1 第 1 页 共 12 页

【模型解析】 2020 中考专题 8——最值问题之将军饮马 班级 姓名 .

总结：以上四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到：“两点之间，线段最短”解决。 特点：①动点在直线上；②起点，终点固定； 方法：作定点关于动点所在直线的对称点。 【例题分析】 例 1.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为(3， 3 )，

点 C 的坐标为( 1 ，0)，点 2 P 为斜边 OB 上的一动点，则 PA＋PC 的最小值为 ．

例 2.如图，在五边形 ABCDE 中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2， 在 BC、DE 上分别找一点 M、N． (1)当△AMN 的周长最小时，∠AMN＋∠ANM＝ ； (2)求△AMN 的周长最小值．

例 3.如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在边 BC 上且 CE＝1，长为 2 的线段 MN 在 AC 上运动． (1) 求四边形 BMNE 周长最小值； (2) 当四边形 BMNE 的周长最小时，则 tan∠MBC 的值为 ． [南瓜讲数学]系列之中考专题

2 图 5

第 2 页 共 12 页

例 4.在平面直角坐标系中，已知点 A(一 2，0)，点 B(0，4)，点 E 在 OB 上，且∠OAE＝∠OBA．如图，将△AEO 沿 x 轴向右平移得到△AE′O′，连接 A'B、BE'．当 AB＋BE'取得最小值时，求点 E'的坐标．

例 5.如图，已知正比例函数 y＝kx(k＞0)的图像与 x 轴相交所成的锐角为 70°，定点 A 的坐标为(0， 4)，P 为 y 轴上的一个动点，M、N 为函数 y＝kx(k＞0)的图像上的两个动点，则 AM＋MP＋PN 的最小值为 ．

【巩固训练】 1. 如图 1 所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD＋PE 的和最小，则这个最小值为 ．

图 1 图 2 图 3 图 4 2. 如图 2，在菱形 ABCD 中，对角线 AC＝6，BD＝8，点 E、F、P 分别是边 AB、BC、AC 上的动点，PE＋PF 的最小值是 ． 3. 如图 3，在边长为 2 的等边△ABC 中，D 为 BC 的中点，E 是 AC 边上一点，则 BE＋DE 的最小值为 ． 4. 如图 4，钝角三角形 ABC 的面积为 9，最长边 AB＝6，BD 平分∠ABC，点 M、N 分别是 BD、BC 上的动点，则 CM＋MN 的最小值为 ． 5. 如图 5，在△ABC 中，AM 平分∠BAC，点 D、E 分别为 AM、AB 上的动点， (1)若 AC＝4，S△ABC＝6，则 BD＋DE 的最小值为 (2) 若∠BAC＝30°，AB＝8，则 BD＋DE 的最小值为 ． (3) 若 AB＝17，BC＝10，CA＝21，则 BD＋DE 的最小值为 ． [南瓜讲数学]系列之中考专题 第 3

6. 如图 6，在△ABC 中，AB＝BC＝4，S△ABC＝4一点，则 PK＋QK 的最小值为 ． ，点 P、Q、K 分别为线段 AB、BC、AC 上任意

图 6 图 7 图 8 图 9 7. 如图 7，AB 是⊙O 的直径，AB＝8，点 M 在⊙O 上，∠MAB＝20°，N 是弧 MB 的中点，P 是直径 AB 上的一动点，则 PM＋PN 的最小值为 ． 8. 如图 8，在锐角△ABC 中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM＋MN 的最小值是 ． 9. 如图 9，圆柱形玻璃杯高为 12cm、底面周长为 18cm，在杯内离杯底 4cm 的点 C 处有一滴蜂蜜， 此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm． 10. 如图 10，菱形 OABC 中，点 A 在 x 轴上，顶点 C 的坐标为(1， OC、OB 上，则 CE＋DE＋DB 的最小值是 ． )，动点 D、E 分别在射线

图 10 图 11 图 12 图 13 11. 如图 11，点 A(a，1)、B(－1，b)都在双曲线 y＝－ 3 (x＜0)上，点 P、Q 分别是 x 轴、y 轴上 x

的动点，当四边形 PABQ 的周长取最小值时，PQ 所在直线的解析式是 ． 12. 如图 12，点 P 是∠AOB 内任意一点，OP＝5cm，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是 5cm，则∠AOB 的度数是 ． 13. 如图 13，∠AOB＝30°，点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM＝1，ON＝3，点 P、Q 分别在边 OB、OA 上，则 MP＋PQ＋QN 的最小值是 ． 14. 如图 14，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 是 AB 边的中点，过 D 作 DE⊥BC 于点 E． (1)点 P 是边 BC 上的一个动点，在线段 BC 上找一点 P，使得 AP＋PD 最小，在下图中画出点 P； (2)在(1)的条件下，连接 CD 交 AP 于点 Q，求 AQ 与 PQ 的数量关系；

图 14

3 3 [南瓜讲数学]系列之中考专题

第 4

15. 在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，G 为边 AD 的中点． (1) 如图 1，若 E 为 AB 上的一个动点，当△CGE 的周长最小时，求 AE 的长． (2) 如图 2，若 E、F 为边 AB 上的两个动点，且 EF＝4，当四边形 CGEF 的周长最小时，求 AF 的长．

16. 如图，抛物线 y   1 x2  2x  4 交y 轴于点B，点A 为x 轴上的一点，OA=2，过点A 作直线MN  AB 2

交抛物线与 M、N 两点. （1） 求直线 AB 的解析式； （2） 将线段 AB 沿 y 轴负方向平移 t 个单位长度，得到线段 A1B1 ，求 MA1  MB1 取最小值时实数 t 的值. [南瓜讲数学]系列之中考专题

第 5

3 31

7

2020 中考专题 8——最值问题之将军饮马 参考答案 例 1.解：作 A 关于 OB 的对称点 D，连接 CD 交 OB 于 P，连接 AP，过 D 作 DN⊥OA 于 N， 则此时 PA＋PC 的值最小， ∵DP＝PA，∴PA＋PC＝PD＋PC＝CD，∵B(3， )，∴AB＝ ，OA＝3， ∵tan∠AOB＝ AB ＝ 3 ，∴∠AOB＝30°，∴OB＝2AB＝2 ， OA 3 1 1 3 3 由三角形面积公式得： ×OA×AB＝ 2 ×OB×AM，∴AM＝ 2 ，∴AD＝2× 2 ＝3， 2

∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAM＝30°，∵∠BAO＝90°，∴∠OAM＝60°，

∵DN⊥OA，∴∠NDA＝30°，∴AN＝ 1 AD＝ 2 3 ，由勾股定理得： 2 DN＝ 3 3 ， 2

∵C( 1 ，0)，∴CN＝3﹣ 1 ﹣

2 2 3 ＝1，在 Rt△DNC 中，由勾股定理得：DC＝ ， 2 2

即 PA＋PC 的最小值是 31 ． 2

例 2.解：作 A 关于 BC 和 ED 的对称点 A′，A″，连接 A′A″，交 BC 于 M，交 ED 于 N，则 A′A″即为 △AMN 的周长最小值． ⑴作 EA 延长线的垂线，垂足为 H，∠BAE＝120°，∴∠AA′A″＋∠AA″A′＝60°， ∠AA′A″＝∠A′AM，∠AA″A′＝∠EAN，∴∠CAN＝120°－∠AA′A″－∠AA″A′＝60°， 也就是说∠AMN＋∠ANM＝180°－60°＝120°. ⑵过点 A′作 EA 延长线的垂线，垂足为 H， ∵AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，∴AA′＝2BA＝2，AA″＝2AE＝4， 则 Rt△A′HA 中，∵∠EAB＝120°，∴∠HAA′＝60°，

∵A′H⊥HA，∴∠AA″H＝30°，∴AH＝ 1 AA′＝1，∴A′H＝ 2 ，A″H＝1＋4＝5，

∴A′A″＝2 ，

例 3.解：作 EF∥AC 且 EF＝ 于 P， ，连结 DF 交 AC 于 M，在 AC 上截取 MN＝ ，延长 DF 交 BC 作 FQ⊥BC 于 Q，作出点 E 关于 AC 的对称点 E′，则 CE′＝CE＝1，将 MN 平移至 E′F′处，

3 3 3 2 2 [南瓜讲数学]系列之中考专题 第 6

42  22 3 3

则四边形 MNE′F′为平行四边形， 当 BM＋EN＝BM＋FM＝BF′时，四边形 BMNE 的周长最小， 由∠FEQ＝∠ACB＝45°，可求得 FQ＝EQ＝1， ∵∠DPC＝∠FPQ，∠DCP＝∠FQP，∴△PFQ∽△PDC，

∴ PQ PQ  QE  EC ＝ PQ ，∴ CD PQ PQ  2 1 ＝ ，解得：PQ＝ 4 2 ，∴PC＝ 8 ，

3 3

由对称性可求得 tan∠MBC＝tan∠PDC＝ 2 ． 3

例 4.【提示】 将△AEO 向右平移转化为△AEO 不动，点 B 向左平移，则点 B 移动的轨迹为一平行于 x 轴的直线，所以作点 E 关于该直线的对称点 E1，连接 AE1，与该直线交点 F 即为最小时点 B 的位置，求出 BF长度即可求出点 E 向右平移的距离．

例 5.解：如图所示，直线 OC、y 轴关于直线 y＝kx 对称，直线 OD、直线 y＝kx 关于 y 轴对称，点 A′是点 A 关于直线 y＝kx 的对称点． 作 A′E⊥OD 垂足为 E，交 y 轴于点 P，交直线 y＝kx 于 M，作 PN⊥直线 y＝kx 垂足为 N， ∵PN＝PE，AM＝A′M，∴AM＋PM＋PN＝A′M＋PM＋PE＝A′E 最小(垂线段最短)， 在 RT△A′EO 中，∵∠A′EO＝90°，OA′＝4，∠A′OE＝3∠AOM＝60°，

∴OE＝ 1 OA′＝2，A′E＝ ＝2 ． 2

∴AM＋MP＋PN 的最小值为 2 ．