西安交通大学
级研究生课程考试试题
考试（查）科目：有限元方法（II ）时间 年 月 日下午
一、4
)
4,4(),()5,5(),()2,6(),()2,2(),(4
4332211====y x ，
y x ，y x ，　y x
母体单元为22⨯的正方形，如图所示。

求：（1）单元坐标变换()(ξηξ,,,
y y x x == （2）变换的Jacobi 行列式detJ 的解析表达式，并分析该变换是否存在奇异性（8分）。

二、分析以下两种单元的位移场是否具备收敛到真实解所需的各项条件。

（30）
（1） 13结点矩形平面应力单元
结点参数取为：)13~
1(
,=i v u i i 位移场为：
3
132
2
123
113
102
92
83726524321xy
y x y x y xy y x x y xy x y x u ααααααααααααα++++++++++++=
3
262
2
253
243
232
222
2132021918217161514xy
y x y x y xy y x x y xy x y x v ααααααααααααα++++++++++++=（2） 6自由度三角形薄板弯曲单元 结点参数取为：
()3~1=i w i ()6~4=⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂i n w i
位移场为：
2
652
4321y xy x y x w αααααα+++++=
三、13结点平面应力单元如图所示， 在计算单元刚度矩阵时取图示的9个 积分点。

试分析在单元一级是否存在 出现零变形能位移模式的可能性。

,u
x
7 8 10
9
11 12 1
2
3
4 5
6
四、图示8结点平面应力单元厚度为t ， 沿结点481－－所在边作用图示分布载 荷，最大压强为q 。

求与上述载荷对应
的结点8处的等效结点力的大小，并图 示其方向（16分）。

五、图示二维问题，在结点A 、B 与C 、D
之间为光滑接触。

试用罚函数法实现对此约
束关系的描述，（1）写出对总体坐标系的约
束关系式（5分），（2）若该问题的能量泛函为
请写出相应的“修正泛函”的表达式（5分）。

六、三结点一维等参元如图所示，设单元自由 度为321,,u u u 。

若假设单元内的位移场如下列 三种形式，试分别讨论它们是否具备收敛到真实
解所要求的各项条件（12分）。

（1）()332211x x x u ααα+++=
（2）(
)
3
2321x x x u +++=ααα （3）()33211x x x u ααα+++=
七、图（a ）所示的构件化为图（b ）所示的 梁模型，由梁的直面可知结点3与4之间的 自由度不独立。

每个结点有三个自由度，即
i i i v u θ,,。

现取结点4为主结点，结点3为
从属结点，试写出约束关系式及单元e 的自 由度{}{}T
v u v u d 3332221θθ=
转换成{}{}v u v u d 444
222
2θθ=的转换矩阵（{}[]{}21d T d =）（8分）
7 4 （-1， 1）
3
1 x,u
2 1
(a,)。