太原市2018年高三年级模拟试题（二）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设U 为全集，集合,,A B C 满足A C ⊆，U B C C ⊆，则下列结论中不成立的是（ ） A ．A B φ=I B ．()U C A B ⊇ C ．()U C B A A =I D ．()U A C B U =U2.若复数2a ii -+的实部与虚部相等，则实数a 的值为（ ） A ． 13- B ．3- C ．13D ．33.下列命题中错误的是（ ）A ．若命题0:p x R ∃∈，使得200x ≤，则:p x R ⌝∀∈，都有20x >B ．若随机变量X ～2(2,)N σ，则(2)0.5P X >=C ．设函数2()2()xf x x x R =-∈，则函数()f x 有两个不同的零点 D ． “a b >”是“a c b c +>+”的充分必要条件4.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点分别是,A B ，左右焦点分别是21,F F ，若1121||,||,||AF F F F B 成等比数列，则椭圆的离心率为（ ）A ．55 B ．22 C. 12D ．33 5.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）（参考数据：0sin150.2588≈，0sin 7.50.1305≈）A ． 6B ．12 C. 24 D ．48 6.已知 1.12a =，0.45b =，5ln2c =，则（ ） A ． b c a >> B ．a c b >> C.b a c >> D ．a b c >> 7.已知函数|2|,30()log ,0ax x f x x x +-≤<⎧=⎨>⎩（0a >且1a ≠），若函数()f x 的图像上有且仅有一对关于y 轴对称，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．(1,3) C.(0,1)(1,3)U D ．(0,1)(3,)+∞U8.某校组织高一年级8个班级的8支篮球队进行单循环比赛（每支球队与其他7支球队各比赛一场），计分规则是：胜一局得2分，负一局得0分，平局双方各得1分，下面关于这8支球队的得分叙述正确的是（ ）A ．可能有两支球队得分都是14分B ．各支球队最终得分总和为56分 C. 各支球队中最高得分不少于8分 D ．得奇数分的球队必有奇数个 9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ． 72B ．48 C.24 D ．16 10.已知函数()2sin()f x x ωϕ=+（0,||2πωϕ>≤），其图像与直线2y =-相邻两个交点的距离为π，若()0f x >对(,)123x ππ∀∈-恒成立，则ϕ的取值范围是（ ） A ．[,]126ππ B ．[,]62ππ C. [,]123ππ D ．[,]63ππ11.已知不等式20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，表示的平面区域为D ，若存在点00(,)P x y D ∈，使得0002||mx y x x =+，则实数m 的取值范围是（ ） A ． (2,4] B ．[4,2)- C. (4,2)- D ．[2,4] 12.若对任意的x R ∈，都有222sin()(23)63x x k x x x e ππ+-++<g 成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ． 1(,1)e -∞+B ．1(1,3)e -+ C.1(2,)e ++∞ D ．1(1,)2e++∞ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.25(2)x x y ++的展开式中含有52x y 的项的系数是 ．14.设P 为双曲线22122x y -=上一点，21,F F 分别是双曲线的左右焦点，若12||2||PF PF =，则21cos PF F ∠= ．15.已知球O 是正三棱锥A BCD -的外接球，3BC =，AB =E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面中面积最小的截面圆的面积是 ． 16.ABC ∆中，0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r ，且0GA GB •=u u u r u u u r ，若tan tan tan tan tan A B mA B C+=，则实数m 的值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n na 的前n 项和1(1)22n n S n +=-+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且*2221log log ()n n na a n Nb +•=∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n T .18. 按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在[100,120)内，则为合格品，否则为不合格品. 某企业有甲乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，对规定的质量指标值进行检测.表1是甲套设备的样本频率分布表，图1是乙套设备的样本频率分布直方图.（1）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；（2）根据表1和图1，对甲、乙两套设备的优劣进行比较；（3）将频率视为概率，若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为X ，求X 的期望()E X . 附：19. 如图，在四棱锥-E ABCD 中，底面ABCD 是圆内接四边形，1CB CD CE ===，3AB AD AE ===，EC BD ⊥.（1）求证：平面BED ⊥平面ABCD ；（2）若点P 在侧面ABE 内运动，且//DP 平面BEC ，求直线DP 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值.20. 已知平面曲线C 上任意一点到点(0,1)F 和直线1y =-上一点P 作曲线C 的两条切线，切点分别为,A B .（1）求证：直线AB 过定点F ；（2）若直线PF 交曲线C 于D ，E 两点，DF FE λ=u u u r u u u r ，DP PE μ=u u u r u u u r，求λμ+的值.21. 已知2()ln()(0)f x ax b x a =++≠.（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为y x =，求函数()f x 的极值； （2）若2()f x x x ≤+恒成立，求ab 的最大值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知点P 是曲线221:(2)4C x y -+=上的动点，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转090得到点Q ，设点Q 的轨迹方程为曲线2C .（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）射线(0)3πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于,A B 两点，定点(2,0)M ，求MAB ∆的面积.23.选修4-5：不等式选讲 已知实数,a b 满足2244a b +=. （1）求证：212b +≤；（2）若对任意,a b R ∈，|1||3|x x ab +--≤恒成立，求实数x 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DACAC 6-10: DCBCD 11、12：BD 二、填空题13. 60 14. 4- 15. 2π 16.12三、解答题17.(1)当1n >时，1122(1)22n n a a na n ++++=-+L ， ①1212(1)(2)22n n a a n a n -+++-=-+L ，②① - ②得：1(1)2(2)22n nn n na n n n +=---=g， 所以2n n a =，当1n =时，12a =，所以2n n a =，*n N ∈.（2）22211111()log log (2)22n n n b a a n n n n +===-++g则11111111111111(1)()()()()2322423521122n T n n n n =-+-+-++-+--++L 1111(1)2212n n =+--++ 3111323()421242(1)(2)n n n n n +=-+=-++++ 18.（1）根据表1和图1得到列联表：将列联表中的数据代入公式计算得：222()100(487243) 3.053()()()()5050919n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯∵3.053 2.706>，∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关. （2）根据表1和图1可知，甲套设备生产的合格品的概率约为4850，乙套设备生产的合格品的概率约为4350，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115)之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散，因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备. （3）由题知，1(3,)25X B :， ∴13()32525E X =⨯=. 19.（1）证明：连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ， ∵AD AB =，CD CB =，∴AC BD ⊥， 又因为底面ABCD 是圆内接四边形， ∴090ADC ABC ∠=∠=，AC 是直径，又∵EC BD ⊥，EC AC C =I ，故BD ⊥面AEC ，OE BD ⊥， 由3AD =，1CD =，可得：2AC =， 所以090AEC ∠=，32AO =，则AE AO AC AE=，故EO AC ⊥， 所以EO ⊥平面ABCD ，平面BED ⊥平面ABCD .（2）取AE 的中点M ，AB 的中点N ，连接,MN ND ， 则//MN BE ，易知DN AB ⊥，BC AB ⊥， ∴平面//DMN 平面EBC ，∴点P 在线段MN 上. 建立如图空间直角坐标系，则3(,0,0)2A ，3B ，3E ，33(4M ，3(0,D ，33(4N ， 33(,22AB =-u u u r ，33(,0,22AE =-u u u r设平面ABE 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则3030x y x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，取3,3)n =r ，设MP MN λ=u u u r u u u u r ，可得33333(,,)42444DP DM MP λλ=+=+-u u u r u u u u r u u u r 设直线DP 与平面ABE 所成角为θ，则2sin 424θλλ=++，∵01λ≤≤，∴当0λ=时，sin θ42. 20.（1）证明：由已知条件可得曲线C 的方程为：24x y =. 设点(,1)P t -，11(,)A x y ，22(,)B x y ，∵24x y =，∴'2x y =，∴过点,A B 的切线方程分别为111()2x y y x x -=-，222()2xy y x x -=-， 由2114y x =，2224y x =，上述切线方程可化为112()y y x x +=，222()y y x x +=，∵点P 在这两条切线上，∴112(1)y tx -=，222(1)y tx -=， 即直线AB 的方程为2(1)y tx -=， 故直线2(1)y tx -=过定点(0,1)F .（2）设33(,)D x y ，44(,)E x y ，由DF FE λ=u u u r u u u r ，及DP PE μ=u u u r u u u r，得：33443344(,1)(,1)(,1)(,1)x y x y t x y x t y λμ--=-⎧⎨---=-+⎩，得3434x x t x x t λμ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩∴3344t x x x t x λμ-+=--43434344()tx x x x x tx x x t --+=-343444()2()t x x x x x x t +-=- 由题意，直线PF 的斜率存在，故PF 的方程为21x y t -=-，即21xy t=+- 联立24x y =，得2840x x t +-=，∴348x x t-+=，344x x =-，∴4482(4)0()t t x x t λμ--⨯-+==-g . 21.（1）'()2af x x ax b=++， 依题意，有'(1)21(1)ln()11a f a bf a b ⎧=+=⎪+⎨⎪=++=⎩，解得：1a =-，2b =， 则1'()22f x x x =+-，由'()0f x =，得122x =，222x +=，当2(,2x -∈-∞时，'()0f x <；当22()22x +∈时，'()0f x >，当2(2)2x ∈时，'()0f x <， 所以()f x在(-∞上为减函数，在上为增函数，在2)上为减函数. 所以()f x在22x =处取得极小值，极小值为223(ln(222f +-=+；()f x在22x =处取得极大值，极大值为223()ln(222f ++=+.（2）原不等式等价于ln()ax b x +≤，令()ln()g x ax b =+，①当0a <时，()g x 的定义域为(,)b a-∞-， ⅰ）当0b <时，当1bx a-<时，()ln()0g x ax b x =+>>，∴此时不符合题意， ⅱ）当0b ≥时，0ab ≤； ② 当0a >时，()g x 的定义域为(,)ba-+∞， ⅰ）当1b >时，∵(0)ln 0g b =>，∴此时不符合题意， ⅱ）当01b <≤时，设直线y x =与()g x 相切于点00(,)P x y ，则000'()1ln()a f x axb x ax b ⎧==⎪+⎨⎪=+⎩，∴ln b a a a =-， ∴2(1ln ),0ab a a a =->，令2()(1ln ),0h a a a a =->，则'()(12ln )h a a a =-， 令'()0h a >，则0a <<'()0h a <，则a >∴max 1()2h a h e ==， 当0b <时，0ab <，∴此时不符合题意， 综上，ab 的最大值为12e . 22.（1）曲线1C 的极坐标方程为=4cos ρθ. 设(,)Q ρθ，(,)2P πρθ-，于是4cos()4sin 2πρθθ=-=， 所以，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （2）M 到射线3πθ=的距离为2sin3d π==||4(sincos )1)33B A AB P P ππ=-=-=，则1||32S AB d =⨯=23.（1）证明：222|44||244a ab a a ++≤=≤=. （2）由2244a b +=及2244||a b ab +≥=，可得||1ab ≤，所以1ab ≥-，当且仅当a =2b =-或a =2b =时取等号. 因为对任意,a b R ∈，|1||3|x x ab +--≤恒成立，所以|1||3|1x x +--≤-. 当1x ≤-时，|1||3|4x x +--=-，不等式|1||3|1x x +--≤-恒成立； 当13x -<<时，|1||3|22x x x +--=-，由13221x x -<<⎧⎨-≤-⎩，得112x -<≤； 当3x ≥时，|1||3|4x x +--=，不等式|1||3|1x x +--≤-不成立； 综上可得，实数x 的取值范围是12x ≤.。