（1）约束——限制质点自由的条件 （2）约束方程——表明约束条件的方程（约束条件往往可用方程的 形式给出称为约束方程）。
钢丝
y
x2 = 4ay
小环
x 例：钢丝为抛物线，小环作约束运动，约束方程 2 = 4ay 。
x
（3） 约束反力——约束物（钢丝）对被约束的质点所施加的作用力。
O
注：
（1）约束反力不仅取决于约束本身，还与作用在质点上的其他力及质点本身的运动状态有 关（举例）；
=
0
方程通解 x = A cos (w0t + j ) ——振子的运动方程
×
×
设初始条件为 t = 0 时， x = x0 , x = x0
e0
×
由运动方程可得 x = - Aw0 sin (w0t + j ) 代入初始条件得
A=
x02
+
æ ç
ç è
×
x0
w
ö2 ÷
÷ ø
， tanj
=
-
×
x0
w x0
（2）单靠约束反力不能引起质点的任何运动，∴称约束反力为被动力（一般未知）， 而像：万有引力、电磁力等为主动力；
（3）摩擦力为被动力，因此也属于约束反力。 2、 求质点约束运动的方法——去掉约束，代之以约束反力（隔离体法） 3、 质点约束运动的微分方程
设质点所受主动力的合力为
ur F
æ ç
r r,
r× r
第二讲 质点的运动微分方程及有关应用
教学时间
教学目的要求：
1 使学生深刻理解牛顿运动三定律的内涵和伽利略力学相对性原理的意义。 2 使学生熟练运用牛顿运动定律，列出有关实际问题的运动微分方程并能进行求解。 重点：质点运动微分方程的建立，初始条件的确立。
难点：对力仅是速度函数的情况下运动方程的求解。
教学方法：通过典型实例研究各种情况的运动微分方程及求解。
uur 例：质量为的物体以初速度 v0 与水平方向成a 角抛出，物体在
y
ur
r
uur
运动过程中所受阻力 f = -mkv ，求此抛射体的轨道
v0
解：将抛射体视作质点为研究对象
ur ur
以抛射点为坐标原点，质点的运动平面为坐标面（质点作平面
f mg
x
曲线运动）建立竖直坐标系 o - xy ，如图所示
ur r
××
x
=
Fx
æ çè
x,
y,
z;
×
x,
×
y,
×
z; t
ö ÷ø
1、
在直角坐标系下
ïím ï
××
y
=
Fy
æ çè
x,
y,
z;
×
x,
×
y,
×
z; t
ö ÷ø
ï ïm î
××
z
=
Fz
æ çè
x,
y,
z;
×
x,
×
y,
×
z;
t
ö ÷ø
解此方程组，会出现六个积分常数，由初始条件确定，
t
=
0时 ,
ìï x í×
=
+
kv0
g cosa
ö ÷ ø
x
+
g k2
ln
æ ç1 è
v0
kx cos a
ö ÷ ø
将轨道方程进行级数展开 f ( x) = f (0) + f ' (0) x + f '' (0) x2 + ....... + f (n) (0) xn + .......，
2!
n!
得 y = tan a x - g x2 - kg x3 - .......
讲授要点及内容：
一、牛顿运动定律的物理意义（对牛顿运动定律的复习）
1、 牛顿定律是经典力学的基础，整个经典力学大厦就是以牛顿定律为基础建立起来的。 2、 牛顿定律只适用于一种特殊的参考系——惯性系。 3、 牛顿定律的理论基础是伽利略力学相对性原理——对于力学规律而言，所有的惯性系都 是等价的。
二、质点的两种运动形式
x x
（其中两个角由题中所给已知条件确定一个）
（关于三维简谐运动同学自己阅读）
ur ur
3、 力仅是速度的函数—— F = F (v)
以抛射体为例，这类问题比较复杂，可在自然坐标系下求解（同学自己看书）也可在直角坐
标系下求解。在此，我们研究最简单的情况，抛射体运动过程中所受阻力与速度成正比，且
抛射体可视为质点。
ìïm ï
dv dt
=
Ft
+
Rt
运动微分方程
ïím ï
v2 r
=
Fn
+
Rn
ï0 ï
=
Fb
+
Rb
î
平面运动无此方程
（1） 光滑线约束——无 Rt 分量。
通过第一个方程可求质点运动规律，后两个方程确定约束反力，这样分开求解对解决问题带 来极大方便，这就是利用内禀方程求解光滑线约束的优越性。 （2） 非光滑线约束——质点受到沿切线方向的摩擦力作用。
力要受到空间、时间、速度等的影响（例跑步、骑车、坐汽车时感受到的风力不同），
一般情况下，力是
r r,
r× r,
t
的函数，即
ur F
=
ur F
æ ç
r r,
r× r,
t
ö ÷
èø
根据牛顿运动定律得出质点的运动微分方程为
m
r×× r
=
ur F
æ ç
r r,
r× r,
t
ö ÷
——二阶常微分方程。
èø
ìïm ï
2v02 cos2 a
3v03 cos3 a
当 x 取值很小时，即 kx = 1 ，可略去高阶小量，轨道方程为 v0 cosa
y = tana x -
g
x2 ——初始一小段时间为二次抛物线
2v02 cos2 a
x 取值越大，轨道形状越偏离抛物线，当 x ® v0 cosa 时， y ® ¥ 轨道为竖直直线 k
解方程（2）
y
=
C
+
De-kt
-
g
t,
×
y
=
Dke - kt
-
g
k
k
（3）
代入初始条件，得
D
=
-
æ çè
v0 k
sin a
+
g k2
ö ÷ø
，则
y
=
C
-
æ çè
v0 k
sin a
+
g k2
ö ÷ø
e-
kt
-
g k
t
再代入初始条件得 C
=
v0 k
sin a
+
g k2
( ) 则抛射体沿
y
轴的运动方程为
y
例：沿 x 轴有一振荡电场 Ex = E0 cos (wt + q ) ，求自由电子沿此电场的运动方程
初始条件 t = 0 时， x = x0 , v = v0x
解：由已知可得自由电子所受的主动力为 F = -eEx = -eE0 cos (wt + q )
其运动微分方程
m
dv dt
=
-eE0
cos (wt
ì ïïm í
æ ç è
××
r
-
×
rq 2
ö ÷ ø
=
Fr
æ çè
r,q ;
××
r,q
;t
ö ÷ø
ïïîm
æ çè
r
××
q
+
2
×
r
×
q
ö ÷ø
=
Fq
æ çè
r,q
;
××
r,q
;t
ö ÷ø
3、 在自然坐标系下：当质点运动轨迹已知时，可采用此坐标系
ìïm ï
dv dt
=
Ft
ï í ï
m
v2 r
=
Fn
ï0 ï
ur ur
r
振子位于处所受的作用力： mg, f = -k (e0 + x) i
××
根据牛顿定律列质量运动微分方程 m x = mg - k (e0 + x)
（1）
由已知条件得 mg - ke0 = 0 （2）
由（1）（2）两式得
××
x+
k m
x
=
0
，令 w02
=
k m
，方程改写为
××
x+ w02 x
+q
)
积分并代入初始条件 t = 0, v = v0x
得v=Leabharlann dx dt=v0 x
+
eE0 mw
sin q
-
eE 0 mw
sin (wt
+q
)
二次积分代入初始条件 t = 0, x = x0
得
x
=
x0
-
eE0 mw 2
cosq
+
æ çè
v0
x
+
eE0 mw
sin q
ö ÷ø
+
eE 0 mw 2
cos (wt
受力分析 mg, -mk v
××
×
根据牛顿定律列方程 m x = -mk x
××
×