2
协态方程与 x ( t )、u( t )无 关 ， 若 令 1 (0)＝c1， 2 (0)＝c2， 则 协态方程的解为
1 ( t )＝c1 cos t c2 si nt 2 ( t )＝ c1 si nt c2 cos t D si n ( t )
其 中D与是 与c1、c 2 有 关 的 常 数 。 由 哈 密 函 顿数的性质 1 1 ( t ) x 2 ( t ) 2 ( t )u( t ) 2 ( t ) x1 ( t )＝0 可 知c1、c2 不 同 时 为 零 。 再 由 极 值 条 件 u* ( t ) sgn 2 ( t )得
1
应用极小值原理，最优 解的必要条件为： 1 (t ) x2 1 ）正则方程 x 2 (t ) x1 u x (t )＝ 1 (t )＝ 2 H 2 (t ) x1 H 1 (t ) x2
其中H ( x, u, ) 1 1 (t ) x2 (t ) 2 (t )u (t ) 2 (t ) x1 (t ) 2）边界条件 3）极值条件 即 x1 (0) x10，x2 (0) x20 x1 (t f ) 0，x2 (t f ) 0 H ( x* (t ), u * (t )， (t )) min H ( x* (t ), u (t )， (t ))
9
二、最优轨线的倒数二 第段及倒数第二条 开关曲线
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最优轨线的倒数第二最 段多为半圆。 r1表 示 借 助 于 u 1能 准 确 地 经 过 个 单 位 时 间 到 达r0的 状 态 集 合 。
2 r1 x1 , x 2 : x1 3 x 2 1，x 2 0 2
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r1表 示 借 助 于 u 1能 准 确 地 经 过 个 单 位 时 间 到 达r0的 状 态 集 合 。
2 r1 x1 , x 2 : x1 3 x 2 1，x 2 0 2


1 R 表示借助于 u 1能 以 小 于 个 单 位 时 间 到 达 r0
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综上所述，问题 4.4.7的 时 间 最 优 控 制 可 表 为 示 1, u 1,
*
对( x1 , x 2 ) R r 对( x1 , x 2 ) R r
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达rj 1的 状 态 集 合 。
j R（ u 1能 以 小 于 个 单 位 时 间 到 j 1, 2, )表 示 借 助 于
达rj 1的 状 态 集 合 。 可 见R 是 开 关 曲 线 r上 方 所 有 状 态 的 集 合 而 ，R 是 开 关 曲 线 r 下方所有状态的集合
u* ( t ) sgnD si n ( t )
3
由u* ( t )与2 ( t )随 时 间 变 化 的 图 形 ， 见 可u* ( t )具 有 如下特点： （ 1 ） u* ( t )切 换 次 数 的 上 限 值 不 确 能定 ， 因 此 无 法 确 定 候 选 的 最 优 控 制列 序。 （ 2 ） 除首尾两段外， u ( t )在 其 边 界 值 上 的 持 续 时 间 为， 在 首 尾 两 段 的 持 续 间 时小 于 或 等 于 。
*
4
u( t ) 1， 状态方程的解为 x1 ( t )＝ x10 u cos t x20 sint u x2 ( t )＝ x10 u sint x20 cos t 上 面 两 式 两 边 平 方 后相 再加 ， 可 得 状 态 轨 迹程 方
x1 (t ) u2 x 2 (t )＝ x10 u2 x 2
的状态集合。
1 R 为开关曲线 r0、r0、r1与 以( 1,0)为 圆 心 ， 3为 半 径
的下半圆所界定的区内 域的所有点的集合。 r1 是 倒 数 第 二 条 控 制 由 1切 换 到 1的 开 关 曲 线 。 因此倒数第二条开关线 曲 为r1或r1。
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三、推广到一般情况 令rj，j 0,1,2, , 表 示 以 ( 2 j 1,0)为 圆 心 的 单 位 圆 的 下 圆 半。 令rj，j 0,1,2, , 表 示 以 ( ( 2 j 1),0)为 圆 心 的 单 位 圆 的 上 圆 半。 rj 是 借 助 于 u 1能 准 确 地 经 过 个 单 位 时 间 到 达 rj 1的 状 态 集 合 。 rj 是 借 助 于 u 1能 准 确 地 经 过 个 单 位 时 间 到 达 rj 1的 状 态 集 合 。 问 题4.4.7的 开 关 曲 线 定 义 为 ： j j r r r r r j 0 j 0 其 中r rj 表 示 所 有 从 1切 换 到 1的 开 关 曲 线 。


1 R 表示借助于 u 1能 以 小 于 个 单 位 时 间 到 达 r0
的状态集合。
1 R 为开关曲线 r1、r0、r0与 以( 1,0)为 圆 心 ， 3为 半 径
的上半圆所界定的区内 域的所有点的集合。 r1 是 倒 数 第 二 条 控 制 由 1切 换 到 1的 开 关 曲 线 。
r
x , x : x
1 2
2 1 x ，x 2 1 2 1 2
0
8
r0 是 控 制 最 后 一 次 由 1切 换 到 1的 开 关 曲 线 。 r0 是 控 制 最 后 一 次 由 1切 换 到 1的 开 关 曲 线 。 最后一条开关曲线为 r0或r0。
4.4.4 无 阻 尼 振 荡 二 阶 系 统 时 的间 最 优 控 制 1 x 2，x 2 x1 u， 求 满 足 问 题4.4.7 已知受控系统 x 约 束 u( t ) 1的 最 优 控 制 规 律 u* ( t )， 使 系 统 由 任 意 初 态 x10 , x 20 转 移 到 状 态 空 间 原 点 时 的间 最 短 。 系统的特征值为纯虚数 应用定理 4.4.1 ～4.4.6， 可 知 系 统 是 正 常 的 时 ，间 最 优 控 制 存 在 ， 且 唯 一是 ，Bang Bang控 制 。
u ( t )V
u * (t ) sgn 2 (t )
4) H ( x* (t ), u * (t )， (t )) H ( x* (t *f ), u * (t *f )， (t *f )) 0 即 1 1 (t ) x2 (t ) 2 (t )u (t ) 2 (t ) x1 (t ) 1 1 (t f ) x2 (t f ) 2 (t f )u (t f ) 2 (t f ) x1 (t f ) 0
2
20
r2
5
状 态 轨 迹 为 两 族 同 心， 圆系 统 沿 状 态 轨 迹 按 顺 时 针 方 向 等 速 运 动转 ，一 周 的 时 间 为 2。
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一、最优轨线的最后段 一及最后一条 开关曲线
7最 优 轨 线 的 来自 后 一 段定 必 是r0或r0的 一 部 分 。
2 r x1 , x 2 : x1 1 x 2 1，x 2 0 0 0 2
j 0
r rj 表 示 所 有 从 1切 换 到 1的 开 关 曲 线 。
j 0

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再 令R Rj
j 1

R Rj，
j 1 j 其 中R（ u 1能 以 小 于 个 单 位 时 间 到 j 1,2, )表 示 借 助 于