2、
x
(C1
C2t
)e
5t 2
；
3、 y e3x (C1 cos 2x C2 sin 2x)；
4、 y C1e2x C2e2x C3 cos 3 x C4 sin 3 x.
二、1、
y
e
x 2
ห้องสมุดไป่ตู้(2
x)；
2、 y e2x sin 3x .
三、 y y 0. (提示: 1, e x 为两个线性无关的解)
三、求 作 一 个 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 , 使 1 , e x , 2e x , e x 3都是它的解 .
四、设圆柱形浮筒,直径为0.5m,铅直放在水中,当稍
向下压后突然放开,浮筒在水中上下振动的 周期为2s,求浮筒的质量 .
练习题答案
一、1、 y C1 C2e4x ；
y C1 y1 C2 y2 Cn yn
例3 求方程 y(5) y(4) 2 y(3) 2 y y y 0 的通解. 解 特征方程为 r 5 r 4 2r 3 2r 2 r 1 0,
(r 1)(r 2 1)2 0,
特征根为 r1 1, r2 r3 i, r4 r5 i, 故所求通解为 y C1ex (C2 C3 x)cos x (C4 C5 x)sin x.
特征方程的根 若是k重根r
通解中的对应项
(C0 C1 x Ck1 xk1 )erx
若是k重共轭
复根 i
[(C0 C1 x Ck1 xk1 )cosx (D0 D1 x Dk1 xk1 )sinx]ex
注意
n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个 根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个 任意常数.
四、 M 195kg.
故所求通解为 y (C1 C2 x)e2x .
例2 求方程 y 2 y 5 y 0 的通解. 解 特征方程为 r 2 2r 5 0 ,
解得 r1，2 1 2i , 故所求通解为
y ex (C1 cos 2 x C2 sin 2 x).
三、n阶常系数齐次线性方程解法
y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y 0 特征方程为 r n P1r n1 Pn1r Pn 0
知 u 0, 取 u( x) x, 则 y2 xer1x ,
得齐次方程的通解为 y (C1 C2 x)e r1x ;
有一对共轭复根 ( 0)
特征根为 r1 i , r2 i ,
y1 e( i ) x , y2 e( i ) x ,
重新组合
y1
1 2
(
y1
y2 )
ex cos x,
四、小结
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
(见下表)
y py qy 0 r 2 pr q 0
特征根的情况
实根 r1 r2 实根 r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1er1x C2er2x
y (C1 C2 x)er2 x
y ex (C1 cosx C2 sin x)
思考题 求微分方程 yy y2 y2 ln y 的通解.
思考题解答
y 0,
yy y2 ln y,
y2
y
ln
y,
y
ln
y
x
y , y
ln y ln y,
令 z ln y 则 z z 0, 特征根 1
设 y erx , 将其代入上方程, 得
(r 2 pr q)erx 0
erx 0,
故有 r 2 pr q 0
特征方程
特征根
p r1,2
p2 4q ,
2
有两个不相等的实根( 0)
特征根为r1 p
p2 4q ,
2
r2 p
p2 4q ,
2
两个线性无关的特解
y1 e r1x ,
通解 z C1e x C2e x ln y C1e x C2e x .
练习题
一、求下列微分方程的通解:
1、y 4 y 0；
2、4
d2x dt 2
20
dx dt
25 x
0；
3、 y 6 y 13 y 0； 4、 y(4) 5 y 36 y 0.
二、下列微分方程满足所给初始条件的特解: 1、4 y 4 y y 0 , y x0 2 , yx0 0； 2、 y 4 y 13 y 0 , y x0 0 , yx0 3.
y2 e r2x ,
得齐次方程的通解为
y
C e r1x 1
C 2e r2x ;
有两个相等的实根( 0)
特征根为
p r1 r2 2 ,
一特解为 y1 e r1x ,
设另一特解为 y2 u( x)er1x ,
将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简，
u (2r1 p)u (r12 pr1 q)u 0,
一、定义
n阶常系数线性微分方程的标准形式
y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y f ( x)
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
y py qy 0
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
y py qy f ( x)
二、二阶常系数齐次线性方程解法
y py qy 0
-----特征方程法
1 y2 2i ( y1 y2 )
ex sin x,
得齐次方程的通解为
y ex (C1 cosx C2 sinx).
定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法.
例1 求方程 y 4 y 4 y 0 的通解.
解 特征方程为 r 2 4r 4 0 , 解得 r1 r2 2 ,