初中数学之将军饮马的六种常见模型将军饮马问题——线段和最短一．六大模型1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小。
2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小。
3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。
使△P AB的周长最小4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。
使四边形P AQB的周长最小。
5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小6. .如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小二、常见题目类型一、三角形1．如图，在等边△ABC中，AB= 6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，AE=2，求EM+EC 的最小值解：∵点C关于直线AD的对称点是点B，∴连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小，过点B作BH⊥AC于点H，则EH = AH–AE = 3–2 = 1，BH=在直角△BHE中，BE2．如图，在锐角△ABC中，AB =BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．解：作点B关于AD的对称点B'，过点B'作B'E⊥AB于点E，交AD于点F，则线段B'E长就是BM＋ＭＮ的最小值在等腰Rt△AEB'中，根据勾股定理得到，B'E = 43．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值解：作AB关于AC的对称线段AB'，过点B'作B'N⊥AB，垂足为N，交AC于点M，则B'N= MB'+MN = MB+MN. B'N的长就是MB+MN的最小值，则∠B'AN = 2∠BAC= 60°，AB' = AB = 2，∠ANB'= 90°，∠B' = 30°。
∴AN = 1，在直角△AB'N中，根据勾股定理B'N类型二、正方形1．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。
即在直线AC上求一点N，使DN+MN最小。
解：故作点D关于AC的对称点B，连接BM，交AC于点N。
则DN＋MN＝BN＋MN＝BM。
线段BM的长就是DN＋MN的最小值。
在直角△BCM中，CM＝6，BC＝8，则BM＝10。
故DN＋ＭＮ的最小值是102．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC 上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（）A．B．C．3D．解：即在AC上求一点P，使PE+PD的值最小。
点D关于直线AC的对称点是点B，连接BE交AC于点P，则BE = PB+PE = PD+PE，BE的长就是PD+PE的最小值BE=AB =3．在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.解：在AC上求一点P，使PB+PQ的值最小∵点B关于AC的对称点是D点，∴连接DQ，与AC的交点P就是满足条件的点DQ = PD+PQ = PB+PQ，故DQ的长就是PB+PQ的最小值在直角△CDQ中，CQ=1，CD=2，根据勾股定理，得，DQ4．如图，四边形ABCD是正方形，AB= 10cm，E为边BC的中点，P为BD上的一个动点，求PC+PE 的最小值；解：连接AE，交BD于点P，则AE就是PE+PC的最小值在直角△ABE中，求得AE的长为类型三、矩形1．如图，若四边形ABCD是矩形，AB = 10cm，BC = 20cm，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PD的最小值；解：作点C关于BD的对称点C'，过点C'，作C'B⊥BC，交BD于点P，则C'E就是PE+PC的最小值直角△BCD中，CH5直角△BCH中，BH=85△BCC'的面积为：BH×CH = 160∴C'E×BC = 2×160则CE' = 16类型四、菱形1．如图，若四边形ABCD是菱形，AB=10cm，∠ABC=45°，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；解：点C关于BD的对称点是点A，过点A作AE⊥BC，交BD于点P，则AE就是PE+PC的最小值在等腰△EAB中，求得AE的长为52类型五、直角梯形1．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上秱动，则当P A+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（）A21717B41717C81717D、3解：作点A关于BC的对称点A'，连接A'D，交BC于点P则A'D = P A'+PD = P A+PD A'D的长就是P A+PD的最小值S△APD = 4在直角△ABP中，AB = 4，BP = 1，根据勾股定理，得AP=∴AP上的高为：2类型六、圆形1．已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是AD的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．解：在直线CD上作一点P，使P A+PB的值最小作点A关于CD的对称点A'，连接A'B，交CD于点P，则A'B的长就是P A+PB的最小值连接OA'，OB，则∠A'OB=90°，OA' = OB= 4根据勾股定理，A'B=2．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则P A＋PB的最小值为( )A. B C. 1D. 2解：MN上求一点P，使P A+PB的值最小作点A关于MN的对称点A'，连接A'B，交MN于点P，则点P就是所要作的点A'B的长就是P A+PB的最小值连接OA'、OB，则△OA'B是等腰直角三角形∴A'B类型七、一次函数1．一次函数y =kx +b 的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）．（1）求该函数的解析式；（2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．解：(1)由题意得：0=2x +b ，4=b解得 k =-2，b =4，∴ y =-2x +4(2)作点C 关于y 轴的对称点C '，连接C 'D ，交y 轴于点P则C ＇D =C 'P +PD = PC +PDC 'D 就是PC +PD 的最小值连接CD ，则CD =2，CC ′=2在直角△C 'CD 中，根据勾股定理 C ＇D =22求直线C 'D 的解析式，由C '(-1，0)，D (1，2)∴有0=-k +b ，2=k +b解得 k =1，b =1，∴ y =x +1当x =0 时，y =1，则P (0，1)类型八、二次函数1．如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（-2，0），连结0A ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120。
，得到线段OB .（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 周长最小？若存在求出点C 坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)B (13)(2) y 2323x x + (3)∵点O 关于对称轴的对称点是点A ，则连接AB ，交对称轴于点C ，则△BOC 的周长最小y 2323x x ，当x =-1 时，y 3 ∴C (-132．如图，在直角坐标系中，A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A，B，C三点的抛物线的对称轴为直线l，D为直线l上的一个动点，(1)求抛物线的解析式；(2)求当AD+CD最小时点D的坐标；(3)以点A为圆心，以AD为半径作圆A；解：（1）①证明：当AD+CD最小时，直线BD与圆A相切；②写出直线BD与圆A相切时，点D的另一个坐标。
（2）连接BC，交直线l于点D，则DA+DC = DB+DC = BC，BC的长就是AD+DC的最小值BC：y=-x+3则直线BC与直线x=1的交点D(1，2)，3．抛物线y = ax2+bx+c(a≠0)对称轴为x = -1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A(-3，0)、C(0，-2)（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE//PC交x轴于点E，连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．(1)由题意得129302b a a b c c ⎧=⎪⎪-+=⎨⎪=-⎪⎩, 解得23432a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩∴抛物线的解析式为224233y x x =+-(2)点B 关于对称轴的对称点是点A ，连接AC 交对称轴于点P ，则△PBC 的周长最小. 设直线AC 的解析式为y = kx +b ， ∵A (-3，0)，C (0，-2)，则032k b b==+⎧⎨-=⎩,解得 k =23- ，b =-2 ∴直线AC 的解析式为 y =23-x –2 把x =-1 代入得y =43-，∴P (-1，43-)(3)S 存在最大值∵DE //PC ， ∴OE /OA = OD /OC ，即OE /3 = (2-m )/2OE =3-32m ，AE =OA –OE =32m方法一，连接OPS =S 四边形PDOE –S △OED =S △POE +S △POD –S △OED =12×(3 -32m )×43+12×(2 -m )×1-12×(3-32m )×(2-m ) =34-m 2 +32m =34-(m -1)2+34∴，当m =1 时，S 最大34方法二，S = S △OAC – S △AEP – S △OED – S △PCD =34-m 2 +32m =34-(m -1)2+34。