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相似三角形与圆综合
第一部分：例题分析
例1、已知:如图，ＢＣ为半圆Ｏ的直径,AD⊥ＢC,垂足为D，过点Ｂ作弦BF交ＡD于点Ｅ，交半圆O于点F，弦A
Ｃ与BF交于点Ｈ,且AE=BE． 求证：（1)错误!=错误!；(2）AＨ·BC＝2AB·BE.
例2、如图，PＡ为圆的切线,A为切点，ＰBＣ为割线,∠APC的平分线交AB于点D,交AＣ于点E，求证：(1)ＡＤ=A
Ｅ；(2）ＡB·AE=AC·DＢ.
例３、ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点C在⊙O上,∠BAＣ＝６0°,Ｐ是OB上一点,过P作AB的垂线与ＡC的延长线交于点
Q,连结OC，过点C作CD⊥OC交PQ于点D
.
(１)求证：△CDＱ是等腰三角形； (2)如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO的值.
例4、△ＡBＣ内接于圆O，∠BＡC的平分线交⊙O于D点，交⊙O的切线BE于Ｆ,连结ＢＤ，ＣＤ. 求证:(１)
Ｂ
Ｄ平分∠CBE;(2)ＡＢ·BF=AF·DC
.
例３、 ⊙O内两弦AB，ＣD的延长线相交于圆外一点E,由Ｅ引AD的平行线与直线BC交于Ｆ,作切线FG，Ｇ为切点,
求证：EＦ=FG.
第二部分:当堂练习
1.如图，AＢ是⊙O直径，ED⊥ＡB于D，交⊙O于G,ＥA交⊙O于C，CB交ED于Ｆ，求证：DG2=ＤE•DF
2.如图,弦EF⊥直径MN于H,弦MＣ延长线交EF的反向延长线于A,求证:MA•ＭC＝MB•ＭＤ
--
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D
C
B
A
O
M
N
E
H
3.如图,ＡB、AC分别是⊙Ｏ的直径和弦，点Ｄ为劣弧AC上一点,弦EＤ分别交⊙Ｏ于点E，交AＢ于点Ｈ,交AC于
点F，过点Ｃ的切线交ＥD的延长线于点Ｐ.
（1)若PC＝PＦ,求证：AB⊥ED；
（2)点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD２=DＥ·DF，为什么？
4.如图(1)，AD是△ABC的高，ＡE是△ABC的外接圆直径,则有结论：AB· AC＝AE· AＤ成立，请证明．如果把图(1)
中的∠ABC变为钝角,其它条件不变，如图(2），则上述结论是否仍然成立？
5．如图,AD是△AＢＣ的角平分线，延长AD交△AＢC的外接圆O于点E，过点C、D、E三点的⊙O1与AC的延
长线交于点F，连结EＦ、DF．
(１)求证:△AＥF∽△FＥD; （2)若AD=8,DE＝４，求EF的长.
６．如图，ＰC与⊙O交于B,点A在⊙O上，且∠PCA=∠BＡＰ.
(1）求证:PA是⊙O的切线. (2)△ＡＢP和△CAP相似吗?为什么？
(3）若ＰB:BC=2:3，且PＣ=20,求ＰA的长.
D
C
B
A
O
E
F
7.已知：如图, AD是⊙O的弦，ＯB⊥AＤ于点Ｅ，交⊙O于点C，ＯE=1,BE=8，AＥ:AＢ=1:３．
(１）求证:ＡB是⊙O的切线;
(2)点F是AＣD上的一点,当∠AOF=2∠Ｂ时,求AF的长．
８.如图,⊿ABＣ内接于⊙O，且BC是⊙O的直径,AD⊥BＣ于D，Ｆ是弧ＢC中点,且AF交BC于E,AＢ=6,AC＝8，
求CD,DE，及EF的长.
9． 已知：如图,在RtABC△中,90ACB,4AC,43BC，以AC为直径的O交AB于点D,点E是BC的中
点,连结OD，OB、DE交于点Ｆ．
A
B
C P E D
H F O
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(1)求证:DE是O的切线； (2）求EF:FD的值.
A
B
C
D
E
F
O
1０.如图，A是以BC为直径的O上一点,ADBC于点D,过点B作O的切线,与CA的延长线相交于点
EG，是AD的中点,连结CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB
的延长线相交于点P．
(1)求证:BFEF； (2)求证：PA是O的切线;
(３)若FGBF，且O的半径长为32,求BD和FG的长度．
第三部分 课后作业
1．已知⊙O的半径为35厘米,⊙O的半径为5厘米.⊙O与⊙O相交于点Ｄ、Ｅ.若两圆的公共弦DＥ的长是6
厘米（圆心O、O在公共弦DＥ的两侧),则两圆的圆心距ＯO的长为（ ）
(A）２厘米 （Ｂ）1０厘米 （C）２厘米或１０厘米 (D)4厘米
2．如图，两个等圆⊙O和⊙O的两条切线OA、OＢ,Ａ、B是切点,则∠ＡOＢ等于 （ )
（A）30 (B)45 （C）60 (D）
90
3.如图，在△ＡＢC中，∠ＢAC=90,AB=AC=2，以AB为直径的圆交ＢＣ于Ｄ,则图中阴影部分的面积为 （ ）
（A)1 (Ｂ)2 （C）1＋4 (D）2－4
4.已知圆的内接正六边形的周长为１8，那么圆的面积为 ( )
(A）18π (Ｂ）９π （C)６π （D)3π
5、如图△ABＣ是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截 AB被截成三等分则图中阴影部分的面积是△ABC的
面积的 ( ）
６．已知，如图，以△AＢC的边AＢ作直径的⊙O，分别并AC、BC于点D、E，弦ＦG∥AＢ，S△CＤE︰S△ABC=１︰
O
D G C A E F B
P
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4，DE=5cｍ，FG=８cm，求梯形ＡFＧB的面积．
７.如图，在两个半圆中,大圆的弦ＭN与小圆相切,D为切点,且ＭN∥AB,MN=ａ,ON、CD分别为两圆的半径,求阴影部
分的面积.
８.如图，在RtABC△中,斜边1230BCC，°，D为BC的中点,ABD△的外接圆O⊙与AC交于F点，
过A作O⊙的切线AE交DF的延长线于E点.
(1）求证：AEDE⊥； (2）计算：ACAF·的值．
9．如图,在直角梯形ＡBCD中，ABCD∥，90B,AB=AＤ，∠BAＤ的平分线交ＢC于E，连接ＤE．
(1)说明点Ｄ在△AＢＥ的外接圆上；
(2)若∠AＥＤ=∠ＣED，试判断直线ＣD与△ABE外接圆的位置关系,并说明理由．
10、 如图,在RtABC△中，90A，6AB，8AC,DE，分别是边ABAC，的中点，点P从点D出发
沿DE方向运动,过点P作PQBC于Q,过点Q作QRBA∥交AC于R,当点Q与点C重合时,点P停止运
动．设BQx，QRy.
（1）求点D到BC的距离DH的长；
(2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围)；
(３）是否存在点P，使PQR△为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的x的值;若不存在,请说明理由.
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A
B
C
D
E
R
P
H Q
A
E
F
O
D
B
C