2008年高考数学试题分类汇编数列一．选择题：1.（全国一5）已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ C ）A ．138B ．135C ．95D ．232.（上海卷14） 若数列{a n }是首项为1，公比为a －32的无穷等比数列，且{a n }各项的和为a ，10a 10S A ．64 B ．100C ．110D ．1208.（福建卷3)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为CA.63B.64C.127D.1289.（广东卷2）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S =（ D ） A ．16B ．24C ．36D ．4810.（浙江卷6）已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a Λ=C （A ）16（n --41） （B ）16（n --21） （C ）332（n --41） （D ）332（n --21） 11.（海南卷4）设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a =（ C ） A. 2 B. 4 C.15D.17 ,b 若－4.（湖北卷15）观察下列等式： ……………………………………可以推测，当x ≥2（*k N ∈）时，1111,,12k k k a a a k +-===+ 12k 2k a -= .，05.（重庆卷14)设S n =是等差数列{a n }的前n 项和，a 12=-8,S 9=-9,则S 16= .-72三．解答题： 1.（全国一22）．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=． （Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>．1， 若存在某≤满足i ，则由⑵知：1k i +2， 若对任意i k ≤都有b a i >，则kk k k a a b a b a ln 1--=-+ b ka b a ln 11--≥)(11b a b a --->0=，即1k a b +>成立. 2.（全国二20）．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ． （Ⅰ）设3nn n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123nn n S S +=+，由此得1132(3)n n n n S S ++-=-． ······················· 4分因此，所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．① ···················· 6分1n n -*2分 【解】：由题意知12a =，且两式相减得()()1121nn n n b a a b a ++--=-即12nn n a ba +=+ ①（Ⅰ）当2b =时，由①知122nn n a a +=+于是()()1122212nnnn n a n a n +-+⋅=+-+⋅又111210n a --⋅=≠，所以{}12n n a n --⋅是首项为1，公比为2的等比数列。

（Ⅱ）当2b =时，由（Ⅰ）知1122n n n a n ---⋅=，即()112n n a n -=+当2b ≠时，由由①得 因此11112222n n n n a b a b b ++⎛⎫-⋅==-⋅ ⎪--⎝⎭得1211n n n n a -=⎧⎪=⎨⎡⎤⎪ 6n +32 ……21n n a a q --=，（2n ≥）．将以上各式相加，得211n n a a q q --+++=L （2n ≥）．所以当2n ≥时，11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩上式对1n =显然成立．（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当1q =时，显然3a 不是6a 与9a 的等差中项，故1q ≠． 由3693a a a a -=-可得5228q q q q -=-，由0q ≠得3611q q -=-， ①整理得323()20q q +-=，解得32q =-或31q =（舍去）．于是q =另一方面，21133(1)11n n n n n q q q a a q q q+--+--==---，则31111k k a ca c c c +=+-≤+-=，且31110k k a ca c c +=+-≥-=≥1[0,1]k a +∈∴，由数学归纳法知[0,1]n a ∈对所有*n N ∈成立(2) 设 103c <<，当1n =时，10a =，结论成立 当2n ≥ 时， 103C <<∵,由（1）知1[0,1]n a -∈，所以 21113n n a a --++≤ 且 110n a --≥(3) 设 103c <<，当1n =时，2120213a c=>--，结论成立 当2n ≥时，由（2）知11(3)0n n a c -≥->6.（山东卷19)。

(本小题满分12分)将数列｛a n ｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： a 1a 2 a 3a 4 a 5 a 6a 7 a 8 a 9 a 10……项则(12)1(1)12(1)k k S q k k k k ===--+-+g （k ≥3）. 7.（江苏卷19）.（Ⅰ）设12,,,n a a a L L 是各项均不为零的等差数列（4n ≥），且公差0d ≠，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： ①当n =4时，求1a d的数值；②求n 的所有可能值； （Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n ≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列12,,,n b b b L L ，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．【解析】本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用．（Ⅰ）①当n ＝4 时，1234,,,a a a a 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d ＝0．若删去2a ，则有2314,a a a =g 即()()211123a d a a d +=+g 化简得214a d d +＝0，因为d ≠0，所以1a d=4 ； 若删去3a ，则有214a a a =g ，即()()21113a d a a d +=+g ，故得1a d=1．n a 数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且113,1a b ==，数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =.（1）求,n n a b ； （2）求证1211134n S S S +++<L . 解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数，3(1)n a n d =+-，1n n b q -=依题意有1363(1)22642(6)64n n nda d n d ab q q b q S b d q +++-⎧====⎪⎨⎪=+=⎩①由(6)64d q +=知q 为正有理数，故d 为6的因子1,2,3,6之一， 解①得2,8d q ==1n -λ（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛a n ｝是等比数列，则有a 22=a 1a 3,即,094949494)494()332(222=⇔-=+-⇔-=-λλλλλλλ矛盾. 所以｛a n ｝不是等比数列.(Ⅱ)解：因为b n +1=(-1)n +1［a n +1-3(n -1)+21］=(-1)n +1(32a n -2n +14) =32(-1)n·（a n -3n +21）=-32b n 又b 1x -(λ+18),所以当λ＝－18，b n =0(n ∈N +),此时｛b n ｝不是等比数列： 当λ≠－18时，b 1=(λ+18) ≠0,由上可知b n ≠0，∴321-=+n a b b (n ∈N +). 故当λ≠-18时，数列｛b n ｝是以－（λ＋18）为首项，－32为公比的等比数列. (Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,b n =0,S n =0,不满足题目要求. ∴λ≠-18，故知b n = -（λ+18）·（－32）n -1，于是可得）. (Ⅰ)求34,,a a 并求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设21122,.n n n n n a b S b b b a -==+++L 证明：当162.n n S n≥-<时， 解: (Ⅰ)因为121,2,a a ==所以22311(1cos)sin 12,22a a a ππ=++=+=一般地，当*21(N )n k k =-∈时，222121(21)21[1cossin 22k k k k a a ππ+---=++＝211k a -+，即2121 1.k k a a +--=所以数列{}21k a -是首项为1、公差为1的等差数列，因此21.k a k -=当*2(N )n k k =∈时，22222222(1cos)sin 2.22k k k k k a a a ππ+=++= 所以数列{}2k a 是首项为2、公比为2的等比数列，因此22.kk a =故数列{}n a 的通项公式为*21,21(N ),22n n n n k k a +⎧=-∈⎪=⎨令2(2)(6)2n n n c n +=≥，则21121(1)(3)(2)30.222n n n n n n n n n c c ++++++--=-=< 所以当6n ≥时，1n n c c +<.因此当6n ≥时，66831.644n c c ⨯≤==< 于是当6n ≥时，2(2)1.2n n +< 综上所述，当6n ≥时，12.n S n-<11.（陕西卷22）．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n na a a +=+，12n =L ，，．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x >，21121(1)3n n a x x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥，12n =L ，，； （Ⅲ）证明：2121n n a a a n +++>+L ．则2212111111133n nn n n n a a a n n n +++=>+⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭L ≥． ∴原不等式成立．解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）设2112()1(1)3nf x x x x ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭，则222222(1)2(1)2133()(1)(1)(1)n n x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=--=+++g0x >Q ， ∴当23n x <时，()0f x '>；当23n x >时，()0f x '<，∴当23nx =时，()f x 取得最大值212313n n nf a ⎛⎫== ⎪⎝⎭+．}的 21.2x ≥ ③下用反证法证明：2211..22x x ≤>假设由①得21211312()(2).22n n n n n n x x x x x x ++++++=+++因此数列12n n x x ++是首项为22x +，公比为12的等比数列.故*121111((N ).222n n n x x x n +--=-∈ ④又由①知 211111311()2(),2222n x n n n n n x x x x x x x +++++-=--=-- 因此是112n n x x +-是首项为212x -，公比为-2的等比数列,所以 1*1211()(2)(N ).22n n n x x x n -+-=--∈ ⑤ 由④-⑤得1*221511(2)()(2)(N ).222n n n S x x n --=+---∈ ⑥ 对n 求和得，数列{}n x 的通项公式； （3）若1p =，14q =，求{}n x 的前n 项和n S ． 【解析】（1）由求根公式，不妨设<αβ，得==αβ ∴+=+=pαβ，==q αβ（2）设112()----=-n n n n x sx t x sx ，则12()--=+-n n n x s t x stx ，由12n n n x px qx --=-得+=⎧⎨=⎩s t p st q ， 消去t ，得20-+=s ps q ，∴s 是方程20x px q -+=的根，由题意可知，12,==s s αβ∴数列{}nnx α是以1为公差的等差数列，12(1)111∴=+-⨯=+-=+nnx x n n n αααα,∴=+n n n x n αα综上所述，11,(),()++⎧-≠⎪=-⎨⎪+=⎩n n n n n x n βααββααααβ（3）把1p =，14q =代入20x px q -+=，得2104-+=x x ，解得12==αβ14.（浙江卷22）（本题14分） 已知数列{}n a ，0≥n a ，01=a ，)(12121•++∈=-+N n a a a n n n ．记nn a a a S +++=Λ21．)1()1)(1(1)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=ΛΛ． 求证：当•∈N n 时，11k k k ++得22231()(1)n n a a a a n a ++++--=L ． 因为10a =，所以21n n S n a =--．由1n n a a +<及2211121n n n a a a ++=+-<得1n a <， 所以2n S n >-． （Ⅲ）证明：由221112k k k k a a a a +++=+≥，得所以23421(3)(1)(1)(1)2n n n a a a a a a -+++L ≤≥，于是2222232211(3)(1)(1)(1)2()22n n n n n n a a n a a a a a ---=<++++L ≤≥，故当3n ≥时，21111322n n T -<++++<L ， 又因为123T T T <<， 所以3n T <． 15.（辽宁卷21）．（本小题满分12分）分分那么当n =k +1时，22221122(1)(1)(1)(2)(2)kk k k k ka ab a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+，．所以当n =k +1时，结论也成立．由①②，可知2(1)(1)n n a n n b n =++，对一切正整数都成立． ·········· 7分（Ⅱ）11115612a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+． ··········· 9分故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ⎛⎫+++<++++ ⎪+++⨯⨯+⎝⎭…… 综上，原不等式成立． ··························· 12分。