3.3 函数的最大值和最小值及应用举例
主要内容 1.闭区间上连续函数的最大值和最小值. 2.函数在某区间内可导且有唯一极值点 时的极大值和极小值. 3.具体应用举例.
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一、闭区间上函数的最大值和最小值
设函数y = f (x)在闭区间[a,b]上连续， 在开区间(a, b)
内可导，则函数的最大值与最小值只可能在开区间 如果 (a,b)内，或者在区间的端点 x = a,x = b处取得。 函数f (x)的最大(小)值在开区间(a,b)内取得，则最大 (小)值点一定是函数的极大(小)值点，又因为可导 函数在开区间(a,b)内的极值点一定是函数的驻点， 而不可导点也可能是极值点， 求出函数在(a, b) 由此， 内的全部驻点和不可导点的函数值， 将它们与端点的 函数值 f (a),f (b)加以比较，其中最大者即为 f (x) 在 [a, b]上的最大值， 最小者即为f (x)在[a, b]上的最小值。
由于y x 0 400k , y x 15 380k , y x 100 1 500k 1 2 , 5
其中以y|x15380k为最小，因此当ADx15km时， 10 总运费为最省．
已知电源的电压为正， 内阻为r， 例4 如下图所示的电路中， 求负载电阻 为多大时，输出功率为 R 最大？如图) (
由于函数在定义域内有唯一极值点，所以 函数的极大值就算函数的最大值. 所以最大值为：y x2 1.
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三、具体应用举例
应当指出，实际问题中，往往根据问题的性质就可 以断定函数f(x)确有最大值或最小值，而且一定在定义 区间内部取得.这时如果f(x)在定义区间内部只有一个驻 点x0，那么不必讨论f(x0) 是否是极值，就可以断定 f(x0) 是最大值或最小值．
若函数 f ( x ) 在 [a , b ] 上连续，则 f ( x ) 在 [a , b ]上的最大值 与最小值存在 .
y y y
o a
bx
o a
b x
o
a
b x
步骤 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较出最大值及最小值。
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例1
求函数 y 2 x 3 x 12 x 14 的在[3,4]
解 设ADx (km)，则 DB100x ，
CD 202 x 2 400 x 2 .
设从B点到C点需要的总运费为y，那么
y5k· CD3k· (k是某个正数)， DB
即 y 5k 400 x 2 3k 100 x
0 x 100
5x 3 先求y对x的导数： y k 2 400 x 解方程y0，得x15(km)．
并且电路必有最大 由于在(0,+∞)内函数只有一个驻点， 输出功率， 所以当负载电阻与内阻相等时， 输出功率最大。 11
在解决最大(小)值的实际应用问题时,可以采取以下步骤： (1)将问题中能取得最大(小)值的变量设为函数 y，
而将与函数有关联的条件变量设为 x， 再利用变量 之间的等量关系列出函数关系式 y = f (x)， 并确定 函数的定义域。再判定函数是否在驻点处取得最 大值或最小值。 (2)求出函数再定义域内的驻点， 如果驻点只有一个， 并且由题意可知函数在定义域内必定存在最大值 或最小值，则该驻点对应的函数值就是问题所求
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例3 铁路线上AB段的距离为100km.工厂C距A处为 20km,AC垂直于AB．为了运输需要，要在AB线上选 定一点D向工厂修筑一条公路．已知铁路每公里货运
的运费与公路上每公里货运的运费之比3:5．为了使
货物从供应站B运到工厂C的运费最省，问D点应选 在何处？
A
20km D 100km B
C
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2
即
最大值M = max{f (a), f (x1), f (x2), ·, f (xn), f (b)} · · 最小值m = min{f (a), f (x1), f (x2), ·, f (xn), f (b)} · · 其中 xi 为 f (x)在(a,b)内的所有驻点和不可导点。 最大(小)值的求法
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y 2 x 3 3 x 2 12 x 14
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二、函数在某区间内(有限或无限，开或闭)内可导且 只有一个驻点x0，并且这个驻点x0是函数f(x)的极值点， 那么，当f(x0)是极大值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最 大值；当f(x0)是极小值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最 小值．
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上的最大值与最小值 .
解 f ( x ) 6( x 2)( x 1)
解方程 f ( x ) 0, 得 x1 2, x2 1.
计算 f ( 3) 23;
f (1) 7;
f ( 2) 34;
f (4) 142;
比较得 最大值 f (4) 142，最小值 f (1) 7.
的最大值或最小值； 如果驻点不止一个， 则可根 据前面求最大(小)值的一般方法求解。
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四、小结
1.闭区间上连续函数的最大值和最小值.
2.函数在某区间内可导且有唯一极值点时的 极大值和极小值. 3.具体应用举例.
作业：
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y yf(x ) f(x0) f(x0) O a x0 y yf(x )
b
x
O a
x0
b
x6
例2 求函数 y x 2 4 x 3的最大值.
解
函数的定义域为, R
y 2 x 4 2 x 2.
令y 0, 得驻点 2. x
x . 显然： 2是函数的极大值点
消耗 解 由电学知识可知， 在负载电阻R上的功率为 P
= I2R, 其中I为回路中的 电流强度。 E 根据欧姆定律又有 I 从而可得函数
Rr R ( E )2 R (0 R ), P Rr
，
求导可得P R E 2
rR , 令 P( R) 0, 得驻点R r 3 R r