常系数线性微分方程的解法摘要：本文对常系数线性方程的各种解法进行分析和综合，举出了每个方法的例题，以便更好的掌握对常系数线性微分方程的求解. 关键词：特征根法；常数变易法；待定系数法Method for solving the system of differential equationwith Constant Coefficients LinearAbstract: Based on the linear equations with constant coefficients of analysisand synthesis method, the method of each sample name, in order to better grasp of the linear differential equation with constant coefficients of the solution.Key Words: Characteristic root ；Variation law ；The undetermined coefficientmethod前言：常系数性微分方程因形式简单，应用广泛，解的性质及结构已研究的十分清楚，在常微分方程中占有十分突出的地位。

它的求解是我们必须掌握的重要内容之一，只是由于各种教材涉及的解法较多，较杂，我们一般不易掌握，即使掌握了各种解法，在具体应用时应采用哪种方法比较适宜，我们往往感到困难。

本文通过对一般教材中涉及的常系数线性微分方程的主要解法进行分析和比较，让我们能更好的解常系数线性微分方程。

1．预备知识 复值函数与复值解如果对于区间a t b ≤≤中的每一实数t ，有复值()()()z t t i t ϕψ=+与它对应，其中()t ϕ和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数，i =是虚数单位，我们就说在区间a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ϕ，()t ψ当t 趋于0t 时有极限，我们就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限，并且定义()()()0lim lim lim t t t t t t z t t i t ϕψ---=+.如果()()00lim t t z t z t -=，我们就称()z t 在0t 连续.显然，()z t 在0t 连续相当于()t ϕ，()t ψ在0t 连续.当()z t 在区间a t b ≤≤上每一点都连续时，就称()z t 在区间a tb ≤≤上连续.如果极限()()000limt t z t z t t t ---存在，就称()z t 在0t 有导数（可微）.且记此极限为()0dz t dt或者()'0z t ，显然()z t 在0t 处有导数相当于()t ϕ，()t ψ在0t 处有导数，且()()()000dz t d t d t i dt dt dtϕψ=+. 如果()z t 在区间a t b ≤≤上每点都有导数，就称()z t 在区间a t b ≤≤上有导数.对于高阶导数可以类似地定义.设()1z t ，()2z t 是定义在a t b ≤≤上的可微函数，c 是复值常数，容易验证下列等式成立：()()()()1212dz t dz t dz t z t dt dt dt +=+⎡⎤⎣⎦，()()11dz t d cz t c dt dt⎡⎤=⎣⎦， ()()()()()()122211dz t dz t d z t z t z t z t dt dt dt⎡⎤•=•+⎣⎦. 在讨论常系数线性微分方程时，函数Kt e 将起着重要的作用，这里K 时复值常数.我们现在给出它的定义，并且讨论它的简单性质。

设K i αβ=+时任依复数，这里α，β是实数，而t 为实变量， 我们定义()()cos sin i Kt t t e e e t i t αβαββ+==+. 由上述定义立即推得()1cos 2i ti t t e e βββ-=+， ()1sin 2i t i t t e e iβββ-=-.2．常系数齐次线性微分方程解法分析 形如()()()1'11...n n n n y a y a y a y f x --++++= (1)的方程称为n 阶常系数线性非齐次方程，其中()1,2,...,i a R i n ∈=，如果()0f x =，即()()1'11...0nn n n y a y a y a y --++++= (2)称为n 阶常系数线性齐次微分方程.为求(2)的解，可以用特征根法（或称Euler 待定指数函数法），其基本思想是将微分方程（2）的求解问题转化为代数方程：111...0n n n n a a a λλλ--+++= (3)的求根问题，而不必经过积分运算，只要求出方程(3)的全部根，就能写出方程(3)的通解，问题彻底解决.根据解的结构定理，只要求出方程(1)的的任一特解*y ，借助于方程(2)的通解，就可写出方程(1)的通解。

求方程(1)的特解*y 的方法有常数变易法，待定系数法，拉普卡斯变换法。

常数变易法是求特解(1)较一般方法，适用于较为一般的函数()f x ，缺点是计算较为繁琐，而且还必须进行积分运算，可能会遇到积分上的困难，此解决还有一个缺点是()()'1,2,...,i c x i n =满足的方程组不易推导，因此在求方程(1)的特解*y 时，一般不提倡此法。

其余二种解法只适用于()()()cos sin x m k f x e P x x Q x x αβ=+⎡⎤⎣⎦（其中,R m k αβ∈，，为非负整数，()()m k P x Q x ，分别是m 次和k 次实系数多项式）. 3.一阶常系数线性方程组的解法分析 形如()dyAy F x dx=+ (4)的方程组称为一阶常系数线性非齐次方程组. 其中()1,2,...Tn y y y y =，()ij n nA a ⨯=，()()()()()12,,...,Tn F x f x f x f x =.当()0F x =时，即dyAy dx= (5) 称为一阶常系数线性齐次方程组.求方程组(5)的解，一般需先考虑A 的特征根。

当A 的特征根为单根时，用特征根法，此时只需提出每个特征根所对应的特征根向量，便可得到方程组(5)的通解；（当特征根时单复根时，需引入复根的概念在经过技术处理得到实解）；当A 的特征根有重根时，用特定系数法，也可以用A 的特征根求出指数矩阵Ax e 而得到方程组(5)的通解，还可以不考虑A 的特征根，Laplace 变换法求解，至于求方程组(4)的某一特征解*y ，一般用常数变易法. 4.典型例题 4.1特征根法例1 求方程440d xx dt-=的通解.解 特征方程410λ-=的根为12341,1,,.i i λλλλ==-==-有两个实根和两个复根，均是单根，故方程的通解为1234cos sin t t x c e c e c t c t -=+++，这里1234,,,c c c c 是任意常数.例2 求解方程424220.d x d xx d t d t++=解 特征方程为42210λλ++=，或()2210λ+=，即特征根是重根.因此，方程有四个实值解cos ,cos ,sin ,sin ,t t t t t t故通解为()()1234cos sin x c c t t c c t t =+++，其中1234,,,c c c c 为任意常数.例3 求方程3232330d x d x dxx dt dt dt-+-=的通解.解 特征方程323310,λλλ-+-=或()310,λ-=即1λ=是三重根，因此方程的通解具有形状()2123,t x c c t c t e =++其中1234,,,c c c c 为任意常数. 4.2常数变易法例 1 求方程''1cos x x t+=的通解，已知它的对应齐次线性微分方程的基本解组为cos ,sin .t t解 应用常数变易法，令()()12cos sin ,x c t t c t t =+将它带入方程，则可得决定()'1c t 和()'2c t 得两个方程()()''12cos sin 0,tc t tc t +=及 ()()''121sin cos ,cos tc t tc t t-+= 解得()()''12sin ,1,cos t c t c t t=-= 由此()()1221ln cos ,.c t t c t t γγ=+=+于是原方程的通解为12cos sin cos ln cos sin ,x t t t t t t γγ=+++其中12,γγ为任意常数.例2 求方程'''2tx x t -=于域0t ≠上的所有解解 对应的齐次线性微分方程为'''0,tx x -=求得它的基本解组.事实上，将方程改写成'''1,x x t= 积分即得',x At =所以21,2x At B =+这里,A B 为任意常数 易见基本解组21,t 为应用上面的结论，我们将方程组改写为'''1,x x t t-=并以()()212x c t c t t =+代入，可得决定()'1c t 和()'2c t 的两个方程()()'2'120c t t c t +=和()'22,tc t t =于是()()322,1111,26c t t c t t γγ=+=-+故得原方程组的通解为23121,3x t t γγ=++这里12,γγ是任意常数，它包含了方程组的所有解. 4.3比较系数法例1 求方程222331d x dxx t dt dt--=+的通解.解 先求对应的齐次线性微分方程22230d x dxx dt dt--= 的通解.这里特征方程2230λλ--=有两个根123,1λλ==-.因此，通解为312t t x c e c e -=+，其中12,c c 为任意常数.再求非齐次线性微分方程的一个特解.这里0λ=又因为0λ=不是特征根，故可取特解形如x A Bt =+，其中,A B 为特定常数，为了确定,A B ，将x A Bt =+代入原方程，得到23331,B A Bt t ---=+比较系数得33,231,B B A -=⎧⎨--=⎩由此得11,3B A =-=，从而13x t =-，因此，原方程的通解为31213t t x c e c e t -=+-+.例2 求方程2223t d x dxx e dt dt---=的通解.解 从上例知道对应的齐次线性微分方程的通解为312t t x c e c e -=+其中12,c c 为任意常数.现求原方程的一个特解,这里()t f t e -=,因为1λ=-刚好特征方程的单根,故有特解形如t x Ate -=,将它代入原方程得到4t t Ae e ---=,从而14A =-,于是14t x te -=-,而原方程的通解为31214t t t x c e c e te --=+-.例3 求方程2244cos 2d x dxx t dt dt++=的通解解 特征方程2440λλ++=有重根122λλ==-因此，对应的其次线性微分方程的通解为212(),t x c c t e -=+其中12,c c 为任意常数。