a
f
( x)dx
0 f ( x)dx 0a f ( x)dx
1 2
a
0
f
( x)dx
二、 常见的 c.r.v.
例7：若 c.r.v.X
~
f
(x)
0
a xb else
确定常数 ，设[c, d] [a, b],求 P(c X d)
解：
f
(
x)dx
abdx
(b
a)
1
1
4 若 f (x) 在点 x 处连续 , 则有
F( x) f ( x).
概率论
请注意:
c.r.v取任一指定实数值a 的概率均为0. 即
PX a 0 .
故有 P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b)
概率论
例1 设随机变量X具有概率密度
kx,
(2) 由于 P( X b) 0.05, 有 0 b 1
而 P( X b) b14x3dx 1 b4 0.05 b 4 0.95
例2：图中的折线表示连续y型随机变量 X的密度函数
f ( x)的图形。
0.5
to
3
x
(1)试确定t的值；(2)写出X的密度函数；(3)求P(2 X 1)
f
(x)
2
x 2
,
0,
0 x3 3 x4 其它
（1）确定常数k;（2）求X的分布函数F ( x)；
（3）求P1
X
7
2
概率论
kx,
解
f (x)
2
x 2
,
0,
0 x3 3 x4 其它
(1) 由
f ( x)dx
1得k
1
6
x
0
34
概率论
F
x
x
f
t
dt
,
x
(2) 分布函数
0,
x0
xx dx,
概率论
一、 c.r.v.及其p.d.f.的定义
对于随机变量 X , 如果存在非负可积函数 f (x) ,
x , ,使得对任意实数 x , 有
F
x
x
f
t dt
P
X
x
则称 X为c.r.v, 称 f (x) 为 X 的p.d.f，简称为
概率密度 .
c.r.v的分布函数在R上连续
概率论
概率密度的性质:
例5：若 c.r.v.X ~ F ( x) CB Ae x
x0 0 x1
D
Ae(
x
1)
x1
求：(1) A, B,C, D的值；(2) X的概率密度；(3) P( X 1) 3
解：(1) 由F() 0 C 0
由F() 1 D 1 因为F( x)是连续函数，故在x 0, x 1两点处连续, 有
解：(1)由密度函数的性质知f ( x)与 x轴围成的面积等于1 于是有 0.5 t 0.5 0.5 3 0.5 1 t 1
(2) 两点(1,0), (0,0.5)所在的直线方程为y 0.5x 0.5 两点(3,0), (0,0.5)所在的直线方程为 y 1 x 0.5
6 0.5x 0.5 1 x 0
1 o f (x) 0
2 o f (x)dx 1
这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r .v X 的
概率密度的充要条件
f (x)
面积为1
o
x
3 对于任意实数 x1 , x2 , (x1 < x2 ) ,
P{ x1 X x2}
x2 f ( x)dx
x1
概率论
利用概率密度可确 定随机点落在某个 范围内的概率
(2) X的概率密度函数为
0.5e x f ( x) F ( x) 0
0.5e ( x1)
x0 0 x1
x1
(3) P( X 1) 1 P( X 1) 1 F(1) 1
3
3
32
例6：设r.v.X的密度函数 f (x)为偶函数，
试证明：对任意a
0,
有F
(a)
1
F
(a)
1 2
0a
f
(
解： 由p.d. f .的性质，
f ( x)dx
e2xdx 1
2
0
P( X 2)
f ( x)dx
2e2 xdx e4
2
2
P(X
a2
2
X
a2)
P(X
a2, P(X
X
a2 a2)
2)
P(X P(X
a2 2) a2)
2e 2 xdx
a2 2
2e2 xdx
e4
a2
概率论
c.r.v.X所有可能取值充满一个区间, 对 这种类型的随机变量, 不能象d.r.v.那样, 以 指定它取每个值概率的方式, 去给出其概 率分布, 而是通过给出 “概率密度函数” (probability density function, p.d.f.) 的方式.
下面我们就来介绍对c.r.v.的描述方法.
0 6
F ( x)
3 x dx
x 2 x dx,
06
3 2
0 x3 3 x4
1,
x4
x0
x
x
3 x4x
概率论
即分布函数
0,
x0
x2
,
0 x3
F(x)
12 3
2x
x2 4
,
3 x4
1,
x4
（3）P 1
X
7
2
F
7 2
F
1
41 48
例2：设随机变量 X的概率密度 f ( x)为
x)dx
证明：
F (a)
a
f
(
x
)dx
xt
a
f
( t )( dt )
a
f
( t )dt
a
f
( t )dt

( t )dt
1
F (a)
因为f
( x)是偶函数，所以0
f
( x)dx
0
f
( x)dx
而
0 f ( x)dx 0 f ( x)dx 1
0
f
( x)dx
1 2
因此
1
F (a)
lim F( x) C A A, lim F( x) B A B
x0
x0
lim F( x) B, lim F( x) D A 1 A B 1 A
x1
x1
由上述两式得 A B 1 于是有 2
0.5e x F ( x) 0.5
1 0.5e ( x1)
x0 0 x1
x1
f
(
x)
4 x
3
0 x1
0 else
(1)求常数 a，使 P( X a) P( X a)
(2)求常数 b，使 P( X b) 0.05 解：(1) 由于 P( X a) 0, 因此有
P(X a) P(X a) 1
从而由题设得 P( X a) 0.5,且有 0 a 1
而 P( X a) 0a4x3dx a4 0.5 a 4 0.5
于是，密度函数为f
(
x
)
1 6
x
0.5
0 x3
0
(3)
P(2
X
1)
1
2
f
( x)dx
else 0 ( x 1 )dx 1 2 2
1
(
x
1 )dx
0 62
2/3
例4
: 已知c.r .v. X
~
f
(x)
e 2 x
x0
0
x0
确定常数， 并计算P( X 2), P( X a2 2 X a2 ),(a为常数)