最优控制综述
摘要：最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。

从经济意义上说，是在一定的人力、物力和财力资源条件下，使经济效果达到最大（如产值、利润），或者在完成规定的生产或经济任务下，使投入的人力、物力和财力等资源为最少。

而最优控制通常针对控制系统而言，目的在于使一个机组、一台设备或一个生产过程实现局部最优。

本文重点阐述了最优系统常用的变分法、极小值原理和动态规划三种方法的基本理论及其在典型系统设计中的应用。

关键词：变分法、极小值原理、动态规划
1 引言
最优控制是分析控制系统常用的方法，是现代控制理论的核心之一。

它尤其与航空航天的制导、导航和控制技术密不可分。

最优控制理论所研究的问题可以概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标最优。

这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。

例如，确定一个最优控制方式使空间飞行器由一个轨道转换到另一轨道过程中燃料消耗最少，选择一个温度的调节规律和相应的原料配比使化工反应过程的产量最多，制定一项最合理的人口政策使人口发展过程中的老化指数、抚养指数和劳动力指数为最优等，都是一些经典的最优控制问题。

最优控制问题是要在满足约束条件下寻求最优控制函数，使目标泛函取极值。

求解动态最优化问题的方法主要有古典变分法，极小值原理及动态规划法等。

2 研究最优控制的前提条件
2.1状态方程
对连续时间系统:
x t=f x t,u t,t
对离散时间系统：x(k+1)=f x k,u k,k k=0,1,……，（N-1）
2.2作用域
控制矢量u(t)往往不能任意取值，必须受到某些物理限制。

即u（t）要满足某些约束条件在R r中把所有满足上式的点u（t）的集合。

2.3 系统状态的初始条件以及终端条件
始端和终端条件却给出了系统状态在系统控制开始和结束时刻的约束条件。

端点条件一般有三种类型：固定端、自由端和可变端。

固定端就是时间和状态值都是固定的端点。

例如初始时间t0及其初始状态x（t0）都固定就称始端固定条件，而终端时间t f及其终端状态x（t f）都固定就称终端固定条件。

一般来说，两端固定是最简单的情况。

自由端是指端点时间固定，但端点状态值不受任何限制的端点。

有始端自由和终端自由两种。

可变端就是端点时间及其状态值都可变的端点。

2.4最优控制问题分类
①按状态方程分类：连续最优化系统、离散最优化系统。

②按控制作用实现方法分类：开环最优控制系统、闭环最优控制系统。

③按性能指标分类：最小时间控制问题、最少燃料控制问题、线性二次型性能指标最优控制问题、非线性性能指标最优控制问题。

④按终端条件分类：固定终端最优控制问题、自由终端（可变）最优控制问题、终端时间固定最优控制问题、终端时间可变最优控制问题。

⑤按应用领域来分：终端控制问题、调节器问题、跟踪问题、伺服机构问题、效果研究问题、最小时间问题、最少燃料问题。