f x取得最小值)111f=-3=+故选D ．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题． 11.已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足222cos cos cos A B C -+1sin sin A C =+，且sin sin 1A C +=，则ABC ∆的形状为（ ）A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 顶角为150的等腰三角形D. 顶角为120的等腰三角形【答案】D 【解析】 【分析】先利用同角三角函数基本关系得222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-，结合正余弦定理得222122a cb ac +-=-进而得B ,再利用sin sin 13A A π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭化简得sin 13A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,得A 值进而得C ,则形状可求【详解】由题()2221sin 1sin 1sin 1sin sin A B C A C ---+-=+即222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-，由正弦定理及余弦定理得222122a cb ac +-=-即()12cos ,0,23B B B ππ=-∈∴=故 sin sin 13A A π⎛⎫+-=⎪⎝⎭整理得sin 13A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，故,66A B ππ=∴=故ABC ∆为顶角为120的等腰三角形 故选D【点睛】本题考查利用正余弦定理判断三角形形状，注意内角和定理，三角恒等变换的应用，是中档题12.双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线左支上一点，且()110PF OF OP ⋅+=（O 为坐标原点），2112cos 13PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 2 B.53C.135D.137【答案】D 【解析】 【分析】取1PF 的中点为M ，则()112OM OF OP =+，根据题意可得1PF OM ⊥，则12PF PF ⊥，由215cos 13PF F ∠=可求出a ，c ，从而求得离心率. 【详解】如图，取1PF 的中点为M ，则()112OM OF OP =+， 由()110PF OF OP ⋅+=，得10PF OM ⋅=，即1PF OM ⊥. 因为OM 为12PF F ∆的中位线，所以12PF PF ⊥. 由2112cos 13PF F ∠=，设212PF =，则1213F F =，15PF =， 所以2127a PF PF =-=，12213c F F ==，得C 离心率为137c a =.故选：D【点睛】本题考查垂直关系的向量表示，中位线的性质，双曲线的几何性质，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.设x，y满足约束条件220220x yx yy x+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则32z x y=-的最大值是________.【答案】2 3【解析】【分析】画出满足约束条件的可行域，利用z的几何意义，利用直线平移法即可求出最大值.【详解】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数过22,33⎛⎫⎪⎝⎭时取得最大值，即max222 32333z=⨯-⨯=.故答案为：2 3【点睛】本题考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，常用数形结合问题来求，本题属于基础题.14.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为________．【答案】2 【解析】 【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、判断出位置关系，由直观图能求出该四棱锥的体积．【详解】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个直角梯形，AD AB ⊥、//AD BC ，2AD AB ==、1BC =，PA ⊥底面ABCD ，且2PA =，∴该四棱锥的体积为：1121222332ABCD V S PA +=⨯⨯=⨯⨯⨯=梯形．故答案为：2．【点睛】本题考查几何体的体积的求法，考查几何体三视图等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，属于中档题． 15.将函数()sin 36f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移()0m m >个单位长度，得到函数()g x 的图象．若()g x 为奇函数，则m 的最小值为_______． 【答案】3π 【解析】 【分析】利用图象变换求得函数()y g x =的解析式，由函数()y g x =为奇函数，可得出关于m 的代数式，进而可求得正数m 的最小值. 【详解】将函数()sin 36f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变）， 得到函数11sin 3sin 6626y x x ππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 再将所得函数图象向右平移()0m m >个单位长度，得到()()111sin sin 26262g x x m x m ππ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象，由于函数()y g x =为奇函数，则()162m k k Z ππ-=∈，()23m k k Z ππ∴=-∈， 当0k =时，正数m 取得最小值3π. 故答案为：3π. 【点睛】本题考查利用三角函数图象变换求函数解析式，同时也考查了利用正弦型函数的奇偶性求参数，考查计算能力，属于中等题.16.已知函数3()121f x x x =-+，2213,0()3(2)3,02x x g x x x ⎧-+>⎪=⎨-++≤⎪⎩，若函数[()]y f g x a =-有6个零点（互不相同），则实数a 的取值范围为________． 【答案】[10,17) 【解析】 【分析】原题等价于[()]f g x a =有6个不同的零点.先作出函数()f x 的图象，得到当(15,17)m ∈-时，()f x m =有三个解；再作出函数()g x 的图象，得到当[3,4]t ∈-时，()g x t =有两个解，求出(3),(4)f f -的值即得解.【详解】因为[()]y f g x a =-有6个零点（互不相同）， 所以[()]f g x a =有6个不同的零点.3()121f x x x =-+,所以2()312=3(2)(2)f x x x x '=-+-，所以函数()f x 在(2,),(,2)+∞-∞-单调递增，在(2,2)-单调递减. 所以函数()f x 的图象如图所示，当(15,17)m ∈-时，()f x m =有三个解. 函数()g x 的图象如图所示，当[3,4]t ∈-时，()g x t =有两个解， 当3x =-时，(3)2736110f -=-++=； 当4x =时，(4)6448117f =-+=；若函数[()]y f g x a =-有6个零点（互不相同），则实数a 的取值范围为[10,17). 故答案为：[10,17).【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共60分17.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在PD 上.（1）若E 为PD 的中点，证明：//PB 平面AEC ；（2）若1PA =，22PD AB ==，三棱锥E ACD -的体积为3，试求:PE ED 的值. 【答案】（1）证明见解析（2）:1:2PE ED = 【解析】 【分析】(1) 连接BD 交AC 于O ,连接EO ,再证明EO PB 即可. (2) 根据三棱锥E ACD -的体积为39可求得E 到平面ABCD 的距离为23,再根据PA ⊥平面ABCD 且1PA =即可求得:PE ED .【详解】证明：（1）连接BD 交AC 于O ,连接EO , ∵ABCD 为矩形,∴O 为BD 的中点, 又E 为PD 的中点,∴EO PB , ∵EO平面AEC ,PB平面AEC ,∴PB 平面AEC .（2）由题设3AD =,1CD =,∴ADC 的面积为32. ∵棱锥E ACD -3∴E 到平面ABCD 的距离h 3133=,即23h =. ∵PA ⊥平面ABCD ,∴平面PAD ⊥平面ABCD ,过E 在平面PAD 内作EF AD ⊥,垂足为F ,则EF ⊥平面ABCD , 而PA ⊥平面ABCD ,于是EFPA .∵1PA =,∴:2:3ED PD =.则:1:2PE ED =【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及根据三棱锥体积求解比例的问题,需要根据题意求出对应的高,再根据垂直于同一平面的两条直线互相平行的性质分析.属于中档题. 18.已知等差数列{}n a 中，公差0d >，且满足：2345a a ⋅=，1414a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为nS ，令()16nS f n n =+()*N n ∈，求()f n 的最大值. 【答案】（1）43n a n =-；（2）181. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可求解.（2）首先利用裂项求和法求出n S ，再利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题设知：2314234514a a a a a a ⋅=⎧⎨+=+=⎩，∴2359a a =⎧⎨=⎩或2395a a =⎧⎨=⎩ ∵0d >，∴25a =，39a =. ∴43n a n =- （2）∵()()111111434144341n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭∴1111111...41559434141n n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ∴()211411616164651681465n nS n n f n n n n n n n+====≤++++++（当2n =时取等号） 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、裂项求和法、基本不等式求最值，属于基础题. 19.某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的成绩，统计结果如下表：(1)若从甲、乙两人中选出一人参加数学竞赛，你认为选谁合适?请说明理由. (2)若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰. 方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被润汰.已知学生甲、乙都只会5道备选题中的3道，那么你推荐的选手选择哪种答题方条进人复赛的可能性更大?并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）选方案二 【解析】 【分析】（1）可以用两种方法决定参赛选手,方法一：先求平均数再求方差，根据成绩的稳定性决定选手；方法二：从统计的角度看，看甲乙两个选手获得85以上(含85分)的概率的大小决定选手；（2）计算出两种方案学生乙可参加复赛的概率，比较两个概率的大小即得解.【详解】(1)解法一：甲的平均成绩为180********835x ++++==；乙的平均成绩为29076759282835x ++++==， 甲的成绩方差()25211150.85i i s x x==-=∑；乙的成绩方差为()25221148.85i i s x x==-=∑；由于12x x =，2212s s >，乙的成绩较稳定，派乙参赛比较合适，故选乙合适. 解法二、派甲参赛比较合适，理由如下：从统计的角度看，甲获得85以上(含85分)的概率135P =，乙获得85分以上(含85分)的概率225P =因为12P P >故派甲参赛比较合适，(2)5道备选题中学生乙会的3道分别记为a ，b ，c ，不会的2道分别记为E ，F . 方案一：学生乙从5道备选题中任意抽出1道的结果有：a ，b ，c ，E ，F 共5种，抽中会的备选题的结果有a ，b ，c ，共3种. 所以学生乙可参加复赛的概率135P =. 方案二：学生甲从5道备选题中任意抽出3道的结果有(),,a b c ，(),,a b E ，(),,a b F ，(),,a c E ，(),,a c F ，(),,a E F ，(),,b c E ，(),,b c F ，(),,b E F ，(),,c E F ，共10种，抽中至少2道会的备选题的结果有：(),,a b c ，(),,a b E ，(),,a b F ，(),,a c E ，(),,a c F ，(),,b c E ，(),,b c F 共7种，所以学生乙可参加复赛的概率2710P =因为12P P <，所以学生乙选方案二进入复赛的可能性更大.【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算，考查古典概型的概率的计算和决策，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线260x -+=相切. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点A ，B 为动直线()()20y k x k =-≠与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点E ，使得2EA EA AB +⋅为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22162x y +=；（2）定点为7(,0)3E ，59EA EB ⋅=-. 【解析】试题分析:（1）求得圆O 的方程，由直线和圆相切的条件:d r =，可得a 的值，再由离心率公式，可得c 的值，结合,,a b c 的关系，可得b ，由此能求出椭圆的方程；（2）由直线(2)y k x =-和椭圆方程，得()222213121260kxk x k +-+-=，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在x 轴上存在点E ，使EA EB ⋅为定值，定点,则可求解. 试题解析：（1）由e =得c a =，即c =① 又以原点O 为圆心，椭圆C 的长轴长为半径的圆为222x y a +=，且与直线260x -+=相切，所以a ==2c =，所以2222b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22162x y +=.（2）由()221{622x y y k x +==-得()222213121260k x k x k +-+-=， 设()11A x y ，，()22B x y ，，所以21221213k x x k +=+，212212613k x x k -=+，根据题意，假设x 轴上存在定点()0E m ，， 使得()2EA EA AB EA AB EA EA EB +⋅=+⋅=⋅为定值， 则()()()()11221212EA EB x m y x m y x m x m y y ⋅=-⋅-=--+，，()()()()22221212124k x x k m x x k m =+-++++()()222231210613m m k m k -++-=+要使上式为定值，即与k 无关，()223121036m m m -+=-， 得73m =. 此时，22569EA EA AB m +⋅=-=-，所以在x 轴上存在定点703E ⎛⎫⎪⎝⎭，使得2EA EA AB +⋅为定值，且定值为59-.【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题, 椭圆的标准方程,考查满足条件的定点是否存在的判断与求法，属于中档题，解决存在性问题应注意以下几点：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；（2）当给出结论而要推导出存在条件时，先假设成立，再推出条件；（3）当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径. 21.已知函数()f x kx =，ln ()xg x x=. （1）求函数ln ()xg x x=的单调区间； （2）若不等式()()f x g x ≥区间(0,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围；（3）求证：4444ln 2ln 3ln 4ln 12342n n e++++< 【答案】（1）函数ln ()xg x x=的单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞（2）12k e ≥（3）见解析.【解析】试题分析：（1）求出()'g x ，由()'0g x >，结合函数的定义域解得x 的范围，就是函数的增区间；（2）问题转化为k 大于等于()h x 的最大值，利用导数求得函数()h x 有最大值，且最大值为12e ，得到12k e≤；（3）先判断()42ln 1122x x x e x <⋅≥，得4444222ln 2ln 3ln 4ln 1111......234223n n e n ⎛⎫++++<+++ ⎪⎝⎭，用放缩法证明222111...123n +++<，即得要证的不等式. 试题解析：（1）∵()ln xg x x=，故其定义域为()0,+∞， ∴()21ln xg x x -'=，令()0g x '>，得0x e <<，令()0g x '<，得x e >. 故函数()ln xg x x=的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为(),e +∞.（2）∵0x >，ln x kx x ≥，∴2ln x k x ≥，令()2ln xh x x=又()312ln xh x x-'=，令()0h x '=解得x =当x 在()0,+∞内变化时，()h x '，()h x 变化如下表由表知，当x =()h x 有最大值，且最大值为12e ，所以，12k e≥ （3）由（2）知2ln 12x x e ≤，∴42ln 11•2x x e x ≤（2x ≥） ∴444222ln2ln3ln 111123223n n e n ⎛⎫+++<+++ ⎪⎝⎭()22211111111111111123122312231n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+++=--++-=-< ⎪⎪ ⎪⨯⨯--⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴444222ln2ln3ln 11111232232n n e n e⎛⎫+++<+++< ⎪⎝⎭ 即444ln2ln3ln 1232n n e+++< 【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.本题（2）是利用方法 ① 求得k 的最大值.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，直线3:14x tl y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴为正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos24ρθ=-. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）点()0,1P ，直线l 与曲线C 交于M ，N ，求11PM PN+的值. 【答案】（1）22144-=y x （2）15【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，极坐标方程与直角坐标方程进行转化.（2）借助直线参数方程中t 的几何意义，利用一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果.【详解】解：（1）∵曲线C 的极坐标方程为2cos24ρθ=-，即2222cos sin 4ρθρθ-=-. ∴曲线C 的直角坐标方程为224x y -=-，即22144-=y x . （2）将直线3:14x t l y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），令'=5t t 转换为：35415x t y t ''⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（'t 为参数），代入曲线22144-=y x ， 得到：'2'740750t t +-=， 所以''12407t t +=-，''12757t t =-（'1t 和'2t 为M 和N 对应的参数）， 则''12''1211t t PM PN t t -+==15=. 故11PM PN +. 【点睛】本题考查考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，考查直线参数方程中t 的几何意义的运用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想.属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()|25||21|f x x x =--+.（1）求不等式()1f x >的解集；（2）若不等式，()|42||||4|f x x t m t m ++>--++对任意x ∈R ，任意t R ∈恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）(,1)-∞ 【解析】【分析】(1) 利用零点分区间法去掉绝对值符号分类讨论求并集 ()2不等式等价变形，由三角不等式()|25||21|6h x x x =-++≥，|||4||(4)||4|t m t m t m t m m m --++--++=++得到6|4|m m >++求解【详解】解：（1）由题可知：()56,21544,2216,2x f x x x x ⎧->⎪⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪<-⎪⎩不等式()1f x >等价于1,261x ⎧-⎪⎨⎪>⎩或15,22441x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+>⎩或5,261,x ⎧⎪⎨⎪->⎩即12x -或1324x -<< 所以不等式()1f x >的解集为3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. （2）()|42||||4|f x x t m t m ++>--++等价于|25||21||||4|x x t m t m -++>--++. 令()|25||21|h x x x =-++，则()|25(21)|6h x x x --+=，当且仅当()()25210x x -+≤时，即15,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时取得等号. 所以min ()6h x =.而|||4||(4)||4|t m t m t m t m m m --++--++=++，所以6|4|m m >++，所以646m m m -<+<-，解得1m <，即m 的取值范围为(,1)-∞.【点睛】本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法及利用三角不等式解恒成立问题. （1）含有两个绝对值符号的不等式常用解法可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解（2）利用三角不等式a b a b a b －＋把不等式恒成立问题转化为函数最值问题.。