∴ 点 F 到 AC 的距离为 9 × = ， 4
又∵ AC=
=3 ，
∴ △ ACE 的最大面积=×3 × = ，此时 E 点坐标为（ 5 ，﹣ 3 ）．
24
9
7、（2013•曲靖压轴题）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=x+4 与坐标轴分别交 于 A、B 两点，过 A、B 两点的抛物线为 y=﹣x2+bx+c．点 D 为线段 AB 上一动点，过 点 D 作 CD⊥x 轴于点 C，交抛物线于点 E． （1）求抛物线的解析式． （2）当 DE=4 时，求四边形 CAEB 的面积． （3）连接 BE，是否存在点 D，使得△ DBE 和△ DAC 相似？若存在，求此点 D 坐标； 若不存在，说明理由．
解得
，
所以，直线 AC 的解析式为 y=x﹣1，
∵ y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=2，
当 x=2 时，y=2﹣1=1，
∴ 抛物线对称轴上存在点 D（2，1），使△ BCD 的周长最小；
8
（3）如图，设过点 E 与直线 AC 平行线的直线为 y=x+m，联立， 消掉 y 得，x2﹣5x+3﹣m=0， △ =（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，
7
解：（1）∵ 抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A（1，0），点 C（4，3），
∴
，解得
，
所以，抛物线的解析式为 y=x2﹣4x+3；
（2）∵ 点 A、B 关于对称轴对称， ∴ 点 D 为 AC 与对称轴的交点时△ BCD 的周长最小， 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b（k≠0），则，
S 四边形 CAEB=S△ ACE+S 梯形 OCEB﹣S△ BCO= ×2×6+ （6+4）×2﹣ ×2×4=12．
11
（3）设点 C 坐标为（m，0）（m＜0），则 OC=﹣m，CD=AC=4+m，BD= OC=﹣ m， 则 D（m，4+m）．
∵ △ ACD 为等腰直角三角形，△ DBE 和△ DAC 相似 ∴ △ DBE 必为等腰直角三角形． i）若∠ BED=90°，则 BE=DE， ∵ BE=OC=﹣m， ∴ DE=BE=﹣m，X Kb1. Co m ∴ CE=4+m﹣m=4， ∴ E（m，4）． ∵ 点 E 在抛物线 y=﹣x2﹣3x+4 上， ∴ 4=﹣m2﹣3m+4，解得 m=0（不合题意，舍去）或 m=﹣3， ∴ D（﹣3，1）； ii）若∠ EBD=90°，则 BE=BD=﹣ m， 在等腰直角三角形 EBD 中，DE= BD=﹣2m， ∴ CE=4+m﹣2m=4﹣m， ∴ E（m，4﹣m）． ∵ 点 E 在抛物线 y=﹣x2﹣3x+4 上， ∴ 4﹣m=﹣m2﹣3m+4，解得 m=0（不合题意，舍去）或 m=﹣2， ∴ D（﹣2，2）． 综上所述，存在点 D，使得△ DBE 和△ DAC 相似，点 D 的坐标为（﹣3，1）或（﹣2，122）．
∴ 存在第四象限的点 Q（ ，﹣ ），使得△ QOC 中 OC 边上的高 h 有最大值，
此时△ =192﹣4×2×（30﹣2b）=0 解得 b=﹣ ，
∴ 过点 Q 与 OC 平行的直线解析式为 y=x﹣ ，
18
令 y=0，则 x﹣ =0，解得 x= ，
设直线与 x 轴的交点为 E，则 E（ ，0），
∴ N1（2，0），N2（6，0）； ②当点 M 在 x 轴下方时，如答图 2 所示：
过点 D 作 DQ⊥x 轴于点 Q，过点 M 作 MP⊥x 轴于点 P，可得△ ADQ≌ △ NMP， ∴ MP=DQ= ，NP=AQ=3，
将 yM=﹣ 代入抛物线解析式得：﹣ =﹣ x2+3x，
解得：xM=2﹣ 或 xM=2+ ， ∴ xN=xM﹣3=﹣ ﹣1 或 ﹣1， ∴ N3（﹣ ﹣1，0），N4（ ﹣1，0）． 综上所述，满足条件的点 N 有四个：N1（2，0），N2（6，0），N3（﹣
y
O
A
C
B
x
13
解：（1）设抛物线的解析式为 y a x 1 x 5，则 5a 5
2 a 1 ，
2 ∴抛物线的解析式为： y 1 x2 2x 5 . （2）由题意知，点 A 关于抛物2线对称轴的2对称点为点 B,连接 BC 交抛物线的对称轴于点 P，
则 P 点 即为所求.设直线 BC 的解析式为 y kx b ，
16
解：（1）抛物线 y1=x2﹣1 向右平移 4 个单位的顶点坐标为（4，﹣1）， 所以，抛物线 y2的解析式为 y2=（x﹣4）2﹣1；
（2）x=0 时，y=﹣1， y=0 时，x2﹣1=0，解得 x1=1，x2=﹣1， 所以，点 A（1，0），B（0，﹣1）， ∴ ∠ OBA=45°，
联立
，解得 ， ∴ 点 C 的坐标为（2，3），
过点 C 作 CD⊥x 轴于 D，根据勾股定理，OC=
则 sin∠ COD= = ，
解得 h 最大=
×=
．
=，
19
11、（2013•广安压轴题）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A、B、 C 三点，已知点 A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）． （1）求此抛物线的解析式． （2）点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一动点，（不与点 A、B 重合），过点 P 作 x 轴的垂 线，垂足为 F，交直线 AB 于点 E，作 PD⊥AB 于点 D． ①动点 P 在什么位置时，△ PDE 的周长最大，求出此时 P 点的坐标； ②连接 PA，以 AP 为边作图示一侧的正方形 APMN，随着点 P 的运动，正方形的大小、位 置也随之改变．当顶点 M 或 N 恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的 P 点的坐标．（结 果保留根号）
（1）请直接写出抛物线 y2 的解析式； （2）若点 P 是 x 轴上一动点，且满足∠ CPA=∠ OBA，求出所有满足条件的 P 点坐标； （3）在第四象限内抛物线 y2上，是否存在点 Q，使得△ QOC 中 OC 边上的高 h 有最大值？ 若存在，请求出点 Q 的坐标及 h 的最大值；若不存在，请说明理由．
10
解：（1）在直线解析式 y=x+4 中，令 x=0，得 y=4；令 y=0，得 x=﹣4， ∴ A（﹣4，0），B（0，4）． ∵ 点 A（﹣4，0），B（0，4）在抛物线 y=﹣x2+bx+c 上，
∴
，
解得：b=﹣3，c=4， ∴ 抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x+4．
（2）设点 C 坐标为（m，0）（m＜0），则 OC=﹣m，AC=4+m． ∵ OA=OB=4，∴ ∠ BAC=45°， ∴ △ ACD 为等腰直角三角形，∴ CD=AC=4+m， ∴ CE=CD+DE=4+m+4=8+m， ∴ 点 E 坐标为（m，8+m）． ∵ 点 E 在抛物线 y=﹣x2﹣3x+4 上， ∴ 8+m=﹣m2﹣3m+4，解得 m=﹣2． ∴ C（﹣2，0），AC=OC=2，CE=6，
即 m=﹣ 时，点 E 到 AC 的距离最大，△ ACE 的面积最大，此时 x= 5 ，y=﹣ 3 ，
2
4
∴ 点 E 的坐标为（ 5 ，﹣ 3 ）， 24
设过点 E 的直线与 x 轴交点为 F，则 F（ ，0），∴ AF= ﹣1= 9 ， 4
∵ 直线 AC 的解析式为 y=x﹣1，
∴ ∠ CAB=45°，
，解得：
，
故直线 AC 解析式为 y=﹣ x+3，
与抛物线解析式联立解得：
或
，
则点 D 坐标为（1， ）；
5
（3）存在，分两种情况考虑： ①当点 M 在 x 轴上方时，如答图 1 所示： 四边形 ADMN 为平行四边形，DM∥ AN，DM=AN， 由对称性得到 M（3， ），即 DM=2，故 AN=2，
x
14
（3）存在
(i)当存在的点 N 在 x 轴的下方时，如图所示，∵四边形 ACNM 是平行四边形，∴CN∥x 轴，∴点 C 与点 N
关于对称轴 x=2 对称，∵C 点的坐标为 (0, 5) ，∴点 N 的坐标为 (4, 5).
2
2
（II）当存在的点 N ' 在 x 轴上方时，如图所示，作 N 'H x 轴于点 H，∵四边形 ACM 'N ' 是平行四边形，
y
5k b 0,
由题意，得
b
5 2
.
解得
k
1 2,Biblioteka b5 2.
AO C
M BH
P
N
∴直线 BC 的解析式为 y 1 x 5 . 22
∵抛物线 y 1 x2 2x 5 的对称轴是 x 2 ，∴当 x 2 时， y 1 x 5 3 .
2
2
22 2
∴点 P 的坐标是 (2, 3) . 2
∴ AC M 'N ',N 'M 'H CAO ,
∴Rt△CAO ≌Rt△ N 'M 'H ,∴ N 'H OC .
∵点 C 的坐标为 (0, 5), N 'H 5 ,即 N 点的纵坐标为 5 ，
2
2
2
∴ 1 x2 2x 5 5 , 即 x2 4x 10 0
2
22
解得 x1 2 14, x2 2 14.
∵ ∠ CPA=∠ OBA，∴ 点 P 在点 A 的左边时，坐标为（﹣1，0）， 在点 A 的右边时，坐标为（5，0）， 所以，点 P 的坐标为（﹣1，0）或（5，0）；
17
（3）存在．∵ 点 C（2，3），∴ 直线 OC 的解析式为 y=x，